時間：2022-02-10 18:53:16
序論：速發(fā)表網(wǎng)結(jié)合其深厚的文秘經(jīng)驗，特別為您篩選了11篇九年級數(shù)學下冊范文。如果您需要更多原創(chuàng)資料，歡迎隨時與我們的客服老師聯(lián)系，希望您能從中汲取靈感和知識！
25、根據(jù)所給信息，分別求出每只小貓和小狗的價格. (4分) 買 一共要70元,買 一共要50元. 26、如圖，AB∥CD，分別探討下面四個圖形中∠APC與∠PAB、∠PCD的關(guān)系，請你從所得到的關(guān)系中任選一個加以說明。（適當添加輔助線，其實并不難）（6 分） (1) (2) (3) (4)
27..如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，ABC的三個頂點坐標分別為A（-1，-2），B（1，1），C（-3，1），A1B1C1是ABC向下平移2個單位，向右平移3個單位得到的．（1）寫出點A1、B1、C1的坐標，并在右圖中畫出A1B1C1；（2）求A1B1C1的面積．
A、2x+y=2xy B、
C、(2ab)2=4a2b2 D、(-x-y)(x+y)=x2-y2
2、下列幾何體的主視圖與眾不同的是()
3、下面四個標志屬于中心對稱的是()
4、下列命題正確的是()
A、垂直于半徑的直線一定是圓的切線
B、正三角形繞其中心旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合是必然事件
C、有一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形
D 、四個角都是直角的四邊形是正方形
5、如圖，數(shù)軸上A、B兩點分別對應(yīng)實數(shù)a、b，則下列結(jié)論正確的是()
A、a+b>0 B、ab>0 C、a-b>0 D、|a|-|b|>0
6、為創(chuàng)建園林城市,鹽城市將對城區(qū)主干道進行綠化,計劃把某一段公路的一側(cè)全部栽上桂花樹,要求路的兩端各栽一棵,并且每兩棵樹的間隔相等.如果每隔6米栽1棵,則樹苗缺22棵;如果每隔7米栽1棵,則樹苗正好用完.設(shè)原有樹苗x棵,則根據(jù)題意列出方程正確的是()
A、6(x+22)=7(x-1) B、6(x+22-1)=7(x-1)
C、6(x+22-1)=7x D、6(x+22)=7x
7、如圖，點A的坐標為(6，0)，點B為y軸的負半軸上的一個動點，分別以O(shè)B，AB為直角邊在第三、第四象限作等腰RtOBF，等腰RtABE，連接EF交y軸于P點， 當點B在y軸上移動時，PB的長度為()
A、2 B、3C、4 D、PB的長度隨點B的運動而變化
二、填空題((每小題3分，共30分)
1、震驚世界的M H370失聯(lián)事件發(fā)生后第30天，中國“海巡01”輪在南印度洋海域搜索過程中首次偵聽到疑是飛機黑匣子的脈沖信號，探測到的信號所在海域水深4500米左右，其中4500用科學記數(shù)法表示為_____
2、單項式-4x2y5的次數(shù)是_______
3、分解因式2x3-8x=______
4、函數(shù) 的自變量x的取值范圍是______
5、用一張面積為60π的扇形鐵皮，做成一個圓錐容器的側(cè)面(接縫處不計)，若這個圓錐的底面半徑為5，則這個圓錐的母線長為_____
6、如圖，半徑為 的O是ABC的外接圓，∠CAB=60°，
則BC=_____.
7、如圖，邊長為2正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形 ，則在旋轉(zhuǎn)過程中點D到D’的路徑長是____
8、已知 ，則 =____
9、某菱形的兩條對角線長都是方程x2-6x+8=0的根，則該菱形的周長為___
10、如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分別是AD、BC上的點，且線段EF過矩形對角線AC的中點O，且EFAC，P F∥AC，則EF：PE的值是____
九年級下冊數(shù)學教學反思(一)經(jīng)過三年的努力，在今年的中考中，我所教248班的數(shù)學成績比以往的任何一屆有了一定的提高，下面就是本人的一些做法和體會。
一、吸引每個學生，上好每一節(jié)課。我想這個才是最重要的，我們時常要求學生學會聽課，那么自己的課堂是不是能吸引住學生，能不能讓每個學生真正的參與到教學中，只有充分備好課，力爭讓每一節(jié)課都有一個亮點，讓學生感覺每節(jié)課都象是很新鮮，渴望求知的欲望若能給吊起來，這樣的課應(yīng)該成功一半了。我的具體做法有以下幾種：
1、案例分析法。
比如上課前將上節(jié)課學生作業(yè)中的錯題展現(xiàn)在黑板上，讓學生來進行分析，讓學生講比我們老師講的效果要好得多，同時也會不時產(chǎn)生新的做法，若能將幾種做法再加以優(yōu)化效果會更好，這樣的反饋效果也應(yīng)該是最好的;將學生的好的做法在課堂前展現(xiàn)也是不錯的方法，這樣做的目的不僅是推廣了一種好的做法，而且是一種榜樣，是一種激勵，不僅能影響到受表揚的學生，更會激起更多的學生去探索好的做法，好的思路，好的角度等等，在課堂前都能受到老師的表揚，在課堂前都能讓全班同學向自己學習，那心情就別提會有多好，整個班級的氛圍會相當不錯。
2、調(diào)動學生的積極。
為了讓學生掌握一個知識或者是一種技能，或者是一種你認為很有必要的數(shù)學思想，一定要在接受新知識前，發(fā)揮自己語言的優(yōu)勢，煽動性越強越好，比如我在講一元二次方程中的公式法時，我在課堂上說，“直接開平方法解方程你沒學好沒關(guān)系，因為它太特殊了，配方法你也可以不會，因為它太繁，今天我們將學習一種萬能的方法，它就象是一個模板一樣，代入直接出結(jié)果，相當方便，非常智能化?！庇辛诉@樣導入語后，什么層次的學生都想學會，因為它萬能呀?這樣做對于教學效果的提高有很好的作用。
3、要善于探索。
一個優(yōu)秀的老師不是看你上課講了多少，而是讓學生悟出了多少，最智慧的老師會給學生留下足夠多的時間讓學生自己去捉摸，所以探索很有必要，想要突出的問題不要我們用最大氣力，花費最多的時間去講，而是讓學生自己去嘗試錯誤，讓學生們自己探索，讓學生向權(quán)威挑戰(zhàn)，所以作為畢業(yè)班的老師更應(yīng)該給學生充分嘗試錯誤的機會和空間。
二、要提高教學質(zhì)量，還要做好課后輔導工作，初中的學生愛動、好玩，缺乏自控能力，常在學習上不能按時完成作業(yè)，有的學生抄襲作業(yè)，針對這種問題，就要抓好學生的思想教育，并使這一工作慣徹到對學生的學習指導中去，還要做好對學生學習的輔導和幫助工作，尤其在后進生的轉(zhuǎn)化上，對后進生努力做到從友善開始，比如：看到學生時，主動跟他們打招呼，課余時間主動跟他們聊天，拉近心里的距離，做這他們的好朋友。還要從贊美著手，所有的人都渴望得到別人的理解和尊重，所以，和差生交談時，對他的處境、想法表示深刻的理解和尊重，還有在批評學生之前，先談?wù)勛约汗ぷ鞯牟蛔?。讓師生關(guān)系和諧起來，信其人，順其道。
三、虛心向別人學習。
1、向同事學習。
大家都會有一種感覺，無論什么時間，什么地點每聽同事們一節(jié)課，假若你是抱著一種學習的態(tài)度的話，你總會從中學習到一點或者是幾點，所以有時間聽聽同科老師的課，課余時間與同年級的教師談?wù)剬W生學習的態(tài)度、方法，與同科的教師探究更好的解題方法，是非常有必要的，活到老學到老，一點不錯，只有這樣自己才會不斷的進步。三年來我們備課組在這一點做得是非常好的，每次的教研會，大家都會暢所欲言，將各種想法從分散到統(tǒng)一，再從統(tǒng)一到分散，真正做到了資源共享，分工合作，相信每一個同志經(jīng)過三年都會有一定的提高。
2、向?qū)W生學習。
從學生的課堂解答思路，作業(yè)解答過程，檢測的解答方法，對于學生好的思考角度，好的做法，我都會用另外的一個本子專門記錄學生的好的做法，好的思路， 盡量做到“你有我優(yōu)，你優(yōu)我先，你先我簡，你簡我全”，這就是向?qū)W生學習的標準，也是進行科學研究的基礎(chǔ)和遵循的游戲規(guī)則。學生數(shù)學的興趣，課堂上講練結(jié)合，布置好課外作業(yè)，作業(yè)少而精，減輕學生的負擔。
經(jīng)過三年的努力，248班的數(shù)學成績有了一定的提高，特別是韋雪芬、周立斌、黃嘉慧、凌航、周保宏、韋婷婷、韋曉敏等同學，在這次的中考中都考到了A等分，并且考上高中都進入宏志班或民族班。當然經(jīng)過一輪教訓還是很多的，在今個學期我教的252班(也是畢業(yè)班)中我將改進以下幾個方面：
1、樹立高標意識。
由于我學生的問題，所以在平時的教學中對優(yōu)秀學生這一塊沒有做的精中更精，在拓展方面做的不是很到位，練習量不是太足。
2、面向全體學生。
對于中等生和后進生都要關(guān)注，不要認為班里有6、7個成績差不多的就行了，沒有能面向全體，從而喪失了更多的可能，所以要關(guān)注每一個學生的發(fā)展，按照新課標的具體要求去做，真正讓每一個學生學習到必要的數(shù)學知識。
走進新課改，學校對教師的素質(zhì)要求更高，在今后的教育教學工作中，我將更嚴格要求自己，努力工作，發(fā)揚優(yōu)點，改正缺點，開拓前進，為美好的明天奉獻自己的力量。
九年級下冊數(shù)學教學反思(二)本學期擔任初三的數(shù)學教學工作，工作中有得也有失，現(xiàn)反思如下:
一、教育教學中的得：
1、能制定正確教學目標:
平時教學中，不僅根據(jù)教學大綱的要求更注重多數(shù)學生的學習基礎(chǔ)、水平來制定教學目標。根據(jù)班級實際情況，我把平時的教學目標要求定在中等偏下水平，重點內(nèi)容適當提高，使素質(zhì)高的學生能取得較好成績，對于基礎(chǔ)太差的學生，對他們的復(fù)習目標只要求達到教學大綱的最基本的要求，強調(diào)熟記重要的概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識，并能掌握基礎(chǔ)題的基本解法。通過努力，使全班學生的數(shù)學成績均有所提高。
2、寓復(fù)習于平時教學過程中:
為了完成復(fù)習任務(wù)，又要減輕學生在集中復(fù)習時間的負擔，我把復(fù)習內(nèi)容有計劃地分散在平時學習中。從初三開始教學就有目的地回顧總結(jié)。復(fù)習了與初三知識相關(guān)聯(lián)的初一、初二年級的重要數(shù)學知識，結(jié)合教材，因勢利導進行復(fù)習。平時在課堂復(fù)習、提問、小測驗、有目的的檢查復(fù)習初一、初二等知識點。這樣做能使初一、初二等已學過的重要知識反復(fù)在學生頭腦中出現(xiàn)，可以減少遺忘率。
3、編寫切合學生實際的訓練題:
目前初三學生每人手中均有學習資料，這些資料中基礎(chǔ)知識偏少，較難的題目偏多，解題方法著重技巧性而不突出基本思路和方法，總的情況是要求偏高、偏深，脫離我校學生的實際，也不符合我校的學習要求。因此平時在備課中我注意重點備好學生的練習及復(fù)習訓練題。布置作業(yè)做到了有布置就一定有批改,提高了學生的作業(yè)質(zhì)量.自編習題要求中等偏下，多數(shù)題目是基本訓練，重點題型反復(fù)訓練，逐步提高，達到了預(yù)期的教學效果。
4、注重課堂教學信息的及時反饋和矯正:
由于學生之間思維的差異及基礎(chǔ)知識掌握的差異特別大，給課堂教學帶來了很大的難度，因此課堂教學必須從學生實際水平出發(fā)，分層次、有針對性地進行復(fù)習指導，最終使不同層次的學生通過復(fù)習學習達到不同水平。因此我在課堂教學中，注重了解學生的思維過程，對于學生回答的問題要進一步追問，對學生做的選擇題和填空題的答案要進一步追問為什么。課堂教學中對學生的練習及時給予積極的評價，提高學生的內(nèi)驅(qū)力，同時及時矯正學生中存在的問題，這樣既加深了對知識的理解，同時又使學生及時糾正錯誤，達到復(fù)習的基本要求。
二、教學工作的失:
錯誤的估計了學生的學習情況，樂觀的認為學生的學習過程及作業(yè)過程是正?；模Y(jié)果導致走了一段彎路。在初三數(shù)學教學過程中，為了趕教學進度,因此課堂教學中還是出現(xiàn)了講的多、練的少的現(xiàn)象。沒有很好的把握教育管理與初三數(shù)學教學的關(guān)系。平時在初三數(shù)學教學中花的時間較少，特別是后進生的輔導工作沒有真正落到實處。有時對存在問題講道理多了，具體輔導工作少了。章節(jié)考試及模擬考試注重了學生的得分情況分析，對學生知識缺漏情況少了統(tǒng)計及分析，少了針對性的評講，更少了針對性的進行跟蹤訓練及檢查。
三、三階段復(fù)習的做法：
1、注重了課本知識，進行了查漏補缺。
全面復(fù)習基礎(chǔ)知識，加強基本技能訓練的第一階段的復(fù)習工作我們已經(jīng)結(jié)束后，在第二階段的復(fù)習中，反思和總結(jié)上一輪復(fù)習中的遺漏和缺憾，會發(fā)現(xiàn)有些知識還沒掌握好，解題時還沒有思路，因此要做到邊復(fù)習邊將知識進一步歸類，加深記憶;還要進一步理解概念的內(nèi)涵和外延，牢固掌握法則、公式、定理的推導或證明，進一步加強解題的思路和方法;同時還要查找一些類似的題型進行強化訓練，要及時有目的有針對性的補缺補漏，直到自己真正理解會做為止，決不要輕易地放棄。
另外，現(xiàn)在中考命題仍然以基礎(chǔ)題為主，有些基礎(chǔ)題是課本上的原題或改造了的題，有的大題雖是“高于教材”，但原型一般還是教材中的例題或習題，是課本中題目的引申、變形或組合，課本中的例題、練習和作業(yè)題不僅要理解，而且一定還要會做。同時，對課本上的《閱讀材料》《課題研究》《做一做》《想一想》等內(nèi)容，我們也一定要引起重視。
2、注重了課堂學習，提高了學習效率。
在任課老師的指導下，通過課堂教學，要求同學們掌握各知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，理清知識結(jié)構(gòu)，形成整體的認識，通過對基礎(chǔ)知識的系統(tǒng)歸納，解題方法的歸類，在形成知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上加深記憶，至少應(yīng)達到使自己準確掌握每個概念的含義，把平時學習中的模糊概念搞清楚，使知識掌握的更扎實的目的，要達到使自己明確每一個知識點在整個初中數(shù)學中的地位、聯(lián)系和應(yīng)用的目的。上課要會聽課，會記錄，必須要把握每一節(jié)課所講的知識重點，抓住關(guān)鍵，解決疑難，提高學習效率，根據(jù)個人的具體情況，課堂上及時查漏補缺。
3、夯實了基礎(chǔ)知識，學會思考。
在歷年的數(shù)學中考試題中，基礎(chǔ)分值占的最多，再加上部分中檔題及較難題中的基礎(chǔ)分值，因此所占分值的比例就更大。扎扎實實地夯實基礎(chǔ)，通過系統(tǒng)的復(fù)習，我們對初中數(shù)學知識達到“理解”和“掌握”的要求，在應(yīng)用基礎(chǔ)知識時能做到熟練、正確和迅速。
4、注意了知識的遷移，學會融會貫通。
課本中的某些例題、習題，并不是孤立的，而是前后聯(lián)系、密切相關(guān)的，其他學科的知識也和數(shù)學有著千絲萬縷的聯(lián)系，我們要學會從思維發(fā)展的最近點出發(fā)，去發(fā)現(xiàn)、研究和展示這些知識的內(nèi)在聯(lián)系，這樣做不僅有助于自己深刻理解課本知識，有利于強化知識重點，更重要的是能有效地促進自己數(shù)學知識網(wǎng)絡(luò)和方法體系的構(gòu)建，使知識和能力產(chǎn)生良性遷移，達到觸類旁通的效果，通過探究課本典型例題、習題的內(nèi)在聯(lián)系，讓我們在深刻理解課本知識的同時，更有效地形成知識網(wǎng)絡(luò)與方法體系。例如一元二次方程的根的判別式，不但可以解決根的判定和已知根的情況求字母系數(shù)，還可以解決二次三項式的因式分解、方程組的根的判定及二次函數(shù)圖象與橫軸的交點坐標。
5、復(fù)習形成了梯度，選擇典型習題。
如果說第一階段是中考復(fù)習的基礎(chǔ)，是重點，側(cè)重了雙基訓練，那么第二階段的復(fù)習就是第一階段復(fù)習的延伸和提高，這個階段的練習題要選擇有一些難度的題，但又不是越難越好，難題做的越多越好，做題要有典型性，代表性，所選擇的難題是自己能夠逐步完成的，這樣才能既激發(fā)自己解難求進的學習欲望，又能使自己從解決較難問題中看到自己的力量，增強學習的信心，產(chǎn)生更強的求知欲望。
6、重視基礎(chǔ)知識，注重解題方法。
基礎(chǔ)知識就是初中數(shù)學課程中所涉及的概念、公式、公理、定理等。要求同學們掌握各知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，理清知識結(jié)構(gòu)，形成整體的認識，并能綜合運用。每年的中考數(shù)學會出現(xiàn)一兩道難度較大，綜合性較強的數(shù)學問題，解決這類問題所用到的知識都是同學們學過的基礎(chǔ)知識，并不依賴于那些特別的，沒有普遍性的解題技巧。
四、今后的教學思路:
(一)進一步激發(fā)學生的學習動機，培養(yǎng)學生良好的學習習慣
(二)融洽師生情感，提供平等的學習機會，誠心實意的為學生提供優(yōu)質(zhì)的服務(wù)。
(三)健全學生完整的知識結(jié)構(gòu)。一方面加強基礎(chǔ)知識教學，注重抓盲點,，另一方面重視解題模式的總結(jié)，注意突破難點,這是數(shù)學學習的關(guān)鍵。
(四)切實做好提優(yōu)補差工作。對后進生格外關(guān)心，注意輔導其學習方法，并針對其學習上的缺漏予以輔導糾正,做好測驗及模擬考試中成績不理想的學生知識缺漏情況的統(tǒng)計及分析，進行針對性的評講，并進行針對性的跟蹤訓練和檢查.
(五)繼續(xù)貫徹學校領(lǐng)導的工作決策，不斷注重教育教學的理論學習，使之教學質(zhì)量有所提高。
(六)進一步發(fā)揚教學工作中的優(yōu)點，改正過去工作的不足，虛心學習，不斷提高運用多媒體輔助教學的能力，擴大課堂教學容量。
九年級下冊數(shù)學教學反思(三)反思一學期的教學總感到有許多的不足與思考。從多次考試中發(fā)現(xiàn)一個嚴重的問題，許多學生對于比較基本的題目的掌握具有很大的問題，對于一些常見的題目出現(xiàn)了各種各樣的錯誤，平時教學中總感到這些簡單的問題不需要再多強調(diào)，但事實上卻是問題嚴重之處，看來還需要在平時的教學中進一步落實學生練習的反饋與矯正。
在平時的教學過程中，我們要求學生數(shù)學作業(yè)本必須及時上交，目的是為了及時發(fā)現(xiàn)，及時設(shè)法解決學生作業(yè)中存在的問題，認真落實訂正的作用，將反饋與矯正要落到實處，切實抓好當天了解、當天解決、矯正到位，也就是說反饋要適時，矯正要到位。另外我們還應(yīng)注意反饋來的信息是否真實，矯正的方法是否得力，因為反饋的信息虛假或不全真實，那么我們就發(fā)現(xiàn)不了問題，就不能全面地了解學生的情況，也就不會采取及時、正確的矯正措施。我認為要注意以下幾個方面：
一、注意反饋矯正的及時性。
課堂教學中應(yīng)注意引導學生上課集中精力，勤于思考，積極動口、動手。可利用提問或板演等多種方式得到學生的反饋信息，一般我們應(yīng)把提問、解答、講評、改錯緊密的結(jié)合為一體，不要把講評和改錯拖得太長。最好當堂問題當堂解決，及時反饋在一日為好。
二、注意反饋矯正的準確性。
在教學中我們必須經(jīng)常深入到學生中去了解他們的困難和要求，積極熱情地幫他們釋疑解難，使他們體會到師長的溫暖，嘗試到因積極與老師配合、真實地提供信息而嘗到學習進步的甜頭。
三、注意反饋矯正的靈活性。
我們在教學中可采用靈活多樣的反饋矯正形式。咳提前設(shè)計矯正方案，也可預(yù)測學生容易出錯的地方，在獲取信息后，認真分析其問題的實質(zhì)，產(chǎn)生問題的原因，然后有針對性地實施矯正方案。在作業(yè)的檢查過程中，要求進一步落實學生是否存在抄作業(yè)現(xiàn)象，是否認真訂正作業(yè)。總之，反饋矯正一定要落在實處。
我們要主動輔導，及時令其矯正。進一步培養(yǎng)學生的主動性和自覺性，當然，如果我們只強調(diào)學生的主動和自覺，而不注意自身的主動和自覺，結(jié)果也會不如人意。
四、運用新的教學方法和現(xiàn)代教學理念。
新課程倡導自主、探究、合作的學習方式，追求平等、合作、對話的師生關(guān)系。在數(shù)學教學中，通過不同的數(shù)學活動的教學，不斷完成師生之間、學生之間交往互動與共同發(fā)展的過程。在數(shù)學課堂教學中，要創(chuàng)設(shè)有助于學生自主學習的生活情景，激發(fā)學生的探究欲望，引導學生通過實踐、思考、探索、交流，從而獲得知識，形成技能，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力，讓他們學會學習，從中認識到學習的樂趣。
五、營造平等融洽、師生互動的教學氛圍。
一、選擇題 （每小題3分，共24分）1．下列各組數(shù)中，能夠組成直角三角形的是 【 】A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，82．若式子 － ＋1有意義，則x的取值范圍是 【 】A．x ≥ B．x ≤ C．x＝ D．以上答案都不對3．在根式① ② ③ ④ 中，最簡二次根式是 【 】A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．① ④4．若三角形的三邊長分別為 ， ，2，則此三角形的面積為 【 】A． B． C． D． 5．如圖所示，ABC和DCE都是邊長為4的等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，連接BD，則BD的長為 【 】A． B．2 C．3 D．4
6．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，OEAB，垂足為E，若∠ADC ＝130°，則∠AOE的大小為 【 】A．75° B．65° C．55° D．50 °7．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，則四邊形CODE的周長是 【 】A． 4 B． 6 C． 8 D．10 8．如圖，是4個全等的直角三角形鑲嵌而成的正 方形圖案，已知大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩條直角邊（x ＞ y），請觀察圖案，指出下列關(guān)系式不正確的是 【 】A． B． C． D．二、填空題（ 每小題3分，共21分） 9．若 x，y為實數(shù)，且∣x＋2∣＋ ＝0，則（x＋y）2017的值為 ．10．計算： ．11. 實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則∣a－b∣－ ． 12．若x＝2－ ，則代數(shù)式（7＋4 ）x2＋（2＋ ）x＋ ＝ ．13．如圖，在平面直角坐標系中，若菱形ABCD的頂點A，B的坐標分別為（－3，0），（2，0），點D在y軸上，則點C的坐標是 ．14．如圖所示，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點A，分別過頂點D，B作DEa于點E，BFa于點F，若DE＝4，BF＝3，則EF＝ ．15．如圖，RtABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，將ABC折疊，使點B恰好落在斜邊AC上，與點B＇重合，AE為折痕，則E B＇＝ ． 三、解答題：（本大題共8個小題，滿分75分）16．（每小題4分 共8分）計算：（1） ； （2）a2 ．17．(8分) 如果最簡二次根式 與 是同類二次根式，那么要使式子 有意義， x的取值范圍是什么？ 18．（9分）如圖，每個小正方形的邊長都是1，（1）求四邊形ABCD的周長和面積（2）∠BCD是直角嗎？
19．(9分)如圖所示，在ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC和AD上，且CE＝AF，（1）求證：ABE ≌ CDF；（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形． 20．(10分) 如圖所示，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點，（1）求證：ABE ≌ CDF；（2）若∠B＝60°，AB＝4，求線段AE的長．
21．（10分）如圖所示，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E是CD的中點，連接OE，過點C作CF∥BD交線段OE的延長線于點F，連接DF．求證：（1）OD＝CF；（2）四邊形ODFC是菱形．22．（10分）如圖所示，矩形ABCD的對角線相交于點O，OFAD于點F，OF＝2cm，AEBD于點E，且BE﹕BD＝1﹕4，求AC的長． 23．（11分）在平面內(nèi)，正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連接DE，BH，兩線交于M，求證：（1）BH＝DE； （2）BHDE． 一、 選擇題題號 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C C B D B C D二、填空題題號 9 10 11 12 13 14 15答案 1 1 b 2＋ （5，4） 7 三、 解答題16．（1） （4分） （2） （4分）17．a(chǎn)＝5； ……………………3分 5≤x≤10 ……………………8分18．（1）周長 ……………………3分 面積14.5 ……………………6分（2）是……………………7分，證明：略．……………………9分19．（1）略 5分 （2）略 9分20．（1）略 5分 （2）證出AE是高 8分，AE ＝ 2 10分 21．證明：（1）CF∥BD ∠DOE＝∠CFE，E是CD的中點，CE＝DE在ODE和FCE中， ，ODE≌FCE（ASA）OD＝CF．……………………6分（2）由（1）知OD＝CF ，CF∥BD ，四邊形ODFC是平行四邊形在矩形ABCD中，OC＝OD，四邊形ODFC是菱形．……………………10分22．解法一：四邊形ABCD為矩形，∠BAD＝90°， OB＝OD，AC＝BD，又OFAD，OF∥AB，又OB＝OD ， AB＝2OF＝4cm，BE︰BD＝1︰4，BE︰ED＝1︰3 ……………………3分設(shè)BE＝x，ED＝3 x ，則BD＝4 x ，AEBD于點E ，16－x2＝AD2－9x2……… ………6分又AD2＝BD2－AB2＝16 x2－16 ，16－x2＝16 x2－16－9x2，8 x2＝32x2＝4，x＝2 ……………………9分BD＝2×4 ＝8（cm），AC＝8 cm ． ……………………10分解法二：在矩形ABCD中，BO＝OD＝ BD，BE︰BD＝1︰4，BE︰BO＝1︰2，即E是BO的中點 ……………………3分又AEBO，AB＝A O，由矩形的對角線互相平分且相等，AO＝BO ……………………5分ABO是正三角形，∠BAO＝60°，∠OAD＝90°－60°＝30° ……………………8分在RtAOF中，AO＝2OF＝4，AC＝2AO＝8 ……………………10分23．（1）提示：證明：BCH≌DCE（SAS） ……………………6分 （2）由（1）知 BCH≌DCE ∠CBH＝∠EDC 設(shè)BH，CD交于點N，則∠BNC＝∠ DNH ∠CBH＋∠BNC＝∠EDC＋∠DNH＝90°∠DMN=180°-90°＝90° BHDE．……………………11分
一、選擇題(共10小題，每小題4分，滿分40分)1. －5的絕對值是…………………………………………………………( )A. -5 B. 5 C. D. 2. 有一組數(shù)據(jù)如下：3，6，5，2，3，4，3，6.那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是………（ ）A. 3或4 B. 4 C. 3 D. 3.53.如圖是由相同小正方體組成的立體圖形，它的左視圖為（） A． B． C． D． 4．拋物線 的頂點坐標是…………………………………（ ）A.（1，3） B.（3，1） C.（—3，1） D.（—3，—1）5.因式分解 的結(jié)果是…………………………………………… ( )A. B. C. D. 6. 如圖，反映的是某中學七（3）班學生外出乘車、步行、騎車的人數(shù)直方圖（部分）和扇形分布圖，則下列說法不正確的是 …………………………… ( )A．七（3）班外出步行的有8人 B．七（3）班外出的共有40人C．在扇形統(tǒng)計圖中，步行人數(shù)所占的圓心角度數(shù)為82°D．若該校七年級外出的學生共有500人，那么估計全年級外出騎車的約有150人 7．已知兩圓的半徑分別為1和3，當這兩圓內(nèi)含時，圓心距d的取值范圍是……………………………………………………………………………( )A. ； B. ； C. ； D. ．8．下列命題中真命題是……………………………………………………( )（A）任意兩個等邊三角形必相似；（B）對角線相等的四邊形是矩形；（C）以400角為內(nèi)角的兩個等腰三角形必相似；（D）一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形9.為了豐富同學們的課余生活，體育委員小強到體育用品商店購羽毛球拍和乒乓球拍，若購1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小強一共用320元購買了6副同樣的羽毛球拍和10副同樣的乒乓球拍，若設(shè)每副羽毛球拍為x元，每副乒乓球拍為y元，列二元一次方程組得…………………………………( )A． B． C． D． 10.將一張矩形紙片沿著它的一條對稱軸按如下方式對折。那么在圖④中下列說法不正確的是………………………………………………………………( )A. ∠ABC=60° B. ∠ADC=90° C. AD=BD=DC D. ∠ABC=45°二.填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分）11. 計算 = .12將線段AB平移1cm，得到線段A′B′，則點A到點A′的距離是 13.點C是線段AB的黃金分割點，（AC＞BC），則BC= AC．14.一艘船由A至B順水航行每小時走v1千米，由B至A逆水航行每小時走v2千米，則此船在A、B間往返一次平均每小時走 千米。
15. 如圖，過原點O的直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點A、B，根據(jù)圖中提供的信息可知，這個反比例函數(shù)的解析式為 （第15題） （第16題）16.如圖，AB是半圓直徑，半徑OCAB于點O，AD平分∠CAB交弧BC于點D，連結(jié)CD、OD，給出以下四個結(jié)論：①AC∥OD；② ；③ODE∽ADO；④ ．其中正確結(jié)論的序號是 ．三.解答題（本題有8小題，共80分.解答需寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）17．（10分）（1）計算：(5-1)0+2cos60°－ (3)2;（5分）（2）解方程：4x2+8x+1=0 （5分）18．（8分）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點A，B，C.(1)請完成如下操作：①以點O為原點、豎直和水平方向所在的直線為坐標軸、網(wǎng)格邊長為單位長，建立平面直角坐標系；②用直尺和圓規(guī)畫出該圓弧所在圓的圓心D的位置(不用寫作法，保留作圖痕跡)，并連接AD，CD；(2)請在(1)的基礎(chǔ)上，完成下列問題：①寫出點的坐標：C__________，D__________；②D的半徑＝____________(結(jié)果保留根號)；③若扇形ADC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面面積為______(結(jié)果保留π)；19．（8分）如圖，在梯形紙片ABCD中，AD//BC，AD>CD，將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在AD上的點C′處，折痕DE交BC于點E，連結(jié)C′E．求證：四邊形CDC′E是菱形．20.（9分） 某校將舉辦“心懷感恩•孝敬父母”的活動，為此，校學生會就全校1 000名同學暑假期間平均每天做家務(wù)活的時間，隨機抽取部分同學進行調(diào)查，并繪制成如下條形統(tǒng)計圖． （1）本次調(diào)查抽取的人數(shù)為_______，估計全校同學在暑假期間平均每天做家務(wù)活的時間在40分鐘以上(含40分鐘)的人數(shù)為_______； （2）校學生會擬在表現(xiàn)突出的甲、乙、丙、丁四名同學中，隨機抽取兩名同學向全校匯報．請用樹狀圖或列表法表示出所有可能的結(jié)果，并求恰好抽到甲、乙兩名同學的概率．
21．（9分）如圖所示，當小華站立在鏡子EF前A處時，他看自己的腳在鏡中的像的俯角為450 ：如果小華向后退0.5米到B處，這時他看自己的腳在鏡中的像的俯角為300 .求小華的眼睛到地面的距離。（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： 1.732）. 22. （10分）如圖，O是ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是 上的一個動點，過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D．（1）當點P在什么位置時，DP是O的切線？請說明理由；（2）當DP為O的切線時，求線段DP的長．23.（12分） 我市水產(chǎn)養(yǎng)殖專業(yè)戶王大爺承包了30畝水塘，分別養(yǎng)殖甲魚和桂魚.有關(guān)成本、銷售額見下表 (1)2010年，王大爺養(yǎng)殖甲魚20畝，桂魚10畝，求王大爺共收益多少萬元？(收益＝銷售額-成本)(2)2011年，王大爺繼續(xù)用這30畝水塘全部養(yǎng)殖甲魚和桂魚，計劃投入成本不超過70萬元.若每畝養(yǎng)殖的成本、銷售額與2010年相同，要獲得收益，他應(yīng)養(yǎng)殖甲魚和桂魚各多少畝？(3)已知甲魚每畝需要飼料500 kg，桂魚每畝需要飼料700 kg.根據(jù)(2)中的養(yǎng)殖畝數(shù)，為了節(jié)約運輸成本，實際使用的運輸車輛每次裝載飼料的總量是原計劃每次裝載總量的2倍，結(jié)果運輸養(yǎng)殖所需全部飼料比原計劃減少了2次.求王大爺原定的運輸車輛每次可裝載飼料多少kg？ 24．（14分）如圖，直線AB交x軸于點B（4，0），交y軸于點A（0，4），直線DMx軸正半軸于點M，交線段AB于點C，DM=6，連接DA，∠DAC=90°．（1）直接寫出直線AB的解析式；（2）求點D的坐標；（3）若點P是線段MB上的動點，過點P作x軸的垂線，交AB于點F，交過O、D、B三點的拋物線于點E，連接CE．是否存在點P，使BPF與FCE相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
試卷題號 題型 分值 試題難度 主要知識及主要思想方法 A 易 B中 C難 一 1 選擇題 4 √ 求一個數(shù)的絕對值 2 4 √ 能找出一組數(shù)據(jù)的眾數(shù) 3 4 √ 能根據(jù)幾何體確定三視圖 4 4 √ 根據(jù)頂點式求拋物線的頂點 5 4 √ 用公式法分解因式 6 4 √ 根據(jù)統(tǒng)計圖的學習發(fā)表自己的看法 7 4 √ 圓和圓的位置關(guān)系 8 4 √ 真假命題的判斷 9 4 √ 根據(jù)實際問題的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學模型，列出二元一次方程組 10 4 √ 軸對稱性質(zhì)及三角形內(nèi)角和性質(zhì)二 11 填空題 5 √ 整式的乘法運算 12 5 √ 平移性質(zhì) 13 5 √ 黃金線段比 14 5 √ 列代數(shù)式及分式的化簡 15 5 √ 根據(jù)反比例函數(shù)原點對稱性求解析式 16 5 √ 圓周角定理、平行線判定、等腰三角形性質(zhì)、相似三角形判定及性質(zhì) A 易 B中 C難 三 17 解答題 5 √ 數(shù)的零次冪、三角函數(shù)、平方運算 5 √ 解一元二次方程 18 8 √ 尺規(guī)作圖、建立平面直角坐標系、寫出點的坐標、勾股定理、圓錐側(cè)面展開圖與原圖對應(yīng)量之間的關(guān)系并進行相應(yīng)的計算 19 8 √ 軸對稱變換的性質(zhì)及菱形的判定方法 20 9 √ 根據(jù)頻數(shù)分布圖提供信息出相應(yīng)的量，會畫樹狀圖或列表格求概率 21 9 √ √ 解直角三角形、列一元一次方程 22 10 √ √ 垂徑定理、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理、切線判定、三角形相似判定及性質(zhì) 23 12 √ √ √ 一次函數(shù)的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用。 24 14 √ √ √ 求拋物線、直線的解析式、三角形相似、分類討論、等腰直角三角形性質(zhì)等綜合運用 22. （10分）解：（1）當點P是 的中點時，DP是O的切線．………1分理由如下：連接PAAB=AC， = ，又 = ， = ， PA是O的直徑，……………3分 = ， ∠1=∠2，…………4分又AB=AC， PABC，……………5分又DP∥BC， DPPA， DP是O的切線．……………6分（2）連接OB，設(shè)PA交BC于點E．由垂徑定理，得BE=BC=6，在RtABE中，由勾股定理，得：AE= = =8，…………7分設(shè)O的半徑為r，則OE=8﹣r，在RtOBE中，由勾股定理，得： r2=62+（8﹣r）2，解得r= ，……………8分DP∥BC，∠ABE=∠D，又∠1=∠1， ABE∽ADP，……………9分 = ，即 = ，解得：DP= ．……………10分 23.（12分）解答：解：（1）2010年王大爺?shù)氖找鏋椋?0×（3﹣2.4）+10×（2.5﹣2）=17（萬元），答：王大爺這一年共收益17萬元．………………………2分（2）設(shè)養(yǎng)殖甲魚x畝，則養(yǎng)殖桂魚（30﹣x）畝則題意得2.4x+2（30﹣x）≤70 ………………………3分解得x≤25， ………………………4分又設(shè)王大爺可獲得收益為y萬元，則y=0.6x+0.5（30﹣x），………………………6分即y= x+15．函數(shù)值y隨x的增大而增大，當x=25時，可獲得收益．………………………7分答：要獲得收益，應(yīng)養(yǎng)殖甲魚25畝，桂魚5畝．………………………8分（3）設(shè)大爺原定的運輸車輛每次可裝載飼料a㎏由（2）得，共需要飼料為500×25+700×5=16000㎏，根據(jù)題意得 ﹣ =2，………………………10分解得a=4000㎏．………………………11分答：王大爺原定的運輸車輛每次可裝載飼料4000㎏．……………………12分
一、選擇題（每小題3分，共30分） 1.在直角三角形 中，如果各邊長度都擴大2倍，則銳角 的正弦值和正切值（ ）A.都縮小 B.都擴大2倍 C.都沒有變化 D.不能確定 2. 如圖是教學用的直角三角板，邊AC=30 cm，∠C=90°，tan∠BAC= ，則邊BC的長為（） A.30 cm B.20 cm C.10 cm D.5 cm 3.一輛汽車沿坡角為 的斜坡前進500米，則它上升的高度為（ ） A.500sin B. C.500cos D. 4.如圖，在 中， =10，∠ =60°，∠ =45°，則點 到 的距離是（ ）A.10 5 B.5+5 C.15 5 D.15 10 5. 的值等于（ ）A.1 B. C. D.2 6.計算 的結(jié)果是( )A. B. C. D. 7.如圖，在 中， 則 的值是( )A. B. C. D.
8.上午9時，一船從 處出發(fā)，以每小時40海里的速度向正東方向航行，9時30 分到達 處，如圖所示，從 ， 兩處分別測得小島 在北偏東45°和北偏東15°方向，那么 處與小島 的距離為（ ）A.20海里 B.20 海里 C.15 海里 D.20 海里9. （2012•山西中考）如圖，AB是O的直徑，C、D是O上一點，∠CDB=20°，過點C作O的切線交AB的延長線于點E，則∠E等于（） A． 40° B． 50° C． 60° D． 70° 第9題圖10. 如圖， 是 的直徑， 是 的切線， 為切點，連結(jié) 交 于點 ,連結(jié) ,若∠ ＝45°,則下列結(jié)論正確的是（ ） A． B. C. D. 二、填空題（每小題3分，共24分）11.在離旗桿20 m的地方用測角儀測得旗桿桿頂?shù)难鼋菫?，如果測角儀高1.5 m， 那么旗桿的高為________m. 12.如果sin = ，則銳角 的余角是__________. 13.已知∠ 為銳角，且sin = ，則tan 的值為__________. 14.如圖，在離地面高度為5 m的 處引拉線固定電線桿，拉線與地面成 角， 則拉線 的長為__________m(用 的三角函數(shù)值表示). 15.（2014•成都中考）如圖，AB是O的直徑，點C在AB的延長線上，CD切O于點D，連結(jié)AD，若∠ =25°，則∠C =__________度.16.（2014•蘇州中考）如圖，直線l與半徑為4的O相切于點A， P是O上的一個動點（不與點A重合），過點P作PBl，垂足為B，連結(jié)PA．設(shè)PA＝x，PB＝y(tǒng)，則（x－y）的值是 ．17. 如圖所示， ， 切O于 ， 兩點，若 ，O的半徑為 ，則陰影部分的面積為_______. 18. 如圖是一個藝術(shù)窗的一部分，所有的四邊形都是正方形，三角形是直角三角形，其中正方形的邊長為 ，則正方形A，B的面積和是_________．三、解答題（共66分） 19.(8分)計算:6tan230°－cos 30°•tan 60°－2sin 45°+cos 60°. 20.(8分)如圖，李莊計劃在山坡上的 處修建一個抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知 到水池 處的距離 是50米，山坡的坡角∠ =15°，由于受大氣壓的影響，此種抽水泵的實際吸水揚程 不能超過10米，否則無法抽取水池中的水，試問抽水泵站能否建在 處? 21.(8分) 如圖所示，AB為O的直徑，點C在O上，點P是直徑AB上的一點（不與A，B重合），過點P作AB的垂線交BC的延長線于點Q.（1）在線段PQ上取一點D，使DQ=DC，連結(jié)DC，試判斷CD與O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若cos B= ，BP=6，AP=1，求QC的長.22.(8分)在Rt 中，∠ =90°，∠ =50°， =3，求∠ 和a(邊長精確到0.1).23.(8分) 在 中， ， ， ．若 ，如圖①，根據(jù)勾股定理，則 .若 不是直角三角形，如圖②和圖③，請你類比勾股定理，試猜想 與 的關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 24.(8分)某電視塔 和樓 的水平距離為100 m，從樓頂 處及樓底 處測得塔頂 的仰角分別為45°和60°，試求樓高和電視塔高(結(jié)果精確到0.1 m). 第24題圖25.(8分) 如圖，點 在 的直徑 的延長線上，點 在 上，且 ，∠ °.（1）求證： 是 的切線；（2）若 的半徑為2，求圖中陰影部分的面積.26.（10分）（2014•北京中考）如下圖，AB是O的直徑，C是弧AB的中點，O的切線BD交AC的延長線于點D，E是OB的中點，CE的延長線交切線DB于點F，AF交O于點H，連結(jié)BH.（1）求證：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的長.
期中檢測題參考答案一、選擇題1.C 解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念知，如果各邊的長度都擴大2倍，那么銳角 的各三角函數(shù)均沒有變化．故選C．2.C 解析：在直角三角形ABC中，tan∠BAC= 根據(jù)三角函數(shù)定義可知：tan∠BAC= ，則BC=AC tan∠BAC=30× =10 (cm)．故選C．3.A 解析：如圖，∠ = ， =500米，則 =500sin ．故選A． 第3題答圖 第4題答圖4.C 解析：如圖，作ADBC，垂足為點D.在Rt 中，∠ =60°， = ． 在Rt 中，∠ =45°， = ， =（1+ ） =10．解得 =15﹣5 ．故選C．5.C 6.D 解析： .7.C 解析： . 第8題答圖8.B 解析：如圖，過點 作 于點 ． 由題意得， =40× =20（海里），∠ =105°．在Rt 中， = • 45°=10 ． 在Rt 中，∠ =60°，則∠ =30°， 所以 =2 =20 （海里）．故選B．9.B 解析：連結(jié)OC，如圖所示. 圓心角∠BOC與圓周角∠CDB都對弧BC， ∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°， ∠BOC=40°，又 CE為 的切線，OCCE，即∠OCE=90°， ∠E=90° 40°=50°． 故選B. 10. A 解析： 是 的直徑， 與 切于 點且∠ ＝ , 、 和 都是等腰直角三角形. 只有 成立.故選A. 二、填空題11.（1.5+20tan ） 解析：根據(jù)題意可得：旗桿比測角儀高20tan m，測角儀高1.5 m，故旗桿的高為（1.5+20tan ）m．12.30° 解析： sin = ， 是銳角， =60°． 銳角 的余角是90°﹣60°=30°．13. 解析：由sin = = 知，如果設(shè) =8 ，則 17 ，結(jié)合 2+ 2= 2得 =15 ． tan = ．14. 解析： 且 =5 m，∠CAD= ， = ． 15.40 解析：連結(jié)OD，由CD切O于點D，得∠ODC= . OA=OD, , 16. 2 解析：如圖所示，連結(jié) ，過點O作 于點C，所以∠ACO=90°.根據(jù)垂徑定理可知， .根據(jù)切線性質(zhì)定理得， .因為 ，所以∠PBA=90°, ∥ ,所以 .又因為∠ACO=∠PBA，所以 ∽ ,所以 即 ，所以 ，所以 = ， 所以 的值是2.17. ， 切 于 ， 兩點 ，所以∠ =∠ ，所以∠ 所以 所以陰影部分的面積為 = .18.25 解析：設(shè)正方形A的邊長為 正方形B的邊長為 則 ，所以 .三、解答題19.解：原式= .20.解： =50，∠ =15°，又sin∠ = ， = •sin∠ = 50sin 15°≈13 10，故抽水泵站不能建在 處.21. 分析：（1）連結(jié)OC，通過證明OCDC得CD是O的切線；（2）連結(jié)AC，由直徑所對的圓周角是直角得ABC為直角三角形，在RtABC中根據(jù)cos B= ，BP=6，AP=1，求出BC的長，在RtBQP中根據(jù)cos B= 求出BQ的長，BQ BC即為QC的長.解：（1）CD是O的切線.理由如下：如圖所示，連結(jié)OC， OC=OB， ∠B=∠1.又 DC=DQ， ∠Q=∠2. PQAB， ∠QPB=90°. ∠B+∠Q=90°. ∠1+∠2=90°. ∠DCO=∠QCB (∠1+∠2)=180° 90°=90°. OCDC. OC是O的半徑， CD是O的切線.（2）如圖所示，連結(jié)AC， AB是O的直徑， ∠ACB=90°.在RtABC中， BC=ABcos B=(AP+PB)cos B=(1+6)× = .在RtBPQ中，BQ= = =10. QC=BQ BC=10- = .22.解：∠ =90° 50°=40°. sin = ， =3， sin ≈3×0.766 0≈2.298≈2.3.23.解：如圖①，若 是銳角三角形，則有 .證明如下：過點 作 ，垂足為點 ，設(shè) 為 ，則有 .根據(jù)勾股定理，得 ，即 . . ， ， .如圖②，若 是鈍角三角形， 為鈍角，則有 . 證明如下：過點 作 ，交 的延長線于點 .設(shè) 為 ，則有 ，根據(jù)勾股定理，得 ，即 . ， ， . 24.解：設(shè) = m， =100 m，∠ =45°， •tan 45°=100(m). =(100+ )m.在Rt 中，∠ =60°，∠ =90°， tan 60°= ， = ，即 +100=100 ， =100 100 73.2(m)，即樓高約為73.2 m，電視塔高約為173.2 m.25．（1）證明：連結(jié) . ， ， . , . . 是 的切線. （2）解: ， . .在RtOCD中, . . 圖中陰影部分的面積為 π. 26. （1）證明：如圖，連結(jié)OC. C是弧AB的中點，AB是 的直徑， OCAB. BD是 的切線， BDAB, OC∥BD. AO=BO, AC=CD.(2)解： OCAB，ABBF, OC∥BF， ∠COE=∠FBE. E是OB的中點， OE=BE.在COE和FBE中， COE≌FBE(ASA). BF=CO. OB=OC=2， BF=2. AB是直徑， BHAF. ABBF, ABH∽AFB. ,
第一單元
數(shù)與式
第1講
實
數(shù)
知識點一：實數(shù)的概念及分類
關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例
1.實數(shù)
（1）按定義分
（2）按正、負性分
正有理數(shù)
有理數(shù)
有限小數(shù)或
正實數(shù)
負有理數(shù)
無限循環(huán)小數(shù)
實數(shù)
實數(shù)
正無理數(shù)
負實數(shù)
無理數(shù)
無限不循環(huán)小數(shù)
負無理數(shù)
（1）0既不屬于正數(shù)，也不屬于負數(shù).
（2）無理數(shù)的幾種常見形式判斷：①含π的式子；②構(gòu)造型：如3.010010001…（每兩個1之間多個0）就是一個無限不循環(huán)小數(shù)；③開方開不盡的數(shù)：如，；④三角函數(shù)型：如sin60°，tan25°.
（3）失分點警示：開得盡方的含根號的數(shù)屬于有理數(shù)，如=2，=-3，它們都屬于有理數(shù).
知識點二
：實數(shù)的相關(guān)概念
2.數(shù)軸
（1）三要素：原點、正方向、單位長度
（2）特征：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；數(shù)軸右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大
例：
數(shù)軸上-2.5表示的點到原點的距離是2.5.
3.相反數(shù)
（1）概念：只有符號不同的兩個數(shù)
（2）代數(shù)意義：a、b互為相反數(shù)ó
a+b=0
（3）幾何意義：數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點到原點的距離相等
a的相反數(shù)為-a，特別的0的絕對值是0.
例：3的相反數(shù)是-3，-1的相反數(shù)是1.
4.絕對值
（1）幾何意義：數(shù)軸上表示的點到原點的距離
（2）運算性質(zhì)：|a|=
a
(a≥0)；
|a-b|=
a-b(a≥b)
-a(a＜0).
b-a(a＜b)
（3）非負性：|a|≥0，若|a|+b2=0,則a=b=0.
（1）若|x|=a（a≥0），則x=±a.
（2）對絕對值等于它本身的數(shù)是非負數(shù).
例：5的絕對值是5；|-2|=2；絕對值等于3的是±3;|1-|=-1.
5.倒數(shù)
（1）概念：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù).a的倒數(shù)為1/a(a≠0)
（2）代數(shù)意義：ab=1óa(chǎn),b互為倒數(shù)
例：
-2的倒數(shù)是-1/2
；倒數(shù)等于它本身的數(shù)有±1.
知識點三
：科學記數(shù)法、近似數(shù)
6.科學記數(shù)法
（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)
（2）確定n的方法：對于數(shù)位較多的大數(shù)，n等于原數(shù)的整數(shù)為減去1；對于小數(shù)，寫成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原數(shù)中左起至第一個非零數(shù)字前所有零的個數(shù)（含小數(shù)點前面的一個）
例：
21000用科學記數(shù)法表示為2.1×104；
19萬用科學記數(shù)法表示為1.9×105；0.0007用科學記數(shù)法表示為7×10-4.
7.近似數(shù)
（1）定義：一個與實際數(shù)值很接近的數(shù).
（2）精確度：由四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.
例：
3.14159精確到百分位是3.14；精確到0.001是3.142.
知識點四
：實數(shù)的大小比較
8.實數(shù)的大小比較
（1）數(shù)軸比較法：數(shù)軸上的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.
（2）性質(zhì)比較法：正數(shù)＞0＞負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而
小.
（3）作差比較法：a-b＞0óa(chǎn)＞b；a-b=0óa(chǎn)=b；a-b＜0óa(chǎn)＜b.
（4）平方法：a＞b≥0óa(chǎn)2＞b2.
例：
把1，-2,0，-2.3按從大到小的順序排列結(jié)果為___1＞0＞-2＞-2.3_.
知識點五
：實數(shù)的運算
9.
常見運算
乘
方
幾個相同因數(shù)的積;
負數(shù)的偶（奇）次方為正（負）
例：
（1）計算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;
3-1=_1/3_;π0=__1__;
(2)64的平方根是_±8__,算術(shù)平方根是__8_,立方根是__4__.
失分點警示：類似
“的算術(shù)平方根”計算錯誤.
例：相互對比填一填：16的算術(shù)平方根是
4___,的算術(shù)平方根是___2__.
零次冪
a0=_1_(a≠0)
負指數(shù)冪
a-p=1/ap（a≠0，p為整數(shù)）
平方根、
算術(shù)平方根
若x2=a（a≥0）,則x=.其中是算術(shù)平方根.
立方根
若x3=a,則x=.
10.混合運算
先乘方、開方，再乘除，最后加減；同級運算，從左
向右進行；如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、
中括號、大括號一次進行.計算時，可以結(jié)合運算律，
使問題簡單化
第2講
整式與因式分解
一、知識清單梳理
知識點一：代數(shù)式及相關(guān)概念
關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例
1.代數(shù)式
（1）代數(shù)式：用運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式．
（2）求代數(shù)式的值：用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計算得出的結(jié)果，叫做求代數(shù)式的值．
求代數(shù)式的值常運用整體代入法計算.
例：a－b＝3，則3b－3a＝－9.
2.整式
（單項式、多項式）
（1）單項式：表示數(shù)字與字母積的代數(shù)式，單獨的一個數(shù)或一個字母也叫單項式.其中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做單項式的次數(shù).
（2）多項式：幾個單項式的和.多項式中的每一項叫做多項式的項，次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù).
（3）整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.
（4）同類項：所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項.所有的常數(shù)項都是同類項.
例：
（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中屬于單項式的是①③⑤⑦；多項式是②⑥；同類項是①和⑤.
（2）多項式7m5n-11mn2+1是六次三項式，常數(shù)項是
__1
.
知識點二：整式的運算
3.整式的加減運算
(1)合并同類項法則:同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．
(2)去括號法則:
若括號外是“＋”，則括號里的各項都不變號；若括號外是“－”，則括號里的各項都變號.
(3)整式的加減運算法則：先去括號，再合并同類項.
失分警示：去括號時，如果括號外面是符號，一定要變號，且與括號內(nèi)每一項相乘，不要有漏項.
例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.
4.冪運算法則
(1)同底數(shù)冪的乘法：am·an＝am＋n；
(2)冪的乘方：(am)n＝amn；
(3)積的乘方：(ab)n＝an·bn；
(4)同底數(shù)冪的除法：am÷an＝am－n
(a≠0).
其中m,n都在整數(shù)
(1)計算時，注意觀察，善于運用它們的逆運算解決問題.例：已知2m+n=2,則3×2m×2n=6.
（2）在解決冪的運算時，有時需要先化成同底數(shù).例：2m·4m=23m.
5.整式的乘除運算
(1)單項式×單項式：①系數(shù)和同底數(shù)冪分別相乘；②只有一個字母的照抄．
(2)單項式×多項式：
m(a+b)=ma+mb.
(3)多項式×多項式:
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
(4)單項式÷單項式：將系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除.
(5)多項式÷單項式：①多項式的每一項除以單項式；②商相加．
失分警示：計算多項式乘以多項式時，注意不能漏乘，不能丟項，不能出現(xiàn)變號錯.
例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.
（6）乘法
公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
注意乘法公式的逆向運用及其變形公式的運用
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
變形公式：
a2+b2=(a±b)2?2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】
/2
6.混合運算
注意計算順序，應(yīng)先算乘除，后算加減；若為化簡求值，一般步驟為：化簡、代入替換、計算．
例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.
知識點五：因式分解
7.因式分解
(1)定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式．
(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
(3)一般步驟：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③檢查各因式能否繼續(xù)分解.
(1)
因式分解要分解到最后結(jié)果不能再分解為止，相同因式寫成冪的形式；
(2)
因式分解與整式的乘法互為逆運算．
第3講
分
式
二、知識清單梳理
知識點一：分式的相關(guān)概念
關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例
1.
分式的概念
（1）分式：形如
(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.
（2）最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式.
在判斷某個式子是否為分式時，應(yīng)注意：（1）判斷化簡之間的式子；（2）π是常數(shù)，不是字母.
例：下列分式：①;②;
③;④，其中是分式是②③④；最簡分式
③.
2.分式的意義
(1)無意義的條件：當B＝0時，分式無意義；
(2)有意義的條件：當B≠0時，分式有意義；
(3)值為零的條件：當A＝0，B≠0時，分式＝0.
失分點警示：在解決分式的值為0，求值的問題時，一定要注意所求得的值滿足分母不為0.
例：
當?shù)闹禐?時，則x＝-1.
3.基本性質(zhì)
(
1
)
基本性質(zhì)：(C≠0)．
（2）由基本性質(zhì)可推理出變號法則為：
；
.
由分式的基本性質(zhì)可將分式進行化簡：
例：化簡：=.
知識點三
：分式的運算
4.分式的約分和通分
(1)約分(可化簡分式)：把分式的分子和分母中的公因式約去，
即；
(2)通分(可化為同分母)：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把異分母的分式化為同分母的分式，即
分式通分的關(guān)鍵步驟是找出分式的最
簡公分母，然后根據(jù)分式的性質(zhì)通分.
例：分式和的最簡公分母為.
5.分式的加減法
(1)同分母：分母不變，分子相加減.即±＝；
(2)異分母：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.即±＝.
例：
＝－1.
6.分式的乘除法
(1)乘法：·＝；
(2)除法：＝；
(3)乘方：＝
(n為正整數(shù)).
例：＝；＝2y；
＝.
7.分式的混合運算
(1)僅含有乘除運算：首先觀察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后約分.
(2)含有括號的運算：注意運算順序和運算律的合理應(yīng)用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加減，若有括號，先算括號里面的．
失分點警示：分式化簡求值問題，要先將分式化簡到最簡分式或整式的形式，再代入求值.代入數(shù)值時注意要使原分式有意義.有時也需運用到整體代入.
第4講
二次根式
三、知識清單梳理
知識點一：二次根式
關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例
1.有關(guān)概念
（1）二次根式的概念：形如(a≥0)的式子.
（2）二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0.
（3）最簡二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不含根號）；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式
失分點警示：當判斷分式、二次根式組成的復(fù)合代數(shù)式有意義的條件時，注意確保各部分都有意義，即分母不為0，被開方數(shù)大于等于0等.例：若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是x＞1.
2.二次根式的性質(zhì)
（1）雙重非負性：
①被開方數(shù)是非負數(shù)，即a≥0；
②二次根式的值是非負數(shù)，即≥0.
注意：初中階段學過的非負數(shù)有：絕對值、偶冪、算式平方根、二次根式.
利用二次根式的雙重非負性解題：
（1）值非負:當多個非負數(shù)的和為0時，可得各個非負數(shù)均為0.如+=0，則a=-1，b=1.
（2）被開方數(shù)非負:當互為相反數(shù)的兩個數(shù)同時出現(xiàn)在二次根式的被開方數(shù)下時，可得這一對相反數(shù)的數(shù)均為0.如已知b=+,則a=1,b=0.
(2)兩個重要性質(zhì)：
①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝；
(3)積的算術(shù)平方根：＝·(a≥0，b≥0)；
(4)商的算術(shù)平方根：
(a≥0，b＞0)．
例：計算：
＝3.14；＝2；
=；=2
；
知識點二
：二次根式的運算
3.二次根式的加減法
先將各根式化為最簡二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二次根式．
例：計算：＝.
4.二次根式的乘除法
（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；
（2）除法：
=
(a≥0，b＞0)．
注意：將運算結(jié)果化為最簡二次根式.
例：計算：＝1；4.
5.二次根式的混合運算
運算順序與實數(shù)的運算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號）．
運算時，注意觀察，有時運用乘法公式會使運算簡便.
例：計算：(+1)(
-1)=
1
.
第二單元
方程(組)與不等式(組)
第5講
一次方程(組)
四、知識清單梳理
知識點一：方程及其相關(guān)概念
關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例
1.等式的基本性質(zhì)
(1)性質(zhì)1：等式兩邊加或減同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b，則a±c＝b±c
.
(2)性質(zhì)2：等式兩邊同乘（或除）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b，則ac＝bc，(c≠0)．
(3)性質(zhì)3：（對稱性）若a=b,則b=a.
(4)性質(zhì)4：（傳遞性）若a=b,b=c,則a=c.
失分點警示：在等式的兩邊同除以一個數(shù)時，這個數(shù)必須不為0.
例：判斷正誤.
(1)若a=b,則a/c=b/c.
(×)
(2)若a/c=b/c，則a=b.
(√)
2.關(guān)于方程
的基本概念
(1)一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，且等式兩邊都是整式的方程．
(2)二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程．
(3)二元一次方程組：含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程．
(4)二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共解．
在運用一元一次方程的定義解題時，注意一次項系數(shù)不等于0.
例：若(a-2)是關(guān)于x的一元一次方程，則a的值為0.
知識點二
：解一元一次方程和二元一次方程組
3.解一元一次方程的步驟
(1)去分母:方程兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘常數(shù)項；
(2)去括號：括號外若為負號，去括號后括號內(nèi)各項均要變號；
(3)移項：移項要變號；
(4)合并同類項：把方程化成ax=-b(a≠0)；
(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以系數(shù)a,得到方程的解x=-b/a.
失分點警示：方程去分母時，應(yīng)該將分子用括號括起來，然后再去括號，防止出現(xiàn)變號錯誤.
4.二元一次
方程組的解法
思路：消元，將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程.
已知方程組，求相關(guān)代數(shù)式的值時，需注意觀察，有時不需解出方程組，利用整體思想解決解方程組.
例：
已知則x-y的值為x-y=4.
方法：
(1)代入消元法:從一個方程中求出某一個未知數(shù)的表達式，再把“它”代入另一個方程，進行求解；
(2)
加減消元法：把兩個方程的兩邊分別相加或相減消去一個未知數(shù)的方法.
知識點三
：一次方程(組)的實際應(yīng)用
5.列方程(組)
解應(yīng)用題的一般步驟
(1)審題：審清題意，分清題中的已知量、未知量；
(2)設(shè)未知數(shù)；
(3)列方程(組)：找出等量關(guān)系，列方程（組）；
(4)解方程(組)；
(5)檢驗：檢驗所解答案是否正確或是否滿足符合題意；
(6)作答：規(guī)范作答，注意單位名稱．
（1）設(shè)未知數(shù)時，一般求什么設(shè)什么，但有時為了方便，也可間接設(shè)未知數(shù).如題目中涉及到比值，可以設(shè)每一份為x.
（2）列方程（組）時，注意抓住題目中的關(guān)鍵詞語，如共是、等于、大（多）多少、?。ㄉ伲┒嗌佟妆?、幾分之幾等.
6.常見題型及關(guān)系式
（1）利潤問題：售價=標價×折扣，銷售額=售價×銷量，利潤=售價-進價，利潤率=利潤/進價×100%.
（2）利息問題：利息=本金×利率×期數(shù)，本息和=本金+利息.
（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間.
（4）行程問題：路程=速度×時間.
①相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程；
②追及問題：a.同地不同時出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程；b.同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程.
第6講
一元二次方程
五、知識清單梳理
知識點一：一元二次方程及其解法
關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例
1.
一元二次方程的相關(guān)概念
(1)定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2
的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項、一次項、常數(shù)項，a、b、c分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．
例：方程是關(guān)于x的一元二次方程，則方程的根為－1.
2.一元二次方程的解法
（1）直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開平方求解.
(
2
)因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
(
3
)公式法:一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2-4ac≥0）.
(4)配方法：當一元二次方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為偶數(shù)時，也可以考慮用配方法．
解一元二次方程時，注意觀察，
先特殊后一般，即先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，不能用這兩種方法解時，再用公式法.
例：把方程x2+6x+3=0變形為(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.
知識點二
：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系
3.根的判別式
(1)當Δ＝>0時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根．
(2)當Δ＝=0時，原方程有兩個相等的實數(shù)根．
(3)當Δ＝
例：方程的判別式等于8，故該方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程的判別式等于－8，故該方程沒有實數(shù)根.
*4.根與系數(shù)的關(guān)系
（1）基本關(guān)系：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根分別為x1、x2,則x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意運用根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是≥0.
（2）解題策略：已知一元二次方程，求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值時，先把所求代數(shù)式變形為含有x1+x2、x1x2的式子，再運用根與系數(shù)的關(guān)系求解.
與一元二次方程兩根相關(guān)代數(shù)式的常見變形：
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,等.
失分點警示
在運用根與系數(shù)關(guān)系解題時，注意前提條件時=b2-4ac≥0.
知識點三
：一元二次方程的應(yīng)用
4.列一元二次方程解應(yīng)用題
（1）解題步驟：①審題；②
設(shè)未知數(shù)；③
列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗根是否有意義；⑥作答．
運用一元二次方程解決實際問題時，方程一般有兩個實數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗根是否有意義.
（2）應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應(yīng)用.
①平均增長率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；
②利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本×100%；
③傳播、比賽問題：
④面積問題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補或平移形成規(guī)則圖形，運用面積之間的關(guān)系列方程.
第8講
一元一次不等式(組)
六、知識清單梳理
知識點一：不等式及其基本性質(zhì)
關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例
1.不等式的相關(guān)概念
（1）不等式：用不等號(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等關(guān)系的式子.
（2）不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值.
（3）不等式的解集：使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍.
例：“a與b的差不大于1”用不等式表示為a－b≤1.
2.不等式的基本性質(zhì)
性質(zhì)1：若a＞b,則
a±c>b±c；
性質(zhì)2：若a＞b,c>0，則ac>bc，>；
性質(zhì)3：若a＞b,c
牢記不等式性質(zhì)3，注意變號.
如：在不等式－2x＞4中，若將不等式兩邊同時除以－2，可得x＜2.
知識點二
：一元一次不等式
3.定義
用不等號連接，含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項的次數(shù)都是1的，左右兩邊為整式的式子叫做一元一次不等式.
例：若是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為-1.
4.解法
（1）步驟：去分母；去括號；移項；合并同類項；系數(shù)化為1.
失分點警示
系數(shù)化為1時，注意系數(shù)的正負性，若系數(shù)是負數(shù)，則不等式改變方向.
（2）解集在數(shù)軸上表示:
x≥a
x＞a
x≤a
x＜a
知識點三
：一元一次不等式組的定義及其解法
5.定義
由幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組．
（1）在表示解集時“≥”，“≤”表示含有，要用實心圓點表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圓點表示．
（2）已知不等式（組）的解集情況，求字母系數(shù)時，一般先視字母系數(shù)為常數(shù)，再逆用不等式（組）解集的定義，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
如：已知不等式（a-1）x＜1-a的解集是x＞-1，則a的取值范圍是a＜1.
6.解法
先分別求出各個不等式的解集，再求出各個解集的公共部分
7.不等式組解集的類型
假設(shè)a＜b
解集
數(shù)軸表示
口訣
x≥b
大大取大
x≤a
小小取小
a≤x≤b
大小，小大中間找
無解
大大，小小取不了
知識點四
：列不等式解決簡單的實際問題
8.列不等式解應(yīng)用題
（1）一般步驟：審題；設(shè)未知數(shù)；找出不等式關(guān)系；列不等式；解不等式；驗檢是否有意義.
（2）應(yīng)用不等式解決問題的情況：
a.關(guān)鍵詞：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超過（＞）”、“不足（＜）”等；
b.隱含不等關(guān)系：如“更省錢”、“更劃算”等方案決策問題，一般還需根據(jù)整數(shù)解，得出最佳方案
注意：
列不等式解決實際問題中，設(shè)未知數(shù)時，不應(yīng)帶“至少”、“最多”等字眼，與方程中設(shè)未知數(shù)一致.
第9講
平面直角坐標系與函數(shù)
七、知識清單梳理
知識點一：平面直角坐標系
關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例
1.相關(guān)概念
（1）定義：在平面內(nèi)有公共原點且互相垂直的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系．
（2）幾何意義：坐標平面內(nèi)任意一點M與有序?qū)崝?shù)對(x，y)的關(guān)系是一一對應(yīng)．
點的坐標先讀橫坐標(x軸)，再讀縱坐標(y軸).
2.點的坐標特征
(
1
)各象限內(nèi)點的坐標的符號特征（如圖所示）：
點P(x,y)在第一象限?x＞0，y＞0；
點P(x,y)在第二象限?x＜0，y＞0；
點P（x,y）在第三象限?x＜0，y＜0；
點P（x,y）在第四象限?x＞0，y＜0.
（2）
坐標軸上點的坐標特征：
①在橫軸上?y＝0；②在縱軸上?x＝0；③原點?x＝0，y＝0.
（3）各象限角平分線上點的坐標
①第一、三象限角平分線上的點的橫、縱坐標相等；
②第二、四象限角平分線上的點的橫、縱坐標互為相反數(shù)
（4）點P（a,b）的對稱點的坐標特征：
①關(guān)于x軸對稱的點P1的坐標為(a，－b)；②關(guān)于y軸對稱的點P2的坐標為(－a，b)；
③關(guān)于原點對稱的點P3的坐標為(－a，－b)．
（5）點M（x,y）平移的坐標特征：
M（x,y）
M1(x+a,y)
M2(x+a,y+b)
（1）坐標軸上的點不屬于任何象限.
（2）平面直角坐標系中圖形的平移，圖形上所有點的坐標變化情況相同.
（3）平面直角坐標系中求圖形面積時，先觀察所求圖形是否為規(guī)則圖形，若是，再進一步尋找求這個圖形面積的因素，若找不到，就要借助割補法，割補法的主要秘訣是過點向x軸、y軸作垂線，從而將其割補成可以直接計算面積的圖形來解決.
3.坐標點的距離問題
（1）點M(a,b)到x軸，y軸的距離：到x軸的距離為|b|；)到y(tǒng)軸的距離為|a|．
（2）平行于x軸，y軸直線上的兩點間的距離：
點M1(x1,0)，M2(x2,0)之間的距離為|x1－x2|，點M1(x1，y)，M2(x2，y)間的距離為|x1－x2|；
點M1(0，y1)，M2(0，y2)間的距離為|y1－y2|，點M1(x，y1)，M2(x，y2)間的距離為|y1－y2|．
平行于x軸的直線上的點縱坐標相等；平行于y軸的直線上的點的橫坐標相等.
知識點二：函
數(shù)
4.函數(shù)的相關(guān)概念
（1）常量、變量：在一個變化過程中，數(shù)值始終不變的量叫做常量，數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量．
（2）函數(shù)：在一個變化過程中，有兩個變量x和y，對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么就稱x是自變量，y是x的函數(shù)．函數(shù)的表示方法有：列表法、圖像法、解析法.
（3）函數(shù)自變量的取值范圍：一般原則為：整式為全體實數(shù)；分式的分母不為零；二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)；使實際問題有意義．
失分點警示
函數(shù)解析式，同時有幾個代數(shù)式，函數(shù)自變量的取值范圍應(yīng)是各個代數(shù)式中自變量的公共部分.
例：函數(shù)y=中自變量的取值范圍是x≥-3且x≠5.
5.函數(shù)的圖象
（1）分析實際問題判斷函數(shù)圖象的方法：
①找起點：結(jié)合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，對應(yīng)到圖象中找對應(yīng)點；
②找特殊點：即交點或轉(zhuǎn)折點，說明圖象在此點處將發(fā)生變化；
③判斷圖象趨勢：判斷出函數(shù)的增減性，圖象的傾斜方向.
（2）以幾何圖形（動點）為背景判斷函數(shù)圖象的方法：
①設(shè)時間為t（或線段長為x），找因變量與t(或x)之間存在的函數(shù)關(guān)系，用含t(或x)的式子表示，
再找相應(yīng)的函數(shù)圖象.要注意是否需要分類討論自變量的取值范圍.
讀取函數(shù)圖象增減性的技巧：①當函數(shù)圖象從左到右呈“上升”（“下降”）狀態(tài)時，函數(shù)y隨x的增大而增大（減?。?；②函數(shù)值變化越大，圖象越陡峭；③當函數(shù)y值始終是同一個常數(shù)，那么在這個區(qū)間上的函數(shù)圖象是一條平行于x軸的線段.
第10講
一次函數(shù)
八、知識清單梳理
知識點一
：一次函數(shù)的概念及其圖象、性質(zhì)
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.一次函數(shù)的相關(guān)概念
（1）概念：一般來說，形如y＝kx＋b(k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)．特別地，當b
＝0時，稱為正比例函數(shù)．
（2）圖象形狀：一次函數(shù)y＝kx＋b是一條經(jīng)過點（0,b）和（-b/k,0）的直線.特別地，正比例函數(shù)y＝kx的圖象是一條恒經(jīng)過點（0,0）的直線.
例：當k＝1時，函數(shù)y＝kx＋k－1是正比例函數(shù),
2.一次函數(shù)的性質(zhì)
k，b
符號
K＞0，
b＞0
K＞0，
b＜0
K＞0，b=0
k
b>0
k
b
k
b＝0
（1）一次函數(shù)y=kx+b中，k確定了傾斜方向和傾斜程度，b確定了與y軸交點的位置.
（2）比較兩個一次函數(shù)函數(shù)值的大小：性質(zhì)法，借助函數(shù)的圖象，也可以運用數(shù)值代入法.
例：已知函數(shù)y=－2x＋b，函數(shù)值y隨x的增大而減小(填“增大”或“減小”)．
大致
圖象
經(jīng)過象限
一、二、三
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
圖象性質(zhì)
y隨x的增大而增大
y隨x的增大而減小
3.一次函數(shù)與坐標軸交點坐標
(1)交點坐標：求一次函數(shù)與x軸的交點，只需令y=0,解出x即可；求與y軸的交點，只需令x=0,求出y即可.故一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象與x軸的交點是，與y軸的交點是(0，b)；
(2)正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的圖象恒過點(0，0)．
例：
一次函數(shù)y＝x＋2與x軸交點的坐標是（-2,0），與y軸交點的坐標是（0,2）.
知識點二
：確定一次函數(shù)的表達式
4.確定一次函數(shù)表達式的條件
（1）常用方法：待定系數(shù)法，其一般步驟為：
①設(shè)：設(shè)函數(shù)表達式為y＝kx＋b(k≠0)；
②代：將已知點的坐標代入函數(shù)表達式，解方程或方程組；
③解：求出k與b的值，得到函數(shù)表達式．
（2）常見類型：
①已知兩點確定表達式；②已知兩對函數(shù)對應(yīng)值確定表達式；
③平移轉(zhuǎn)化型：如已知函數(shù)是由y=2x平移所得到的，且經(jīng)過點（0,1），則可設(shè)要求函數(shù)的解析式為y=2x+b,再把點（0,1）的坐標代入即可.
(1)確定一次函數(shù)的表達式需要兩組條件，而確定正比例函數(shù)的表達式，只需一組條件即可.
(2)只要給出一次函數(shù)與y軸交點坐標即可得出b的值,b值為其縱坐標，可快速解題.
如:已知一次函數(shù)經(jīng)過點（0,2），則可知b=2.
5.一次函數(shù)圖象的平移
規(guī)律：①一次函數(shù)圖象平移前后k不變，或兩條直線可以通過平移得到，則可知它們的k值相同.
②若向上平移h單位，則b值增大h；若向下平移h單位，則b值減小h.
例：將一次函數(shù)y=-2x+4的圖象向下平移2個單位長度，所得圖象的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+2．
知識點三
：一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關(guān)系
6.一次函數(shù)與方程
一元一次方程kx+b=0的根就是一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標.
例：
（1）已知關(guān)于x的方程ax+b=0的解為x=1,則函數(shù)y=ax+b與x軸的交點坐標為（1,0）.
（2）一次函數(shù)y=-3x+12中，當x
＞4時，y的值為負數(shù)．
7.一次函數(shù)與方程組
y=k2x+b
y=k1x+b
二元一次方程組
的解兩個一次函數(shù)y=k1x+b
和y=k2x+b圖象的交點坐標.
8.一次函數(shù)與不等式
（1）函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y＞0時，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b＞0的解集
（2）函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y＜0時，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b＜0的解集
知識點四
：一次函數(shù)的實際應(yīng)用
9.一般步驟
（1）設(shè)出實際問題中的變量；
（2）建立一次函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式；
（4）確定自變量的取值范圍；
（5）利用一次函數(shù)的性質(zhì)求相應(yīng)的值，對所求的值進行檢驗，是否符合實際意義；
（6）做答.
一次函數(shù)本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線或線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數(shù)表達式確定函數(shù)增減性根據(jù)自變量的取值范圍確定最值.
10.常見題型
（1）求一次函數(shù)的解析式.
（2）利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決方案問題.
第11講
反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
九、知識清單梳理
知識點一：反比例函數(shù)的概念及其圖象、性質(zhì)
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.反比例函數(shù)的概念
（1）定義：形如y＝(k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，k叫做比例系數(shù)，自變量的取值范圍是非零的一切實數(shù)．
（2）形式：反比例函數(shù)有以下三種基本形式：
①y＝；②y=kx-1;
③xy=k.(其中k為常數(shù)，且k≠0)
例：函數(shù)y=3xm+1，當m=－2時，則該函數(shù)是反比例函數(shù)．
2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
k的符號
圖象
經(jīng)過象限
y隨x變化的情況
（1）判斷點是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：①把點的橫、縱坐標代入看是否滿足其解析式；②把點的橫、縱坐標相乘，判斷其乘積是否等于k.
失分點警示
（2）反比例函數(shù)值大小的比較時，首先要判斷自變量的取值是否同號，即是否在同一個象限內(nèi)，若不在則不能運用性質(zhì)進行比較，可以畫出草圖，直觀地判斷.
k>0
圖象經(jīng)過第一、三象限
（x、y同號）
每個象限內(nèi)，函數(shù)y的值隨x的增大而減小.
k
圖象經(jīng)過第二、四象限
（x、y異號）
每個象限內(nèi)，函數(shù)y的值隨x的增大而增大.
3.反比例函數(shù)的圖象特征
（1）由兩條曲線組成，叫做雙曲線；
（2）圖象的兩個分支都無限接近x軸和y軸，但都不會與x軸和y軸相交；
（3）圖象是中心對稱圖形，原點為對稱中心；也是軸對稱圖形，2條對稱軸分別是平面直角坐標系一、三象限和二、四象限的角平分線．
例：若(a，b)在反比例函數(shù)的圖象上，則(－a，－b)在該函數(shù)圖象上.(填“在“、“不在“)
4.待定系數(shù)法
只需要知道雙曲線上任意一點坐標，設(shè)函數(shù)解析式，代入求出反比例函數(shù)系數(shù)k即可.
例：已知反比例函數(shù)圖象過點（－3，－1），則它的解析式是y=3/x.
知識點二
：反比例系數(shù)的幾何意義及與一次函數(shù)的綜合
5.系數(shù)k的幾何意義
（1）意義：從反比例函數(shù)y＝(k≠0)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|,以該點、一個垂足和原點為頂點的三角形的面積為1/2|k|.
（2）常見的面積類型：
失分點警示
已知相關(guān)面積，求反比例函數(shù)的表達式，注意若函數(shù)圖象在第二、四象限，則k＜0.
例：已知反比例函數(shù)圖象上任一點作坐標軸的垂線所圍成矩形為3，則該反比例函數(shù)解析式為：或.
6.與一次函數(shù)的綜合
（1）確定交點坐標：【方法一】已知一個交點坐標為（a,b），則根據(jù)中心對稱性，可得另一個交點坐標為（-a,-b）.【方法二】聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，利用方程思想求解.
（2）確定函數(shù)解析式：利用待定系數(shù)法，先確定交點坐標，再分別代入兩個函數(shù)解析式中求解
（3）在同一坐標系中判斷函數(shù)圖象：充分利用函數(shù)圖象與各字母系數(shù)的關(guān)系，可采用假設(shè)法，分k＞0和k＜0兩種情況討論，看哪個選項符合要求即可.也可逐一選項判斷、排除.
（4）比較函數(shù)值的大?。褐饕ㄟ^觀察圖象，圖象在上方的值大，圖象在下方的值小，結(jié)合交點坐標，確定出解集的范圍.
涉及與面積有關(guān)的問題時，①要善于把點的橫、縱坐標轉(zhuǎn)化為圖形的邊長，對于不好直接求的面積往往可分割轉(zhuǎn)化為較好求的三角形面積；②也要注意系數(shù)k的幾何意義.
例：如圖所示，三個陰影部分的面積按從小到大的順序排列為：SAOC=SOPE＞SBOD.
知識點三：反比例函數(shù)的實際應(yīng)用
7
.一般步驟
（1題意找出自變量與因變量之間的乘積關(guān)系；
（2設(shè)出函數(shù)表達式；
（3）依題意求解函數(shù)表達式；
（4）根據(jù)反比例函數(shù)的表達式或性質(zhì)解決相關(guān)問題.
第12講
二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
十、知識清單梳理
知識點一：二次函數(shù)的概念及解析式
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.一次函數(shù)的定義
形如y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).
例：如果函數(shù)y=(a－1)x2是二次函數(shù)，那么a的取值范圍是a≠0.
2.解析式
（1）三種解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函數(shù)的頂點坐標是（h,k）;
③交點式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2為拋物線與x軸交點的橫坐標.
（2）待定系數(shù)法：巧設(shè)二次函數(shù)的解析式；根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；解方程（組），求出待定系數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析式.
若已知條件是圖象上的三個點或三對對應(yīng)函數(shù)值，可設(shè)一般式；若已知頂點坐標或?qū)ΨQ軸方程與最值，可設(shè)頂點式；若已知拋物線與x軸的兩個交點坐標，可設(shè)交點式.
知識點二
：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
圖象
（1）比較二次函數(shù)函數(shù)值大小的方法：①直接代入求值法；②性質(zhì)法：當自變量在對稱軸同側(cè)時，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷；當自變量在對稱軸異側(cè)時，可先利用函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化到同側(cè)，再利用性質(zhì)比較；④圖象法：畫出草圖，描點后比較函數(shù)值大小.
失分點警示
（2）在自變量限定范圍求二次函數(shù)的最值時，首先考慮對稱軸是否在取值范圍內(nèi)，而不能盲目根據(jù)公式求解.
例：當0≤x≤5時，拋物線y=x2+2x+7的最小值為7
.
開口
向上
向下
對稱軸
x＝
頂點坐標
增減性
當x>時，y隨x的增大而增大；當x＜時，y隨x的增大而減小.
當x>時，y隨x的增大而減?。划攛＜時，y隨x的增大而增大.
最值
x=，y最小＝.
x=，y最大＝.
3.系數(shù)a、b、c
a
決定拋物線的開口方向及開口大小
當a＞0時，拋物線開口向上；
當a＜0時，拋物線開口向下.
某些特殊形式代數(shù)式的符號：
①
a±b+c即為x=±1時，y
的值；②4a±2b+c即為x=±2時，y的值.
③
2a+b的符號，需判斷對稱
軸-b/2a與1的大小.若對稱軸在直線x=1的左邊，則-b/2a＞1，再根據(jù)a的符號即可得出結(jié)果.④2a-b的符號，需判斷對稱軸與-1的大小.
a、
b
決定對稱軸（x=-b/2a）的位置
當a，b同號，-b/2a＜0，對稱軸在y軸左邊；
當b＝0時，
-b/2a=0，對稱軸為y軸；
當a，b異號，-b/2a＞0，對稱軸在y軸右邊．
c
決定拋物線與y軸的交點的位置
當c＞0時，拋物線與y軸的交點在正半軸上；
當c＝0時，拋物線經(jīng)過原點；
當c＜0時，拋物線與y軸的交點在負半軸上.
b2－4ac
決定拋物線與x軸的交點個數(shù)
b2－4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點;
b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點;
b2－4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點
知識點三
：二次函數(shù)的平移
4.平移與解析式的關(guān)系
注意：二次函數(shù)的平移實質(zhì)是頂點坐標的平移，因此只要找出原函數(shù)頂點的平移方式即可確定平移后的函數(shù)解析式
失分點警示：
拋物線平移規(guī)律是“上加下減，左加右減”,左右平移易弄反.
例：將拋物線y=x2沿x軸向右平移2個單位后所得拋物線的解析式是y=（x－2）2．
知識點四
：二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式
5.二次函數(shù)與一元二次方程
二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
當Δ＝b2－4ac＞0，兩個不相等的實數(shù)根；
當Δ＝b2－4ac＝0，兩個相等的實數(shù)根；
當Δ＝b2－4ac＜0，無實根
例：已經(jīng)二次函數(shù)y=x2-3x+m(m為常數(shù))的圖象與x軸的一個交點為（1,0），則關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩個實數(shù)根為2,1.
6.二次函數(shù)與不等式
拋物線y=
ax2＋bx＋c＝0在x軸上方的部分點的縱坐標都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標均為負，所對應(yīng)的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
第13講
二次函數(shù)的應(yīng)用
十一、知識清單梳理
知識點一：二次函數(shù)的應(yīng)用
關(guān)鍵點撥
實物拋物線
一般步驟
若題目中未給出坐標系，則需要建立坐標系求解，建立的原則：①所建立的坐標系要使求出的二次函數(shù)表達式比較簡單；②使已知點所在的位置適當（如在x軸，y軸、原點、拋物線上等），方便求二次函數(shù)丶表達式和之后的計算求解.
①
據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式；
②確定自變量的取值范圍；
③根據(jù)圖象，結(jié)合所求解析式解決問題.
實際問題中
求最值
①
分析問題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式；
②
研究自變量的取值范圍；
③
確定所得的函數(shù)；
④
檢驗x的值是否在自變量的取值范圍內(nèi)，并求相關(guān)的值；
⑤解決提出的實際問題.
解決最值應(yīng)用題要注意兩點：
①設(shè)未知數(shù)，在“當某某為何值時，什么最大（最?。钡脑O(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；
②求解最值時，一定要考慮頂點（橫、縱坐標）的取值是否在自變量的取值范圍內(nèi).
結(jié)合幾何圖形
①
根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，探求圖形中的關(guān)系式；
②
根據(jù)幾何圖形的關(guān)系式確定二次函數(shù)解析式；
③
利用配方法等確定二次函數(shù)的最值，解決問題
由于面積等于兩條邊的乘積，所以幾何問題的面積的最值問題通常會通過二次函數(shù)來解決.同樣需注意自變量的取值范圍.
第四單元
圖形的初步認識與三角形
第14講
平面圖形與相交線、平行線
十二、知識清單梳理
知識點一：直線、線段、射線
關(guān)鍵點撥
1.
基本事實
（1）直線的基本事實：經(jīng)過兩點有且只有一條直線．
（2）線段的基本事實：兩點之間，線段最短．
例：在墻壁上固定一根橫放的木條，則至少需要2枚釘子，依據(jù)的是兩點確定一條直線.
知識點二
：角、角平分線
2.概念
（1）角：有公共端點的兩條射線組成的圖形．
（2）角平分線：在角的內(nèi)部，以角的頂點為端點把這個角分成兩個相等的角的射線
例：
（1）15°25＇＝15.5°；
37°24＇45＇＇＋32°48＇49＇＇＝70°13＇34＇＇.
（2）32°的余角是58°，32°的補角是148°.
3.角的度量
1°＝60′，1′＝60＇＇，1°＝3600＇＇
4.余角和補角
(
1
)
余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；
(
2
)
補角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補角.
（3）性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等．
知識點三
：相交線、平行線
5.三線八角
（1）同位角：形如”F”;（2）內(nèi)錯角：形如“Z”;(3)同旁內(nèi)角：形如“U”.
一個角的同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角可能不止一個，要注意多方位觀察
6.對頂角、鄰補角
（1）概念：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點而沒有公共邊的兩個角叫做對頂角.
（2）性質(zhì)：對頂角相等，鄰補角之和為180°.
例：在平面中，三條直線相交于1點，則圖中有6組對頂角.
7.垂線
（1）概念：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線．
（2）性質(zhì)：①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．
②垂線段最短．
（3）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度
例：如圖所示，點
A到BC的距離為AB，點B到AC的距離為BD，點C到AB的距離為BC.
8.平行線
（1）平行線的性質(zhì)與判定
①同位角相等兩直線平行
②內(nèi)錯角相等兩直線平行
③同旁內(nèi)角互補兩直線平行
（2）平行公理及其推論
①經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．
②平行于同一條直線的兩直線平行．
（1）如果出現(xiàn)兩條平行線被其中一條折線所截，那么一般要通過折點作已知直線的平行線.
（2）在平行線的查考時，通常會結(jié)合對頂角、角平分線、三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角性質(zhì)，解題時注意這些性質(zhì)的綜合運用.
知識點四
：命題與證明
9.命題與證明
（1）概念：對某一事件作出正確或不正確判斷的語句(或式子)叫做命題，正確的命題稱為真命題；錯誤的命題稱為假命題.
（2）命題的結(jié)構(gòu)：由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，命題常寫成“如果p，那么q“的形式，其中p是題設(shè)，q是結(jié)論.
（3）證明：從一個命題的題設(shè)出發(fā)，通過推理來判斷命題是否成立的過程.證明一個命題是假命題時，只要舉出一個反例署名命題不成立就可以了.
例：下列命題是假命題的有(
③
)
①相等的角不一定是對頂角；
②同角的補角相等；
③如果某命題是真命題，那么它的逆命題也是真命題；
④若某個命題是定理，則該命題一定是真命題.
第15講
一般三角形及其性質(zhì)
十三、知識清單梳理
知識點一：三角形的分類及性質(zhì)
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.三角形的分類
（1）按角的關(guān)系分類
（2）按邊的關(guān)系分類
失分點警示：
在運用分類討論思想計算等腰三角形周長時，必須考慮三角形三邊關(guān)系.
例：等腰三角形兩邊長分別是3和6，則該三角形的周長為15.
2.三邊關(guān)系
三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
3.角的關(guān)系
（1）內(nèi)角和定理：
①三角形的內(nèi)角和等180°；
②推論：直角三角形的兩銳角互余.
（2）外角的性質(zhì)：
①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和.
②三角形的任意一個外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角.
利用三角形的內(nèi)、外角的性質(zhì)求角度時，若所給條件含比例，倍分關(guān)系等，列方程求解會更簡便.有時也會結(jié)合平行、折疊、等腰（邊）三角形的性質(zhì)求解.
4.三角形中的重要線段
四線
性
質(zhì)
（1）角平分線、高結(jié)合求角度時，注意運用三角形的內(nèi)角和為180°這一隱含條件.
（2）當同一個三角形中出現(xiàn)兩條高，求長度時，注意運用面積這個中間量來列方才能夠求解.
角平分線
（1）
角平線上的點到角兩邊的距離相等
（2）
三角形的三條角平分線的相交于一點（內(nèi)心）
中線
（1）
將三角形的面積等分
（2）
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
高
銳角三角形的三條高相交于三角形內(nèi)部；直角三角形的三條高相交于直角頂點；鈍角三角形的三條高相交于三角形的外部
中位線
平行于第三邊，且等于第三邊的一半
5.
三角形中內(nèi)、外角與角平分線的規(guī)律總結(jié)
如圖①，AD平分∠BAC，AEBC，則∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；
如圖②，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，則有∠O=∠A+90°；
如圖③，BO、CO分別為∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分線，則∠O=∠A，∠O’=∠O；
如圖④，BO、CO分別為∠CBD、∠BCE的平分線，則∠O=90°-∠A.
對于解答選擇、填空題，可以直接通過結(jié)論解題，會起到事半功倍的效果.
知識點二
：三角形全等的性質(zhì)與判定
6.全等三角形的性質(zhì)
(1)全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等．
(2)全等三角形的對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、對應(yīng)高相等．
(3)全等三角形的周長等、面積等．
失分點警示：運用全等三角形的性質(zhì)時，要注意找準對應(yīng)邊與對應(yīng)角.
7.三角形全等的判定
一般三角形全等
SSS（三邊對應(yīng)相等）
SAS（兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等）
ASA（兩角和它們的夾角對應(yīng)相等）
AAS（兩角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等）
失分點警示
如圖，SSA和AAA不能判定兩個三角形全等.
直角三角形全等
(1)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）
(2)證明兩個直角三角形全等同樣可以用
SAS,ASA和AAS.
8.全等三角形的運用
（1）利用全等證明角、邊相等或求線段長、求角度：將特征的邊或角放到兩個全等的三角形中，通過證明全等得到結(jié)論.在尋求全等的條件時，注意公共角、公共邊、對頂角等銀行條件.
（2）全等三角形中的輔助線的作法：
①直接連接法：如圖①，連接公共邊，構(gòu)造全等.
②倍長中線法：用于證明線段的不等關(guān)系，如圖②，由SAS可得ACD≌EBD，則AC=BE.在ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截長補短法：適合證明線段的和差關(guān)系，如圖③、④.
例：
如圖，在ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，則CE=3.
第16講
等腰、等邊及直角三角形
十四、知識清單梳理
知識點一：等腰和等邊三角形
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.等腰三角形
（1）性質(zhì)
①等邊對等角：兩腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三線合一：頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高
互相重合;
③對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，直線AD是對稱軸.
（2）判定
①定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；
②等角對等邊：即若∠B＝∠C，則ABC是等腰三角形.
（1）三角形中“垂線、角平分線、中線、等腰”四個條件中，只要滿足其中兩個，其余均成立.
如：如左圖，已知ADBC,D為BC的中點，則三角形的形狀是等腰三角形.
失分點警示：當?shù)妊切蔚难偷撞幻鞔_時，需分類討論.
如若等腰三角形ABC的一個內(nèi)角為30°，則另外兩個角的度數(shù)為30°、120°或75°、75°.
2.等邊三角形
（1）性質(zhì)
①邊角關(guān)系：三邊相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，三條高線(或角平分線或中線)所在的直線是對稱軸.
（2）判定
①定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個角都相等（均為60°）的三角形是等邊三角形；
③任一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，則ABC是等邊三角形.
（1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形也滿足“三線合一”的性質(zhì).
（2）等邊三角形有一個特殊的角60°，所以當?shù)冗吶切纬霈F(xiàn)高時，會結(jié)合直角三角形30°角的性質(zhì)，即BD=1/2AB.
例：ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，則ABC的周長為9.
知識點二
：角平分線和垂直平分線
3.角平分線
（1）性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．即若
∠1
＝∠2，PAOA，PBOB，則PA＝PB.
（2）判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的角平
分線上．
例：如圖，ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線交AC于D，交AB于E，CD=2，則AC=6.
4.垂直平分線圖形
（1）性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩端點距離相等．即若OP垂直且平分AB，則PA＝PB.
（2）判定：到一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
知識點三：直角三角形的判定與性質(zhì)
5.直角三角形的性質(zhì)
(1)兩銳角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2)
30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.即若∠B＝30°則AC＝AB；
(3)
斜邊上的中線長等于斜邊長的一半．即若CD是中線，則CD＝AB.
(4)
勾股定理：兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方．即
a2＋b2＝c2
.
（1）直角三角形的面積S=1/2ch=1/2ab(其中a,b為直角邊，c為斜邊，h是斜邊上的高)，可以利用這一公式借助面積這個中間量解決與高相關(guān)的求長度問題.
（2）已知兩邊，利用勾股定理求長度，若斜邊不明確，應(yīng)分類討論.
（3）在折疊問題中，求長度，往往需要結(jié)合勾股定理來列方程解決.
6.直角三角形的判定
(1)
有一個角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，則ABC是Rt；
(2)
如果三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，則ABC是Rt
(3)
勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，則ABC是Rt.
第17講
相似三角形
十五、知識清單梳理
知識點一：比例線段
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.
比例
線段
在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．
列比例等式時，注意四條線段的大小順序，防止出現(xiàn)比例混亂.
2.比例
的基本性質(zhì)
(1)基本性質(zhì)：?
ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性質(zhì)：?＝；（b、d≠0）
(3)等比性質(zhì)：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?
＝k.（b、d、···、n≠0）
已知比例式的值，求相關(guān)字母代數(shù)式的值，常用引入?yún)?shù)法，將所有的量都統(tǒng)一用含同一個參數(shù)的式子表示，再求代數(shù)式的值，也可以用給出的字母中
的一個表示出其他的字母，再代入求解.如下題可設(shè)a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式變形得a=3/5b代入求解.
例：若，則.
3.平行線分線段成比例定理
（1）兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線
段成比例.即如圖所示，若l3∥l4∥l5，則.
利用平行線所截線段成比例求線段長或線段比時，注意根據(jù)圖形列出比例等式，靈活運用比例基本性質(zhì)求解.
例：如圖，已知D，E分別是ABC的邊BC和AC上的點，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD應(yīng)等于.
（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長
線)，所得的對應(yīng)線段成比例.
即如圖所示，若AB∥CD，則.
（3）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似．
如圖所示，若DE∥BC，則ADE∽ABC.
4.黃金分割
點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么線段AB被點C黃金分割．其中點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比．
例：把長為10cm的線段進行黃金分割，那么較長線段長為5(－1)cm．
知識點二
：相似三角形的性質(zhì)與判定
5.相似三角形的判定
(1)
兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似(AAA).
如圖，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，則ABC∽DEF.
判定三角形相似的思路：①條件中若有平行
線，可用平行線找出相等的角而判定；②條
件中若有一對等角，可再找一對等角或再找
夾這對等角的兩組邊對應(yīng)成比例；③條件中
若有兩邊對應(yīng)成比例可找夾角相等；④條件
中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證
明直角邊和斜邊對應(yīng)成比例；⑤條件中若有
等腰關(guān)系，可找頂角相等或找一對底角相等
或找底、腰對應(yīng)成比例.
(2)
兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似．
如圖，若∠A＝∠D，，則ABC∽DEF.
(3)
三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似．如圖，若，則ABC∽DEF.
6.相似
三角形的性質(zhì)
(1)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．
(2)周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比和對應(yīng)中線的比等于相似比．
例：(1)已知ABC∽DEF，ABC的周長為3，DEF的周長為2，則ABC與DEF的面積之比為9：4.
(2)
如圖，DE∥BC，
AFBC,已知SADE:SABC=1:4，則AF:AG=1：2.
7.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解問題的基本圖形，可以迅速找到解題思路，事半功倍.
（2）證明等積式或者比例式的一般方法：經(jīng)常把等積式化為比例式，把比例式的四條線段分別看做兩個三角形的對應(yīng)邊.然后，通過證明這兩個三角形相似，從而得出結(jié)果.
第18講
解直角三角形
十六、
知識清單梳理
知識點一：銳角三角函數(shù)的定義
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.銳角三角函數(shù)
正弦:
sinA＝＝
余弦:
cosA＝＝
正切:
tanA＝＝.
根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.
2.特殊角的三角函數(shù)值
度數(shù)
三角函數(shù)
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
知識點二
：解直角三角形
3.解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．
科學選擇解直角三角形的方法口訣：
已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；
已知直邊求直邊，理所當然用正切；
已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；
已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；
已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；
已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.
例：在RtABC中，已知a=5,sinA=30°，則c=10,b=5.
4.解直角三角形的常用關(guān)系
(1)三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2；
(2)銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；
(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，
tanA＝.
知識點三
：解直角三角形的應(yīng)用
5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．（如圖①）
(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．
坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用α表示，則有i＝tanα.
（如圖②）
(3)方向角：平面上，通過觀察點Ο作一條水平線(向右為東向)和一條鉛垂線(向上為北向)，則從點O出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測的方向角．（如圖③）
解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：
（1）
疊合式
（2）背靠式
解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.
6.解直角三角形實際應(yīng)用的一般步驟
(1)弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學模型；
(2)將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；
(3)選擇合適的邊角關(guān)系式，使運算簡便、準確；
(4)得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．
第五單元
四邊形
第19講
多邊形與平行四邊形
十七、
知識清單梳理
知識點一：多邊形
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.多邊形的相關(guān)概念
（1）定義：在平面內(nèi)，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．
（2）對角線：從n邊形的一個頂點可以引(n－3)條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n－2)個三角形；n邊形對角線條數(shù)為．
多邊形中求度數(shù)時，靈活選擇公式求度數(shù)，解決多邊形內(nèi)角和問題時，多數(shù)列方程求解.
例：
(1)若一個多邊形的內(nèi)角和為1440°，則這個多邊形的邊數(shù)為10．
(2)從多邊形的一個頂點出發(fā)引對角線，可以把這個多邊形分割成7個三角形，則該多邊形為九邊形．
2.多邊形的內(nèi)角和、外角和
(
1
)
內(nèi)角和：n邊形內(nèi)角和公式為(n－2)·180°
（2）外角和：任意多邊形的外角和為360°.
3.正多邊形
（1）定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.
（2）正n邊形的每個內(nèi)角為，每一個外角為360°/n.
(
3
)
正n邊形有n條對稱軸.
（4）對于正n邊形，當n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.
知識點二
：平行四邊形的性質(zhì)
4.平行四邊形的定義
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用“”表示.
利用平行四邊形的性質(zhì)解題時的一些常用到的結(jié)論和方法：
（1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半.
（2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來解題.
（3）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長.
例：
如圖，ABCD中，EF過對角線的交點O，AB=4，AD=3，OF=1.3，則四邊形BCEF的周長為9.6.
5.平行四邊形的性質(zhì)
（1）
邊：兩組對邊分別平行且相等.
即AB∥CD
且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：對角相等，鄰角互補.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）對角線：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
（4）對稱性：中心對稱但不是軸對稱.
6.平行四邊形中的幾個解題模型
（1）如圖①，AF平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對等邊得到ABF為等腰三角形，即AB=BF.
（2）平行四邊形的一條對角線把其分為兩個全等的三角形，如圖②中ABD≌CDB；
兩條對角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中AOD≌COB,AOB≌COD；
根據(jù)平行四邊形的中心對稱性，可得經(jīng)過對稱中心O的線段與對角線所組成的居于中心對稱位置的三角形全等，如圖②AOE≌COF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半.
（3）
如圖③，已知點E為AD上一點，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得SBEC=SABE+SCDE.
（4）
根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD.
知識點三
：平行四邊形的判定
7.平行四邊形的判定
（1）方法一（定義法）：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
即若AB∥CD，AD∥BC，則四邊形ABCD是.
（2）方法二：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
即若AB＝CD，AD＝BC，則四邊形ABCD是.
（3）方法三：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,則四邊形ABCD是.
（4）方法四：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
即若OA＝OC，OB＝OD，則四邊形ABCD是.
（5）方法五：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，則四邊形ABCD是.
例：如圖四邊形ABCD的對角線相交于點O,AO=CO，請你添加一個條件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一個即可），使四邊形ABCD為平行四邊形.
第20講
特殊的平行四邊形
一、知識清單梳理
知識點一：特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定
關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例
1.性質(zhì)
（具有平行四邊形的一切性質(zhì)，對邊平行且相等）
矩
形
菱
形
正方形
(1)矩形中,RtABD≌RtDCA≌RtCDB≌RtBAC;
_兩
對全等的等腰三角形.所以經(jīng)常結(jié)合勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)解題.
（2）菱形中，有兩對全等的等腰三角形；RtABO≌RtADO≌RtCBO≌RtCDO;若∠ABC=60°，則ABC和ADC為
等邊
三角形，且四個直角三角形中都有一個30°的銳角.
（3）正方形中有8個等腰直角三角形，解題時結(jié)合等腰直角三角形的銳角為45°，斜邊=直角邊.
（1）四個角都是直角
（2）對角線相等且互相平分.即
AO=CO=BO=DO.
（3）面積=長×寬
=2SABD=4SAOB.
（1）四邊相等
（2）對角線互相垂直、平分，一條對角線平分一組對角
（3）面積=底×高
=對角線_乘積的一半
(1)四條邊都相等，四個角都是直角
(2)對角線相等且互相垂直平分
(3)面積=邊長×邊長
=2SABD
=4SAOB
2.判定
（1）定義法：有一個角是直角的平行四邊形
（2）有三個角是直角
（3）對角線相等的平行四邊形
（1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形
（2）對角線互相垂直的平行四邊形
（3）四條邊都相等的四邊形
（1）定義法：有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形
（2）一組鄰邊相等的矩形
（3）一個角是直角的菱形
（4）對角線相等且互相垂直、平分
例：判斷正誤.
鄰邊相等的四邊形為菱形.（
）
有三個角是直角的四邊形式矩形.
（
）
對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.
（
）
對邊相等的矩形是正方形.（
）
3.聯(lián)系
包含關(guān)系：
知識點二：特殊平行四邊形的拓展歸納
4.中點四邊形
（1）任意四邊形多得到的中點四邊形一定是平行四邊形.
（2）對角線相等的四邊形所得到的中點四邊形是矩形.
（3）對角線互相垂直的四邊形所得到的中點四邊形是菱形.
（4）對角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點四邊形是正方形.
如圖，四邊形ABCD為菱形，則其中點四邊形EFGD的形狀是矩形.
5.特殊四邊形中的解題模型
（1）矩形：如圖①，E為AD上任意一點，EF過矩形中心O，則AOE≌COF,S1=S2.
（2）正方形:如圖②，若EFMN，則EF=MN;如圖③，P為AD邊上任意一點，則PE+PF=AO.
（變式：如圖④，四邊形ABCD為矩形，則PE+PF的求法利用面積法，需連接PO.）
圖①
圖②
圖③
圖④
第六單元
圓
第21講
圓的基本性質(zhì)
十八、
知識清單梳理
知識點一：圓的有關(guān)概念
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)
（1）圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成
的圖形．如圖所示的圓記做O.
（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過
圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦.
（3）弧：圓上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的
弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.
（4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.
（5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個
交點的角叫做圓周角.
（6）弦心距：圓心到弦的距離.
（1）經(jīng)過圓心的直線是該圓的對稱軸，故圓的對稱軸有無數(shù)條；
（2）3點確定一個圓，經(jīng)過1點或2點的圓有無數(shù)個.
（3）任意三角形的三個頂點確定一個圓，即該三角形的外接圓.
知識點二
：垂徑定理及其推論
2.垂徑定理及其推論
定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>
關(guān)于垂徑定理的計算常與勾股定理相結(jié)合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形.
推論
(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>
(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.
延伸
根據(jù)圓的對稱性，如圖所示，在以下五條結(jié)論中：
①
弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD；
③AE=BE;
④ABCD;⑤CD是直徑.
只要滿足其中兩個，另外三個結(jié)論一定成立，即推二知三.
知識點三
：圓心角、弧、弦的關(guān)系
3.圓心角、弧、弦的關(guān)系
定理
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．
圓心角、弧和弦之間的等量關(guān)系必須在同圓等式中才成立.
推論
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
知識點四
：圓周角定理及其推論
4.圓周角定理及其推論
（1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
如圖a,
∠A=1/2∠O.
圖a
圖b
圖c
(
2
)推論：
①
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.如圖b，∠A=∠C.
②
直徑所對的圓周角是直角.如圖c,∠C=90°.
③
圓內(nèi)接四邊形的對角互補.如圖a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化.比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉(zhuǎn)化等.
例：如圖，AB是O的直徑，C，D是O上兩點，∠BAC=40°，則∠D的度數(shù)為130°．
第22講
與圓有關(guān)的位置關(guān)系
十九、
知識清單梳理
知識點一：與圓有關(guān)的位置關(guān)系
關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例
1.點與圓的位置關(guān)系
設(shè)點到圓心的距離為d.
(1)d
?點在O內(nèi)；(2)d＝r
?點在O上；(3)d>r?點在O外．
判斷點與圓之間的位置關(guān)系，將該點的圓心距與半徑作比較即可.
2.直線和圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系
相離
相切
相交
由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，所以關(guān)于圓的位置或計算題中常常出現(xiàn)分類討論多解的情況.
例：已知：O的半徑為2，圓心到直線l的距離為1，將直線l沿垂直于l的方向平移，使l與O相切，則平移的距離是1或3.
圖形
公共點個數(shù)
0個
1個
2個
數(shù)量關(guān)系
d＞r
d＝r
d＜r
知識點二
：切線的性質(zhì)與判定
3.切線
的判定
（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）.
（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.
（3）經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑.
4.切線
的性質(zhì)
（1）切線與圓只有一個公共點.
（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑.
（3）切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.
利用切線的性質(zhì)解決問題時，通常連過切點的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題.
*5.切線長
（1）定義：從圓外一點作圓的切線，這點與切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長.
（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，兩切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.
例：如圖，AB、AC、DB是O的切線，P、C、D為切點，如果AB=5，AC=3，則BD的長為2.
知識點四
：三角形與圓
5.三角形的外接圓
圖形
相關(guān)概念
圓心的確定
內(nèi)、外心的性質(zhì)
內(nèi)切圓半徑與三角形邊的關(guān)系：
（1）任意三角形的內(nèi)切圓（如圖a），設(shè)三角形的周長為C，則SABC=1/2Cr.
（2）直角三角形的內(nèi)切圓（如圖b）
①若從切線長定理推導，可得r=1/2(a+b+c);若從面積推導，則可得r=.這兩種結(jié)論可在做選擇題和填空題時直接應(yīng)用.
例：已知ABC的三邊長a=3，b=4，c=5，則它的外切圓半徑是2.5.
經(jīng)過三角形各定點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形
三角形三條垂直平分線的交點
到三角形的三個頂點的距離相等
6.三角形的內(nèi)切圓
與三角形各邊都相
切的圓叫三角形的
內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的
圓心叫做三角形的
內(nèi)心，這個三角形叫
圓的外切三角形
到三角形三條角平分線的交點
到三角形的三條邊的距離相等
第七單元
圖形與變換
第24講
平移、對稱、旋轉(zhuǎn)與位似
二十、
知識清單梳理
知識點一：圖形變換
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.圖形的軸對稱
（1）定義：①軸對稱：把一個圖形沿某一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就稱這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱．
②軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.
（2）性質(zhì)：如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；反過來，成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分.
常見的軸對稱圖形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等.
2.圖形的平移
（1）定義：在平面內(nèi)，將某個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移．
（2）性質(zhì)：①平移后，對應(yīng)線段相等且平行，對應(yīng)點所連的線段相等且平行；②平移后，對應(yīng)角相等且對應(yīng)角的兩邊分別平行、方向相同；
③平移不改變圖形的形狀和大小，
只改變圖形的位置，平移后新舊兩個圖形全等．
畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．
3.圖形的旋轉(zhuǎn)
（1）在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向旋轉(zhuǎn)一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)，這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度稱為旋轉(zhuǎn)角．
（2）性質(zhì)：①在圖形旋轉(zhuǎn)過程中，圖形上每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同角度；②注意每一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角度都叫旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)角都相等；③對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．
4.圖形的中心對稱
（1）把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，該點叫做對稱中心．
（2）①關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形；②關(guān)于中心對稱的兩個圖形,對稱點連線都經(jīng)過對稱中心,并且被對稱中心平分；③關(guān)于中心對稱的兩個圖形,對應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等.
5.圖形的位似
（1）如果兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，這樣的圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．
（2）性質(zhì)：①對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊之比等于位似比；②位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比．
知識點二
：網(wǎng)格作圖
2.坐標與圖形的位置及運動
圖形的平移變換
在平面直角坐標系內(nèi)，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加上(或減去)一個正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加上(或減去)一個正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位長度．
在平面直角坐標系中或網(wǎng)格中作已知圖形的變換是近幾年安徽必考題型，注意根據(jù)圖形變化的性質(zhì)先確定圖形變換后的對應(yīng)點，然后順次連接對應(yīng)點即可.
例：平面直角坐標系中，有一條線段AB，其中A（2，1）、B（2，0），以原點O為位似中心，相似比為2：1，將線段AB放大為線段A′B′，那么A′點的坐標為（4，2）或（-4，-2）.
圖形關(guān)于坐標軸成對稱變換
在平面直角坐標系內(nèi)，如果兩個圖形關(guān)于x軸對稱，那么這兩個圖形上的對應(yīng)點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；
在平面直角坐標系內(nèi)，如果兩個圖形關(guān)于y軸對稱，那么這兩個圖形上的對應(yīng)點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等．
圖形關(guān)于原點成中心對稱
1. cos60°的值是（ A ）
A . 1 2 B
. 2 C
. 2 D
. 3
2. 在ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，則AB 的值是（ D ） AC
C .
A . 1 B . 2 D
. 3
3. 在ABC 中，∠C=90°，cosA=0.6，AC=6，則AB 的長是（ B ）
A . 8 B . 10 C . 12 D . 14
4.(2015重慶) 如圖，AC 是電桿的一根拉線，測得BC=4米，∠ACB=60°，則AB 的長為（ B ）
A . 8米 B .
C . 6米 D . 2米
5. 如圖，為了測量河岸A ，B 兩點的距離，在與AB 垂直的方向上取點C ，測得AC=a，∠ABC=α， 那么AB 等于（ D ）
A . a sin α B . acos α C . atan α D . a tan α
6. 如圖，先鋒村準備在坡度為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB 為（ B ）
A . cosα B . 5 cos α C . 5sinα D . 5 sin α
7. 如圖，河堤橫斷面迎水坡AB 的坡比是1
BC=10m，則坡面AB 的長度是（ C ）
A . 15m B .
C . 20m D . 10m
8. 如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A 看一棟高樓頂部B 的仰角為30°，看這棟高樓底部C 的俯角為60°，熱氣球A 與高樓的水平距離為120m ，這棟高樓BC 的高度為（ D
）
A .
B .
C .
D
.
9. 如圖，在ABC 中，∠A=45°，∠B=30°，CD AB ，垂足為D ，CD=1，則AB 的長為（ D ）
A . 2
B . 2
C 1
D
10.(2016武漢改編) 如圖，在四邊形ABCD 中，?A=?C=45°，∠ADB=
∠ABC=105°，若AB+CD=2 ，則AB 的長為（
C ）
A B . 2
C
D .
解：過D 作DE AB 于E ，過B 作BF CD 于F ，利用特殊角證明AB=CD..
二、填空題（每小題3分，共18分）
11. 如圖，在ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1，則tanB 的值是 (2)
12. 如圖，以O(shè) 為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM 交于點A ，再以A 為圓心，AO 長為半徑畫弧，兩弧交于點B ，畫射線OB ，則cos ∠AOB 的值等于 . (0.5)
13. 在ABC 中，若|cosA-0.5|+(1-tan B )=0，則∠C 的度數(shù)是. (75°)
14. 如圖，在ABC 中，AB 為O 的直徑，∠ABC=50°，∠C=70°，則∠ODB =_____. (21) 2
3，則tan ∠B 的值為______. 5
2 ()
315. 如圖, 在Rt ABC 中，∠C=90°，AM 是BC 邊上的直線， sin ∠CAM=
16. 如圖，在正方形ABCD 外作等腰Rt CDE ，DE=CE，連接AE ，則sin ∠AED=____
. () 5
[解]作AM DE 于M .
三、解答題（共8題，共72分）
17.(本題8分) （2015株洲）計算： (-2)2+tan45°+2016 .
解：原式=4+1+1=6.
18. (本題8分) 如圖，在Rt ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，解這個直角三角形
.
解：AB=12，
19. (本題8分) 如圖，ABC 中，AD BC ，垂足是D ，若BC=14，AD=12，tan ∠BAD=3
4，
求sin C 的值
.
解：在直角ABD 中，tan ∠BAD=BD
AD =3
4. BD=ADtan ∠BAD=12×3
4=9，CD=BC-BD=14-9=5，
，sin C=AD
AC =12
13.
20. (本題8分) 在ABC 中，AD 是BC 邊上的高，∠C=45°，sinB=1
3，AD=1. 求BC 的長.
解：在Rt ABD 中，sinB=AD 1222=，又AD=1，AB=3, BD =AB -AD ， AB 3
在Rt ADC 中，∠C=45°，CD=AD=1，
.
21.(本題8分) 如圖，ABC 中，∠C=90°，點D 在AC 上，已知∠BDC=45°，
AB=20，求∠A 的度數(shù).
解：在Rt BDC 中，因為sin ∠BDC=BC ，BC=BDsin ∠
=10， BD 在Rt ABC 中，因為sin ∠A=BC 101==，∠A=30°. AB 202
22. (本題10分)(2016武漢原創(chuàng)題) 已知：AB 為O 的直徑，C ，D 為O 上的點，C 是優(yōu)
弧 ACD 的中點，CE DB 交DB 的延長線于點E .
（1）如圖1，判斷直線CE 與O 的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，若CE=4，BE=3，連BC ，CD ，求cos ∠BCD 的值.
解：（1）直線CE 與O 相切，連AD ，則∠ADB=90°，∠E=90°，CE ∥AD ，連CO 并延長交
，CM AD . ∠ECO=90°，CE 與O 相切. AD 于M ， AC =CD
（2）連AC 、AD ，則∠ACB=90°，證∠CBE=∠CAD=∠CDA=∠CBA ，BC=5，cos ∠CBE
=cos∠CBA ，EB BC 3525=，=，AB=，延長CO 交AD 于M ，CM AD ， BC AB 5AB 3
AM=DM=CE=4，∠ADB=90°，cos ∠BCD=cos∠BAD=AD 24=. AB 25
23.(本題10分) 如圖1-3是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)絡(luò)，點A ，B ，C ，D 都在網(wǎng)絡(luò)的格點上，
AC ，BD 相交于點O .
（1）填空：如圖1，當AB=2，連接AD ，tan ∠AOD=_______；如圖2，當AB=3，作AH BD 交
BD 的延長線于H 點，則AH=_____，tan ∠AOD =_____；如圖3，tan ∠AOD =_____；
（2）猜想：當AB=n(n＞0) 時，tan ∠AOD =_____；（結(jié)果用含有n 的代數(shù)式表示），請證明你的結(jié)論. 解：（1）圖1中，∠ADO=90°，tan ∠AOD =3，圖2中，
AH=，tan ∠AOD =2，圖3中，
OB=， 25
tan ∠AOD =5； 3
（2）tan ∠AOD =n +1，過A 作AH BD 交BD 的延長線于H ，則
AH=BH=，AB ∥DC ， n -12
OB AB nBD AH n +1
(n-1) ===n，OB==，
OH=-=，tan ∠AOD = OD DC OH n -1n +
1n +12n +
12(n+1)
24. (本題12分) 如圖，拋物線y=x -2x-2頂點為M ，與y 軸的負半軸交于點A , 點B 在此拋物線上，
且橫坐標為3.
（1）求點M ，A ，B 的坐標；
（2）連接AB ，AM ，BM ，求∠ABM 的正切值；
（3）點P 是此拋物線上一點，且位于其對稱軸的右側(cè)，設(shè)PO 與x 軸正半軸的夾角為α，
當α=∠ABM 時，求點P 的坐標.
2
解：（1）頂點坐標為M(1，-3) ，A 的坐標為（0，-2），B 坐標為（3，1）；
（2）過點B ，M 分別作y 軸的垂線，垂足分別為E ，F(xiàn) ，則EB=EA=3，∠EAB=∠EBA=45°，
AM AF 1==，∠EAB=∠FAM=45°， AB AE 3
AM 1=； ∠BAM=90°，Rt ABM 中， tan ∠ABM=AB 3同理∠FAM=∠FMA=45°，F(xiàn) AM ∽EAB ，
（3）過點P 作PH x 軸，垂足為H ，設(shè)點P 坐標為(x，x -2x-2) ，α=∠ABM ， 2
11x 2-2x -21=，解得x 1=-（舍去）tan α=tan∠ABM=，①當點P 在x 軸上方時， ， 33x 3
-x 2+2x +21=，
點P 的坐標為（3，1），②當點P 在x 軸下方時，解得x 1= x 2=3，x 3（舍去），x
2
，點P
【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）09-0113-02
筆者立足于小學數(shù)學課堂教學的實際工作，論述小學數(shù)學課堂教學現(xiàn)狀，并在“生本教育”理念下系統(tǒng)地對小學高年級數(shù)學課堂教學的策略進行了探索研究。
一、深入探究小學數(shù)學課堂教學現(xiàn)狀
本次統(tǒng)計學生的問卷總數(shù)為400份，經(jīng)篩選，選出來有效問卷376份，其中男生203人，占總?cè)藬?shù)的百分比為55.4%，女生173人，占總?cè)藬?shù)的百分比為44.6%。
（一）大多數(shù)小學數(shù)學教師忽略學生的內(nèi)心情感。
根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，學生關(guān)于對數(shù)學的感情中，對數(shù)學比較喜歡的比例為34%，不討厭的比例為48%，明確表示不喜歡數(shù)學的比例為18%。由此可見，大多數(shù)學生對數(shù)學多多少少有一些喜歡，但是教師對于學生的內(nèi)心情感沒有足夠重視，結(jié)果導致學生的學習積極性較差。因此，要在“生本教育”理念的指導下，以喜歡數(shù)學的學生作為實施生本教育的基礎(chǔ)。讓喜歡、不討厭數(shù)學的學生更加喜歡數(shù)學，同時那些討厭數(shù)學的學生，要弄清楚他們不喜歡數(shù)學的原因，對癥下藥，讓他們改變印象，進而喜歡上數(shù)學課堂，提高數(shù)學成績。
（二）大多數(shù)小學數(shù)學教師忽略學生的主體地位。
調(diào)查顯示出來，如今的課堂，仍然78%的是以老師講課為主，而以學生參與為主的課堂和師生互動的課堂仍只占22%。而84%的學生很想自己參與到課堂之中來，喜歡與老師互動，與同學合作的這種教學模式。
綜上分析，由于大多數(shù)小學數(shù)學教師忽略學生的主體地位，導致學生認為老師講太多了，自己不能參與其中。因此，做為老師可以對此加以改善，及時改變數(shù)學課堂的教學模式。老師和學生多溝通、多交流、多接近，這樣對課堂的教學效果有所幫助。
二、打造生本課堂， 把握“五個教學策略”
教師在打造小學高年級數(shù)學生本課堂，要重點用好以下五項教學策略：
第一是面向全體策略。
所有的教學策略，要求教師在教學中必須面向全體學生，學生學習的主體地位，充分尊重學習活動，整個過程都必須以“生本教育”理念為指導，使全體學生參與到教育教學活動。運用面向全體策略，“以學生為中心”，構(gòu)建一個非常安全的學習氛圍，調(diào)動每一個學生的積極性，激發(fā)全體學生的學習興趣。這樣不僅能夠充分激發(fā)學生學習的動力，同時也進一步挖掘?qū)W生思考問題的創(chuàng)造性潛能。
第二是互動探究策略。
這一教學策略是教師“授之以漁”，而不是傳統(tǒng)的“授人以魚”，這樣做，充分體現(xiàn)了“以學生為本”的教育理念?；犹骄拷虒W策略，能夠激發(fā)學生的實踐精神和創(chuàng)新能力。教師應(yīng)具備高度的責任感，為每個學生的學習和成長負責，精心設(shè)計教學方案，設(shè)置不同的發(fā)展目標，使用不同的方法和手段與學生互動探究，使教學真正滿足每個學生的需要和成長。
第三是因材施教策略。
因材施教，是指老師在數(shù)學的課堂教學過程中，針對不同層次、不同水平的學生進行有區(qū)別地、有針對性地指導，鼓勵學生得到最大可能的發(fā)展。在班級課堂教學中，由于不同的學生存在知識水平、認知能力、智力因素等條件的差別，增加了課堂教學的某些困難，只有按照“因材施教”的教學原則，才能實現(xiàn)教學目標，促進學生發(fā)展。當然，運用因材施教的教學策略，也還要注意有效克服接受式教學的不足。
第四是概括總結(jié)策略。
概括總結(jié)策略，是指老師和學生，在教學過程中的雙向活動，要堅持“以人為本”實時地進行溝通以及信息傳遞的教學策略。概括總結(jié)，能夠全面鞏固和加強我們所學的和所獲得的技能知識。這個概括總結(jié)策略，能掌控課堂教學過程中的最新動態(tài)，當堂調(diào)整教學行為，更有針對性地達到教學目標。
第五是多元評價策略。
多元評價策略是指教學過程中，老師通過激勵、肯定、鼓勵等各種各樣的方法，讓學生在心理上獲取尊嚴、自信和勝利的經(jīng)驗；積極的鼓勵，多元化的評價不僅具有指導作用，以及教育和激勵功能。所以，我們應(yīng)該重視多元評價，跟蹤系統(tǒng)，不僅要關(guān)注學生的考試成績、學習成就，而且要發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)學生多方面的興趣愛好和特長才能，塑造良好的個人品德，培養(yǎng)擁有健全人格和健康心理的新一代的素質(zhì)人才。
三、結(jié)語
總之，在打造學生數(shù)學生本課堂過程中，面向全體學生運用五項教學策略，是義務(wù)教育和素質(zhì)教育的主旨，同時也是關(guān)鍵策略之一。教師在數(shù)學課堂教學中，要合適地運用各項教學策略，充分發(fā)揮教育機智。一切從實際出發(fā)，實事求是，避免華而不實，讓學生的情感態(tài)度與價值觀得到“雙豐收”。
縱觀各個學校的數(shù)學課堂，不管是在課堂氣氛、教學模式還是師生關(guān)系的處理上都存在諸多問題。面對中考與新課改的雙重要求，教師與九年級學生都背負著較大的壓力。
一方面，教師為了使學生達到快速有效的復(fù)習效果，往往采取灌輸?shù)姆绞剑M行大量的問題講解以及布置較多的課后練習。這使得學生的自主學習能力不斷弱化，對于問題的發(fā)現(xiàn)與解決也過多地依賴于老師，違背了新課改的最初理念。而另一方面學生本身相對于初中剛?cè)雽W時，對于學習的積極性與新鮮感也不斷下降，所以當前的九年級數(shù)學課堂大多較為沉悶無趣，師生關(guān)系相對緊張。這對于學生來說實際上是一個惡性循環(huán)。
二、 如何實現(xiàn)九年級數(shù)學的有效復(fù)習
1.打破章節(jié)，合理地安排復(fù)習順序
數(shù)學的復(fù)習不同于教授新課程，無需嚴格地按照課本的具體章節(jié)進行。教師可根據(jù)教材內(nèi)容將各個有關(guān)聯(lián)的章節(jié)整理在一起，進行統(tǒng)一地比較學習。這種授課模式不僅讓學生打破了死記課本的傳統(tǒng)學習方式，而且將知識歸納得較為系統(tǒng)，各個章節(jié)聯(lián)系緊密，更能加深學生學習的印象，有助于知識的牢固化。例如，在浙教版的教材中可以在復(fù)習時將方程類的知識統(tǒng)一講解，包括七年級上冊第五章一元一次方程，七年級下冊的第四章二元一次方程組以及八年級的不等式和一元二次方程。在分類講解中，教師針對每一類方程都給出較為典型的例題，注意對比每種方程的解題步驟，總結(jié)整理，使得知識在學生頭腦中更加牢固。
2.與時俱進，將數(shù)學復(fù)習與現(xiàn)實有效融合
與社會現(xiàn)實相結(jié)合，使數(shù)學學習更加有效正是新課改的一大目的。當今的數(shù)學學習還存在一些問題，其中之一便是與社會較為脫節(jié)。新課改也正在加大力度改變此現(xiàn)狀，所以近年來的教材編排以及考試題目，與社會現(xiàn)實相關(guān)的問題越來越多。細看浙教版的數(shù)學教材確實出現(xiàn)了許多與實際相聯(lián)系的應(yīng)用類例題，例如商品買賣、最優(yōu)問題、借款貸款、行程問題等涉及社會的各個方面，使數(shù)學的學習更貼近生活，也使數(shù)學知識更具現(xiàn)實意義。以浙教版一個典型的中考題為例：為增強市民的節(jié)水意識，某市對居民用水實行“階梯收費”：規(guī)定每戶每月不超過月用水標準量部分的水價為1.5元/噸，超過月用水標準量部分的水價為2.5元/噸。該市小明家5月份用水12噸，交水費20元。請問：該市規(guī)定的月用水標準量是多少噸？
此題便是一個典型的貼近生活的問題，題目中出現(xiàn)的階梯收費問題也是每個家庭都要面臨的問題。這一類的問題不僅使學生樂于完成題目本身的解答，而且還引發(fā)他們對這一問題背后現(xiàn)實意義的思考，他們可能會去關(guān)心階梯收費本身的意義，也有可能會去思考如何節(jié)約用水，實現(xiàn)水費的更加合理化，這些都是新課改所要達到的一個目的。
信息時代，信息技術(shù)教育目的是培養(yǎng)和提高學生的信息素養(yǎng)，樹立和掌握進行信息處理的意識和能力。從教育部頒布《關(guān)于中小學普及信息技術(shù)教育的通知》和《中小學信息技術(shù)課程指導綱要》開啟我國信息技術(shù)教育的改革開始，信息技術(shù)課程的系統(tǒng)建設(shè)和實施不斷開展、深入發(fā)展。
一、高中信息技術(shù)教學的現(xiàn)狀及問題
1.課堂教學條件差
由于我國各地經(jīng)濟發(fā)展狀況存在差距，各地學校在教學設(shè)備上的投資水平參差不齊。例如，在城市和發(fā)達的東部沿海地區(qū)，多媒體教學已經(jīng)十分普遍，信息技術(shù)教學水平也較高。而在農(nóng)村和偏遠落后地區(qū)計算機還未得到普及，許多學校并未配備也沒能力配備計算機機房來實現(xiàn)信息技術(shù)教學。另外，現(xiàn)在許多學校雖然有自己的計算機機房來實現(xiàn)信息技術(shù)教學，但是算機軟硬件早已落后現(xiàn)在飛速發(fā)展的信息技術(shù)革命，而且計算機維護不及時，從而影響正常的教學活動。
2.教師水平、學生基礎(chǔ)的差異
在當下的高中信息技術(shù)教學中，任職教師很大一部分是“半路出家”。他們并沒有熟練掌握信息技術(shù)教學大綱所要求的教學內(nèi)容，他們只是了解一些簡單的電腦等信息技術(shù)產(chǎn)品操作，在講授課程時只是根據(jù)教材進行生硬無聊的講解，忽略了信息技術(shù)教學是以研究和開發(fā)為目的的教育。另外，是現(xiàn)在許多學生從小就接觸電腦等信息技術(shù)產(chǎn)品對信息技術(shù)十分了解，其所具備的信息技術(shù)知識甚至比教授他知識的教師還要豐富。相反地，有些學生則從未接觸過電腦等信息技術(shù)產(chǎn)品，這讓他們在學習信息技術(shù)知識時處于十分被動的位置。基于兩方面原因，導致許多熟悉信息技術(shù)知識學生因教師水平限制而對信息技術(shù)學習失去興趣，或者對信息技術(shù)不甚了解的同學因與高水平同學有差距并且教師水平不高，因此也對信息技術(shù)學習失去興趣。
3.課堂教學手段單一，理論與實踐不統(tǒng)一
傳統(tǒng)的教學模式不適用于信息技術(shù)教學。信息技術(shù)教學是一門知行合一的學科，而傳統(tǒng)的教學模式只注重教師在課堂上的理論教學，既單調(diào)乏味又與實踐相脫離。在這種趣味性和實用性極度缺乏的課堂上，怎么可能充分調(diào)動起學生的積極主動性！這就使大部分學生對信息技術(shù)教學沒有了興趣，信息技術(shù)教學也因此處于一個尷尬的地位。再者，信息技術(shù)教學所使用的教材質(zhì)量不高，其內(nèi)容多為文字介紹缺乏軟件應(yīng)用講解，導致其結(jié)構(gòu)不完善趣味性低的特點。
二、順應(yīng)時展潮流，提升高中生的信息素養(yǎng)
信息時代的到來使得計算機教育逐步向信息技術(shù)教育轉(zhuǎn)變，在這一轉(zhuǎn)變過程中，培養(yǎng)學生的信息素養(yǎng)已經(jīng)成為國際共識，培養(yǎng)具有信息素養(yǎng)的新時代公民成為各國的目標。信息素養(yǎng)不僅包括信息處理能力、信息問題解決，還包括信息交流和信息創(chuàng)建，高中信息技術(shù)課程改革的目標之一就是培養(yǎng)高中生的信息處理能力，通過該門課程的學習使高中生掌握信息獲取、加工、管理、交流和表達的技能，感受信息的魅力，提升信息意識，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和實踐操作能力。
三、以新課程的實施為契機，創(chuàng)造良好的信息環(huán)境，打造終身學習平臺
信息技術(shù)包含內(nèi)容廣泛，涉及計算機和網(wǎng)絡(luò)在內(nèi)的各種媒體、通信和溝通方式，在高中信息技術(shù)課程中不可能包含全部的信息技術(shù)內(nèi)容，只需綜合反映信息技術(shù)中最為核心和關(guān)鍵的內(nèi)容即可，掌握這些技術(shù)和內(nèi)容，可為學生的終身學習奠定基礎(chǔ)。學校需要借助各種手段和條件創(chuàng)設(shè)良好的信息學習環(huán)境，注重技術(shù)和方法的教學，培養(yǎng)學生掌握基礎(chǔ)技能的能力。信息環(huán)境的創(chuàng)設(shè)不僅包括硬件、軟件設(shè)備的創(chuàng)設(shè)，還包括信息觀念層面的創(chuàng)設(shè)，借助多方力量，引導高中生參與，使學生安全、負責的使用信息技術(shù)。信息技術(shù)課程改革對推動我國經(jīng)濟不發(fā)達地區(qū)的信息技術(shù)教育意義重大。
四、采用合理的教學方法，促進學生自主學習
1.適時采用演示、教授、任務(wù)驅(qū)動等教學方法，提高教學效率
在具體教學中，將信息技術(shù)的教學與任務(wù)驅(qū)動模式結(jié)合起來，有利于促使學生主動向老師、向同學請教，將被動變?yōu)橹鲃?，提高了學生主動獲取知識的能力。我們常說教無定法，那么學習也是沒有定法的，只要是適合學生的就是最好的。我們平時所運用的演示法、教授法等都可以與任務(wù)驅(qū)動結(jié)合起來，更好地提高課堂教學效率。
2.合理運用組內(nèi)合作、競爭等教學模式，提高教學效率
鑒于學生之間的個體差異性，每位學生都有著這樣或那樣的不同，所以教師在進行統(tǒng)一演示時，并不能取得顯著的教學成果。此時，我們可以運用分組合作交流或競爭的方式來彌補學的不足。在劃分小組時，教師要根據(jù)學生的興趣、愛好、能力等進行均質(zhì)分組，保持各小組之間的能力均衡。由每組成員自己選出組長，在分組討論或探究學習的過程中，小組長要明確分工，制訂目標，保證每位學生都能充分發(fā)揮其特長，并領(lǐng)到符合其實際情況的學習任務(wù)，當組內(nèi)每位成員都完成既定目標之后，這一分組協(xié)作的學習方式才算是取得了成功。這種學習模式，不僅促進了學生參與學習的積極性，也培養(yǎng)了學生團結(jié)協(xié)作、互幫互助的精神。
3.建立科學的教學平臺，提高學生自主學習的能力
信息技術(shù)教師要充分利用信息技術(shù)課程的上機優(yōu)勢，建立一個集指導、學習、作品、經(jīng)驗交流等為一體的網(wǎng)絡(luò)教學平臺，利用動態(tài)的網(wǎng)絡(luò)信息，優(yōu)化信息技術(shù)教學過程。具體表現(xiàn)為：教師可以根據(jù)自己的教學特點和教學實際，創(chuàng)建屬于自己的網(wǎng)絡(luò)平臺，在平臺上設(shè)置一些欄目版塊，例如：教學指導、作品發(fā)表、信息資源、星級任務(wù)、錦囊妙計、學習心得等，并針對不同的版塊制作不同的PPT，增強學生的視覺效果，讓他們在直觀形象的動態(tài)知識演示中，提高自主學習探究的積極性。這一教學平臺的創(chuàng)建，不僅開闊了學生的視野，使他們從課堂走向了課外，也增進了學生與教師之間的交流，有助于課堂教學效率的提高。
