首頁(yè) > 優(yōu)秀范文 > 雞兔同籠教學(xué)反思
時(shí)間：2022-12-26 15:02:29
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小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角--雞兔同籠》教案優(yōu)秀范文一【教材分析】
“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。解決這類(lèi)問(wèn)題的方法包括：列表法、假設(shè)法、方程法等。教材把這一問(wèn)題安排在四年級(jí)，學(xué)生還沒(méi)有學(xué)過(guò)方程，因此這里主要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)猜測(cè)、列表、假設(shè)等方法來(lái)解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生猜測(cè)、有序思考及邏輯推理的能力,體會(huì)假設(shè)法的一般性。在解決“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，學(xué)生選用哪種方法均可，不強(qiáng)求用某一種方法。
【學(xué)情分析】
“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)趣題，容易激發(fā)學(xué)生的探究興趣。“列表法”是學(xué)生比較容易接受的，也就是通過(guò)有序猜測(cè)和計(jì)算得出結(jié)論，“假設(shè)法”對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較陌生，教學(xué)中要抓住其特點(diǎn)，講解算理，讓學(xué)生逐步掌握，根據(jù)具體問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生分析理解，拓寬學(xué)生思維。
【教學(xué)建議】
1、教學(xué)中要注意滲透化繁為簡(jiǎn)的思想。
2、引導(dǎo)學(xué)生探索解決問(wèn)題的策略和方法。
3、介紹有關(guān)雞兔同籠問(wèn)題的“趣解”，既激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，又可以拓寬學(xué)生的思路。
【教學(xué)目標(biāo)】
1、了解“雞兔同籠”問(wèn)題，感受古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的趣味性。
2、經(jīng)歷自主探究解決問(wèn)題的過(guò)程，了解列表法、假設(shè)法等解決問(wèn)題的方法，在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)邏輯推理能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。
3、了解
“雞兔同籠”問(wèn)題解決的多種有趣方法，體驗(yàn)問(wèn)題解決方法多樣化。
【教學(xué)重點(diǎn)】經(jīng)歷自主探究解決問(wèn)題的過(guò)程，掌握運(yùn)用列表法、假設(shè)法解決“雞兔同籠”問(wèn)題。
【教學(xué)難點(diǎn)】理解掌握假設(shè)法，能運(yùn)用假設(shè)法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。
【教學(xué)過(guò)程】
一、情境導(dǎo)入。
今天老師想給同學(xué)們介紹一部1500年前的數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》，你們想了解嗎?里面記載著許多有趣的數(shù)學(xué)名題，其中有這樣一道題，請(qǐng)看屏幕：(課件出示以下情境圖)
師：你能說(shuō)說(shuō)這道題是什么意思嗎?(說(shuō)明：雉指雞)讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)題意，然后出示：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳，雞和兔各有幾只?這就是我們今天要研究的歷史趣題“雞兔同籠”問(wèn)題。(板書(shū)課題)
有的同學(xué)已經(jīng)在計(jì)算了，說(shuō)說(shuō)看雞有多少只?兔有多少只?
【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合課件呈現(xiàn)的情境圖談話(huà)引入，給數(shù)學(xué)課堂帶來(lái)了濃厚的文化氣息，讓我們的學(xué)生感受到我國(guó)數(shù)學(xué)文化的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，同時(shí)在學(xué)生猜測(cè)得不到正確結(jié)果的情況下，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，為下一環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“化繁為簡(jiǎn)”的解題策略做好鋪墊。
二、新知探究。
(一)感受化繁為簡(jiǎn)的必要性。
剛才大家猜了好幾組數(shù)據(jù)，但是我們驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)都不對(duì)，為什么這么多人都沒(méi)有猜對(duì)呢?(數(shù)太大了)你們覺(jué)得什么情況下能夠猜對(duì)?(數(shù)小一些)
那咱們就換一道數(shù)小一些的。(課件出示例1)
籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個(gè)頭;從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只?
(二)自主嘗試解決問(wèn)題。
我們共同閱讀在同一個(gè)籠子里的雞和兔給我們帶來(lái)了哪些數(shù)學(xué)信息?
找到題中信息：①雞和兔共8只。②雞和兔共有26條腿。 ③雞有2條腿。 ④兔有4條腿。
在猜測(cè)時(shí)要抓住哪個(gè)條件呢?(雞和兔一共是8只)那是不是抓住了這個(gè)條件就一定能猜對(duì)呢?
怎樣才能確定猜測(cè)的結(jié)果對(duì)不對(duì)?(把雞的腿和兔的腿加起來(lái)看是不是等于(把雞的腿和兔的腿加起來(lái)看等不等于26)
這回給你們一點(diǎn)時(shí)間，把你猜測(cè)的數(shù)據(jù)在練習(xí)本上列個(gè)表，算一算，想一想：你算的對(duì)嗎?(出示表格)
雞
兔
腳
這回給你們一點(diǎn)時(shí)間，把你猜測(cè)的數(shù)據(jù)在練習(xí)本上算一算，想一想：你算的對(duì)嗎?
(三)交流體會(huì)，掌握問(wèn)題解決策略。
1、經(jīng)歷列表法的形成過(guò)程。
(1)經(jīng)過(guò)同學(xué)們的研究，現(xiàn)在知道雞和兔各有幾只?
都誰(shuí)和他的結(jié)果一樣?你們有把握這次猜對(duì)了嗎?怎么驗(yàn)證一下?
(2)說(shuō)說(shuō)你是怎樣得出正確答案的?(引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)解決問(wèn)題的思路)
預(yù)設(shè)學(xué)生思路：
從雞8只，兔0只開(kāi)始推算。
從雞0只，兔8只開(kāi)始推算。
前兩種情況可能做了充分預(yù)習(xí)，按照一定的順序，列舉出了所有情況，或者到得到正確答案為止。對(duì)這種有序思考的方法要給予肯定。
直接猜出雞有3只，兔有5只，驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)腳數(shù)正好是26只。
這種情況屬于正好一下猜對(duì)了，教師提示不一定每次都能夠猜得這么準(zhǔn)。
從雞有4只，兔有4只開(kāi)始推算。
這種情況猜測(cè)的次數(shù)比較少，對(duì)于數(shù)據(jù)比較大的時(shí)候適用。
有的同學(xué)還可能發(fā)現(xiàn)了每增加一只兔，減少一只雞，腳就增加2只，這樣就可以一下子算出需要增加幾只兔，直接找到正確答案。這正是假設(shè)法的思路。如果有同學(xué)有這一發(fā)現(xiàn)，教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生表述準(zhǔn)確，為后面的假設(shè)法學(xué)習(xí)做好鋪墊。
(3)小結(jié)收獲。從剛才的列表情況看，你覺(jué)得怎樣列表比較好?
(4)運(yùn)用列表法解決情境圖中的雞兔同籠問(wèn)題。
自主解決，交流方法并訂正結(jié)果。
如果沒(méi)有出現(xiàn)上面的第五種思路，教師小結(jié)可以提出。
小結(jié)：雞兔的總只數(shù)不變，多一只兔子就會(huì)少一只雞，增加兩只腳;多一只雞就會(huì)少一只兔子，減少兩只腳。運(yùn)用這一規(guī)律正好是我們解決這一問(wèn)題的另一種方法。
2、探究假設(shè)法。
(1)問(wèn)題預(yù)設(shè)：剛才大家找到了“雞兔同籠”問(wèn)題的解決辦法，討論中還發(fā)現(xiàn)了一種更簡(jiǎn)單的方法，如果運(yùn)用這種推理方法，怎么解決呢?
(2)引導(dǎo)學(xué)生交流：發(fā)現(xiàn)假設(shè)成都是雞或者都是兔，計(jì)算起來(lái)會(huì)更簡(jiǎn)便。
交流時(shí)重點(diǎn)讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)每一步的意思。
先假設(shè)成都是雞，著重說(shuō)說(shuō)推理的過(guò)程。
同樣，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)，如果假設(shè)成都是兔，是什么情況?
小結(jié)收獲。
(3)運(yùn)用假設(shè)法解決情境圖中的“雞兔同籠”問(wèn)題，再匯報(bào)交流。
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在自主嘗試中找到用列表法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的方法，引導(dǎo)學(xué)生有序思考，組織學(xué)生有層次地匯報(bào)和交流，讓學(xué)生在這一過(guò)程中體會(huì)到：根據(jù)表中總腳數(shù)與題中數(shù)據(jù)的差，來(lái)調(diào)整數(shù)據(jù)，對(duì)假設(shè)法的探究起到了鋪墊作用，同時(shí)對(duì)假設(shè)法的理解也更加深刻。
三、練習(xí)強(qiáng)化，深化認(rèn)識(shí)。
針對(duì)性練習(xí)，完成做一做第一題。
獨(dú)立完成，再集體交流訂正。
四、閱讀資料，豐富認(rèn)識(shí)。
同學(xué)們，你們知道古人是怎樣解決“雞兔同籠”問(wèn)題的嗎?閱讀105頁(yè)的資料。
古人真是很聰明啊!今人更了不起，又發(fā)現(xiàn)了很多關(guān)于“雞兔同籠”問(wèn)題的趣解，你們想了解嗎?介紹幾種。
1、假設(shè)所有的雞和兔子都訓(xùn)練有素，然后你拿著一個(gè)口哨，吹一下，所有動(dòng)物收起一只腳，吹兩下，收起兩只腳，好了，現(xiàn)在雞一屁股坐在地上了，小兔都“作揖”了，也就是還有兩只腳站著，總腳數(shù)減去兩倍的頭的個(gè)數(shù)再除以二就是兔子的只數(shù)了。
2、假如雞的翅膀也著地，也有四只腳，那么總腳數(shù)就是總只數(shù)乘4，減去實(shí)際的腳數(shù)，就是翅膀的數(shù)，翅膀都是雞的，再除以2，就是雞的只數(shù)。
五、談話(huà)式小結(jié)。
同學(xué)們，今天你有什么收獲?每種方法都明白了嗎?你最喜歡哪種方法?
提示學(xué)生做題時(shí)要根據(jù)題目選擇合適的方法來(lái)解決問(wèn)題。
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)完成做一做的第一題，鞏固解決“雞兔同籠”問(wèn)題的基本方法，了解古時(shí)候的解法，使學(xué)生對(duì)我國(guó)的古代文化產(chǎn)生濃厚的興趣，最后的小結(jié)梳理一下幾種方法，引導(dǎo)學(xué)生反思學(xué)過(guò)的方法，為以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。
【板書(shū)設(shè)計(jì)】
雞兔同籠
列表法
雞
8
7
6
5
4
3
2
1
兔
1
2
3
4
5
6
7
8
腳
16
18
20
22
24
26
28
30
32
假設(shè)法
都是雞： 腳：8×2=16(只)
少了：26-16=10(只)
兔：10÷(4-2)=5(只)
雞：8-5=3(只)
都是兔： 腳：8×4=32(只)
多了：32-26=6(只)
雞：6÷(4-2)=3(只)
雞：8-3=5(只)
小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角--雞兔同籠》教案優(yōu)秀范文二【教學(xué)目標(biāo)】
1.理解掌握并會(huì)運(yùn)用列表法、假設(shè)法解決“雞兔同籠”問(wèn)題。
2.經(jīng)歷自主探究解決問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)邏輯推理能力。
3.了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)民族自豪感。
【教學(xué)重點(diǎn)】滲透化繁為簡(jiǎn)思想，體會(huì)用假設(shè)法的邏輯性和一般性。
【教學(xué)難點(diǎn)】 理解用假設(shè)法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的算理。
【教學(xué)具準(zhǔn)備】課件
【教學(xué)過(guò)程】
一、課前活動(dòng)
學(xué)生猜測(cè)老師的年齡。
學(xué)生根據(jù)老師的提示，調(diào)整自己的猜測(cè)，直到猜到正確的答案。
師：剛才大家在猜測(cè)老師年齡的過(guò)程中，經(jīng)歷了猜測(cè)、驗(yàn)證、調(diào)整的過(guò)程，不知不覺(jué)掌握了一種數(shù)學(xué)策略。
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)課前的游戲活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的參與熱情，并且滲透數(shù)學(xué)解題策略，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪設(shè)。
二、課中活動(dòng)：
(一)創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
生齊讀課題：雞兔同籠
出示表格
頭
3
5
雞
2
兔
1
2
腳
12
8
第一欄、第二欄都能夠解決。
師：如果告訴一共有5個(gè)頭，你們能確定一共有幾只腳?為什么?如果告訴一共有8只腳，能確定雞兔各幾只嗎?為什么?
師：如果告訴頭的數(shù)量和腳的數(shù)量，能確定雞兔各幾只嗎?這就是我們今天要研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題。
【設(shè)計(jì)意圖】經(jīng)過(guò)前期學(xué)情了解，不少孩子對(duì)于雞和兔不清楚有幾只腳，所以在這個(gè)環(huán)節(jié)先了解學(xué)生基本常識(shí)。通過(guò)填寫(xiě)表格，從易到難，引起學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深刻思考。
(二)猜測(cè)驗(yàn)證，化繁為簡(jiǎn)
1.出示《孫子算經(jīng)》中的雞兔同籠問(wèn)題。
師：能讀懂是什么意思嗎?
生：就是雞兔同籠，從上面數(shù)有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳。雞、兔各幾只?
師：能猜猜雞兔各幾只嗎?
師：如何驗(yàn)證自己猜的對(duì)不對(duì)?(既要考慮頭，也要考慮腳)
師：怎么辦呢?有沒(méi)有辦法解決這個(gè)問(wèn)題?
師：為什么要改小?
生：改小一點(diǎn)好猜些。
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生理解題意，幫學(xué)生初步理解“雞兔同籠”問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，滲透化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想。
(三)嘗試猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律
出示“雞兔同籠，從上面數(shù)有8個(gè)頭，從下面數(shù)有26只腳。雞兔各幾只?”
師：請(qǐng)?jiān)俨乱徊隆?/p>
師：看來(lái)有很多種情況，能不能按照一定的順序把所有情況列舉出來(lái)呢?想不想自己來(lái)嘗試一下?
學(xué)生自主填寫(xiě)表格，教師巡視。
師：請(qǐng)你把你嘗試的過(guò)程與大家分享。
師：后面還要不要再?lài)L試下去?
師：腳少了，說(shuō)明什么?增加誰(shuí)的數(shù)量?
師：你為什么跳著猜測(cè)呢?
生：一個(gè)一個(gè)地試比較慢，就我隔一個(gè)試一次了。
生：腳少了，就增加兔子，增加一只兔就增加2只腳!增加2只兔就增加4只腳!
師：我沒(méi)明白，為什么增加1只兔不是增加4只腳呢?
學(xué)生陷入思考。
師：我們?cè)賮?lái)研究一下這個(gè)表格，把空格填完整，再看看數(shù)量間 有沒(méi)有什么數(shù)學(xué)規(guī)律。
學(xué)生觀(guān)察、討論、分享。
師：為什么是2只2只地變化呢?而不是4只4只地變化?
師：為了讓大家看得更加清楚，想得更加明白，我們借圖形朋友幫忙吧。
送教下鄉(xiāng)教學(xué)設(shè)計(jì)送教下鄉(xiāng)教學(xué)設(shè)計(jì)送教下鄉(xiāng)教學(xué)設(shè)計(jì)出示
理解：1只雞換成1只兔，腳就減少2只。
師：反過(guò)來(lái)呢?
引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：1只兔換成1只雞，腳減少2只。
【設(shè)計(jì)意圖】列表法雖然煩瑣，但這是一種重要的解決問(wèn)題的策略和方法，是學(xué)習(xí)假設(shè)法的基礎(chǔ)，因此也是本課的重要教學(xué)內(nèi)容之一。讓學(xué)生以填表的方式初步體驗(yàn)雞兔同籠情況下隨著雞或兔只數(shù)的調(diào)整，腳的總數(shù)量的變化規(guī)律，為下面的學(xué)習(xí)做好鋪墊。
(四)數(shù)形結(jié)合理解假設(shè)法
1.假設(shè)全是雞。
出示表格：
雞
8
兔
8
腳
16
26
32
師：請(qǐng)?jiān)倏幢砀褡筮叺谝粰冢?和0表示什么意思?
師：假設(shè)什么?這樣假設(shè)的結(jié)果會(huì)是什么呢?
師：腳實(shí)際是26只，為什么少了10只?少了誰(shuí)的腳?
出示：換什么?換幾只?
學(xué)生獨(dú)立思考。
師:你們說(shuō)得真好!你們能用算式表達(dá)出你們的想法嗎?
學(xué)生獨(dú)立寫(xiě)算式，匯報(bào)。
師：10÷2=5，這里的“2”表示什么?是雞的腳嗎?
師：怎樣更清楚地表示2是相差的腳呢?
假設(shè)全部是兔子。
學(xué)生獨(dú)立解決。
3.比較兩種方法
師：你覺(jué)得列表法與假設(shè)法怎么樣?
【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)是本課的重點(diǎn)，也是本課的難點(diǎn)，假設(shè)法的算理對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，都是比較難以理解和掌握的。采用畫(huà)圖法，數(shù)形結(jié)合地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖較為完整、準(zhǔn)確地說(shuō)明算理，學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)解釋?zhuān)梢宰寣W(xué)生更加直觀(guān)地感受假設(shè)法的優(yōu)越性。
(五)建立模型，拓展應(yīng)用
1.應(yīng)用新知，解決問(wèn)題。
師：如果讓你解決雞兔同籠，有35個(gè)頭，94只腳，雞兔各幾只?你會(huì)選擇什么方法?
2.雞兔同籠問(wèn)題的發(fā)展
出示龜鶴問(wèn)題。
師：與雞兔同籠問(wèn)題有什么相似的地方?誰(shuí)可以看成雞，誰(shuí)看成兔?
3.出示歌謠
“一隊(duì)獵人一隊(duì)狗，兩隊(duì)并成一隊(duì)走。數(shù)頭一共是十二，數(shù)腳一共四十二?！?/p>
師：誰(shuí)看成雞，誰(shuí)看成兔?
師：研究雞兔同籠問(wèn)題并不在于問(wèn)題本身，而是用解決雞兔同籠問(wèn)題的方法去解決生活中類(lèi)似的問(wèn)題。
【設(shè)計(jì)意圖】獨(dú)立解決《孫子算經(jīng)》中原題，閱讀古人解決“雞兔同籠”問(wèn)題的方法，了解中國(guó)古代人民的智慧，增強(qiáng)民族自豪感。列舉生活中的“雞兔同籠”問(wèn)題模型，幫助學(xué)生建立模型思想，舉一反三，觸類(lèi)旁通、提高解決問(wèn)題能力。
小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角--雞兔同籠》教案優(yōu)秀范文三一、教材分析：
“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，它在培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的同時(shí)使學(xué)生體會(huì)代數(shù)方法的一般性。解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，教材展示了學(xué)生逐步解決問(wèn)題的過(guò)程?！凹僭O(shè)法”有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，列方程則有助于學(xué)生體會(huì)代數(shù)方法的一般性。因此在解決“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，學(xué)生選用哪種方法均可，不強(qiáng)求用某一種方法。
二、學(xué)情分析：
(1)“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)趣題，容易激發(fā)學(xué)生的探究興趣。
(2)列方程解答此類(lèi)問(wèn)題數(shù)量關(guān)系直觀(guān)易懂，要加以提倡。
(3)“假設(shè)法”對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較陌生，教學(xué)中要抓住其特點(diǎn)，講解算理，讓學(xué)生逐步掌握，根據(jù)具體問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生分析理解，拓寬學(xué)生思維。
三、教學(xué)目標(biāo)：
1.知識(shí)與技能
使學(xué)生了解“雞兔同籠”問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，掌握用列表法和假設(shè)法解決問(wèn)題，初步形成解決此類(lèi)問(wèn)題的一般性策略。
2.過(guò)程與方法
通過(guò)自主探索，合作交流，讓學(xué)生經(jīng)歷用不同的方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的過(guò)程，使學(xué)生體會(huì)解題策略的多樣性，滲透化繁為簡(jiǎn)的思想。
3.情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)
使學(xué)生感受古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的趣味性，體會(huì)到“雞兔同籠”問(wèn)題在生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
四、教學(xué)重點(diǎn)：嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題，體會(huì)用假設(shè)法解決問(wèn)題的優(yōu)越性。
五、教學(xué)難點(diǎn)：理解用假設(shè)法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的算理。
六、教學(xué)過(guò)程：
(一)創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題。
1.同學(xué)們今天老師將和大家一起來(lái)學(xué)習(xí)一道我國(guó)古代非常有名的數(shù)學(xué)趣題，“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何?”(PPT投影展示原題)這四句話(huà)是什么意思呢?
指生回答(籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個(gè)頭;從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只?
2.有誰(shuí)知道這類(lèi)題我們把它叫做什么問(wèn)題嗎?(雞兔同籠)板書(shū)。
雞兔同籠問(wèn)題是我國(guó)古代三大趣題之一，記載于《孫子算經(jīng)》一書(shū)中，距今已有1500多年。
(二)探究交流，嘗試解決問(wèn)題。
1.為了研究方便，我們把題目里的數(shù)字改小一點(diǎn)。
“籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個(gè)頭;從下面數(shù)，有26條腿。雞和兔各有幾只?”(說(shuō)明：為了便于分析時(shí)敘述，把“26只腳”改成了“26條腿”課件出示)
2.我們共同閱讀被關(guān)在同一個(gè)籠子里的雞和兔給我們帶來(lái)了哪些數(shù)學(xué)信息?
讓學(xué)生理解：①雞和兔共8只。②雞和兔共有26條腿。 ③雞有2條腿。 ④兔有4條腿。(課件出示)
3.我們先來(lái)猜猜，籠子中可能會(huì)有幾只雞幾只兔呢?學(xué)生猜測(cè)，在猜測(cè)時(shí)要抓住哪個(gè)條件呢?(雞和兔一共是8只)那是不是抓住了這個(gè)條件就一定能猜對(duì)呢?
學(xué)生猜測(cè)，老師板書(shū)
4.怎樣才能確定你們猜測(cè)的結(jié)果對(duì)不對(duì)?(把雞的腿和兔的腿加起來(lái)看等不等于26。
)
①?lài)L試列表法
為了研究老師把所有的可能按順序列出來(lái)了，我們先看表格中左起的第一列，8和0是什么意思?(就是有8只雞和0只兔，也就是假設(shè)籠子里全是雞，)那籠子里是不是全是雞呢?(不是)那就是把里面的兔也看成雞來(lái)計(jì)算了，那把一只4條腿的兔當(dāng)成一只2條腿的雞來(lái)算會(huì)有什么結(jié)果呢?(就會(huì)少算兩條腿)(課件出示。)
②假設(shè)全是雞
8×2=16(條)(如果把兔全當(dāng)成雞一共就有8×2=16條腿)
26-16=10(條)(把兔看成雞來(lái)算，4條腿兔有當(dāng)成兩條腿的雞算，每只兔就少了兩條腿，10條腿是少算了兔的腿)
4-2=2(假設(shè)全是雞，是把4條腿的兔有當(dāng)成兩條腿的雞。所以4-2表示是一只兔當(dāng)成一只雞就要少算2條腿。)
10÷2=5(只)兔(那把多少只兔當(dāng)成雞算就會(huì)少10條腿呢?就看10里面有幾個(gè)2就是把幾只兔當(dāng)成了雞來(lái)算，所以10÷2=5就是兔的只數(shù)。)
8-5=3(只)雞(用雞兔的總只數(shù)減去兔的只數(shù)就是雞的只數(shù)，8-5=3只雞)
算出來(lái)后，我們還要檢驗(yàn)算的對(duì)不對(duì)，誰(shuí)愿意口頭檢驗(yàn)。
生：3×2+5×4=26(只)，5+3=8(只)。
師：看來(lái)做對(duì)了，最后寫(xiě)上答語(yǔ)。
③假設(shè)全是兔
我們?cè)倩氐奖砀裰?，看看右起第一列中?和8是什么意思?(籠子里全是兔)那是不是全都是兔呢?(不是)也就是假設(shè)籠子里全是兔。那把兔當(dāng)了雞在算。那就是把里面的雞也當(dāng)成兔來(lái)計(jì)算了，那把一只2條腿的雞當(dāng)成一只4條腿的兔來(lái)算會(huì)有什么結(jié)果呢?(就會(huì)多算兩條腿)(課件出示：把一只雞當(dāng)成一只兔算，就多了兩條腿)
先用假設(shè)全是雞的辦法解決了這個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)在假設(shè)全是兔又應(yīng)該怎么分析和解決這個(gè)問(wèn)題呢?同學(xué)們能自己解決嗎?如果有困難可以同桌邊或小組討論。
小結(jié)：剛才我們假設(shè)都是雞或都是兔，所以把這種方法叫做假設(shè)法。這種方法能化難為易，是解答雞兔同籠問(wèn)題的一種基本方法。(板書(shū)：假設(shè)法)
小結(jié)：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，在解決雞兔同籠問(wèn)題時(shí)，用到了哪些方法?(列表法、假設(shè)法)
好，讓我們一起再次回到1500年前的這道題目：(出示課件)，看看古人是怎樣解決“雞兔同籠”問(wèn)題的?
1.假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳，還有26÷2=13只腳。
2.這時(shí)每只雞一只腳，每只兔子兩只腳。
籠子里只要有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1。
3.這時(shí)腳的總數(shù)與頭的總數(shù)之差13-8=5，就是兔子的只數(shù)。
(三)練習(xí)鞏固，反思提升。
1.課件出示“做一做”
生活中“雞兔同籠”的問(wèn)題。
(1)龜鶴問(wèn)題
有龜和鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112條。龜、鶴各有幾只?
集體反饋。
(2)新星小學(xué)“環(huán)保衛(wèi)士”小分隊(duì)12人參加植樹(shù)活動(dòng)。男生?a href='///yangsheng/kesou/' target='_blank'>咳嗽粵?棵樹(shù)，女生每人栽了2棵樹(shù)，一共栽了32棵樹(shù)。男、女生各有幾人?
(3)引導(dǎo)學(xué)生建立“雞兔同籠”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。
看來(lái)雞兔問(wèn)題這類(lèi)問(wèn)題我們不只局限算雞和兔的只數(shù)問(wèn)題上，只要能用“雞兔同籠”問(wèn)題來(lái)解答的問(wèn)題都可以統(tǒng)一叫做“雞兔同籠”問(wèn)題。今后我們就用剛才學(xué)到的“雞兔同籠”方法，來(lái)幫我們解決生活中遇到的一些實(shí)際問(wèn)題。
(四)總結(jié)。
本節(jié)課你有什么收獲?你們對(duì)自己這節(jié)課的表現(xiàn)滿(mǎn)意嗎?
(五)課外延伸與作業(yè)。
1.閱讀并思考：課本105頁(yè)的“閱讀資料”
2.完成練十六的1-3題
小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角--雞兔同籠》教案優(yōu)秀范文四教學(xué)目標(biāo)：
1、對(duì)日常生活中的現(xiàn)象進(jìn)行觀(guān)察和思考，引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)特殊規(guī)律，使學(xué)生掌握用列表的方法來(lái)解決“雞兔同籠”的問(wèn)題。
2、從不同的角度分析問(wèn)題，掌握解題的策略與方法，從而感受到數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用和解決實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系。
3、培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力，滲透假設(shè)的數(shù)學(xué)思想，在解題中數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的再認(rèn)識(shí)，再分析，將列表的過(guò)程更優(yōu)化。
教學(xué)重點(diǎn)：從不同的角度分析，掌握解題的策略與方法。
教學(xué)流程：
一、創(chuàng)設(shè)情境，明確目標(biāo)
1、談話(huà)：“同學(xué)們，自我介紹一下，我姓周，你們可以稱(chēng)呼我?今天需要我們共同配合，在這里上一節(jié)數(shù)學(xué)課，為了表達(dá)謝意，我為你們帶來(lái)了一些禮物，快來(lái)猜一猜，有多少?(5…)太少了?(50…)多了，(40…)少了(45…)差不多了，(46…)恭喜你，答對(duì)了，下課就由你發(fā)給同學(xué)們。
2、喜歡數(shù)學(xué)嗎?數(shù)學(xué)不但可以開(kāi)闊我們的視野，增長(zhǎng)我們的'知識(shí)，還可以鍛煉我們的思維。
在我國(guó)古代就有許多有趣的數(shù)學(xué)名題，你們了解嗎?今天，。老師就向你們推薦一種有趣的問(wèn)題------雞兔同籠。
二、自主探索，合作交流
1 出示問(wèn)題：“雞兔同籠，有5個(gè)頭，14條腿，雞兔各有幾只?”
(1)你從中獲取什么信息?……
(2)請(qǐng)你們猜一猜將雞、兔可能是幾只?(……)
(3)把你猜的過(guò)程給大家說(shuō)一說(shuō)
(4)板書(shū)學(xué)生的過(guò)程
雞 1 2 3
兔 4 3 2
腿 18 16 14
(4)評(píng)價(jià)：從嘗試簡(jiǎn)單的開(kāi)始，一個(gè)一個(gè)的試，最終找到了正確的答案，方法多么簡(jiǎn)單啊?如果我們?cè)贆M豎加上幾條線(xiàn)，就成了美觀(guān)的表格。看來(lái)，列表來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題還確實(shí)簡(jiǎn)單，如果現(xiàn)在將雞兔的數(shù)量增加，還能解決嗎?(重點(diǎn)引入列表)
2、出示：“雞兔同籠，有20個(gè)頭，54條腿，雞兔各幾只?”
(1)自己先想一想如何利用列表來(lái)解決?
(2)小組內(nèi)交流一下自己的想法。
(3)獨(dú)立完成列表。
(4)匯報(bào)想法和過(guò)程
小組1：逐一列表------假設(shè)雞有1只，兔子有19只，那么就有78條腿，(腿多了，說(shuō)明什么?兔子多了，怎么辦?)雞有2只，兔子有18只，那么就有76條腿，一只一只地試，學(xué)生把試的結(jié)果列成表格。
通過(guò)表格引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察：發(fā)現(xiàn)了什么?(每多一只雞，少一只兔子，相應(yīng)減少2條腿，)
小組2：跳躍式列表------假設(shè)雞有1只，兔子有19只，那么就有78條腿，要比54條腿多的多，因此，兔子的只數(shù)也可能多了很多，但是雞的只數(shù)可以不用一只一只依次遞增，而是從猜一只到猜5只(或者其它幾只)，當(dāng)腿的條數(shù)在50到60之間，(提出問(wèn)題：兔子可能是幾只?到底是誰(shuí)估計(jì)的更加接近呢?)
引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：這樣就減少舉例的次數(shù)。并通過(guò)數(shù)據(jù)的調(diào)整來(lái)優(yōu)化解題策略。
小組3：取中列表------假設(shè)雞兔各有10只
小組4：方程
小組5;奧書(shū)班中學(xué)習(xí)過(guò)算術(shù)方法(讓孩子清楚表達(dá)出自己的想法)
三、適時(shí)反思，掌握策略(兩題任選其一)
“同學(xué)們，雞兔同籠”
1、觀(guān)察三種列表的方法，比較異同?
2、談一談;你們有什么感受?
四、深化練習(xí)，拓展延伸
1、課后練習(xí)1、2、3(比較不同-----答案是否唯一)
2、通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，有什么收獲?
小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角--雞兔同籠》教案優(yōu)秀范文五教學(xué)目標(biāo)：
1、了解雞兔同籠問(wèn)題，掌握用列表法、假設(shè)法的方法解決雞兔同籠問(wèn)題的解題思路。
并能用不同的方法解決與雞兔同籠有關(guān)的問(wèn)題。
2、讓學(xué)生在自主探索、嘗試、合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中，經(jīng)歷用不同方法解決雞兔同籠問(wèn)題的過(guò)程，使學(xué)生體會(huì)用方程解雞兔同籠問(wèn)題的一般性。
3、了解我國(guó)古人解雞兔同籠問(wèn)題的方法，感受其趣味性。
教學(xué)重點(diǎn)：
嘗試用不同的方法解決雞兔同籠問(wèn)題，在嘗試中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
教學(xué)難點(diǎn)：
在解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。
教法：分析、引導(dǎo)
學(xué)法：自主探究
課前準(zhǔn)備：多媒體。
教學(xué)過(guò)程：
一、定向?qū)W(xué)：2分鐘
1、師：同學(xué)們，你們知道嗎，大約在1500年前，我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中，記載著一道有趣的數(shù)學(xué)題：(課件出示，題略)你們知道這道題的意思嗎?
生：……(課件演示)
師：這就是有趣的“雞兔同籠”問(wèn)題。(板書(shū)課題)今天我們就一起研究這一問(wèn)題。
2、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
掌握用列表法、假設(shè)法或列方程的.方法解決雞兔同籠問(wèn)題的解題思路。并能用不同的方法解決與雞兔同籠有關(guān)的問(wèn)題。
二、自主探究：8分鐘
內(nèi)容：課本p104例1的(1)
時(shí)間：5分鐘
方法：邊看書(shū)邊完成下面要求：
1、“雞兔同籠”這四個(gè)字是什么意思?
2、書(shū)上用了()種方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。
3、我們共同閱讀被關(guān)在同一個(gè)籠子里的雞和兔給我們帶來(lái)了哪些信息?
生理解：
(1)雞和兔共8只;
(2)雞和兔共有26只腳;
(3)雞有2只腳;
(4)兔有4只腳;
(5)兔比雞多2只腳。(課件演示)
師：那問(wèn)題是什么?
生：雞和兔各有多少只?
3、猜一猜：
師：請(qǐng)同學(xué)們猜一猜雞和兔可能各有多少只?(學(xué)生猜測(cè))還有其它的猜測(cè)嗎?
4、介紹列表法：
師：你們猜出的結(jié)果雞和兔的總只數(shù)都是8只，但是你們猜想的結(jié)果都正確嗎?到底哪個(gè)是正確的呢?下面請(qǐng)同學(xué)們把你們的猜想整理到這張表格中，并進(jìn)行調(diào)整，看看哪個(gè)結(jié)果才是共有26只腳。(學(xué)生活動(dòng))
學(xué)生匯報(bào)整理后的表格，教師板書(shū)學(xué)生整理后的表格。(邊板書(shū)，邊理解填表過(guò)程)
雞
兔
腳
5、觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，列式計(jì)算
三、合作交流：5分鐘
假設(shè)全是兔，怎樣解決?試一試。
四、質(zhì)疑探究：5分鐘
解決雞兔同籠這類(lèi)問(wèn)題，有幾種假設(shè)的方法?
五、小結(jié)檢測(cè)：20分鐘
1、小結(jié)方法：
同學(xué)們真了不起，剛才我們?cè)诮鉀Q雞兔同籠的問(wèn)題時(shí)，用到了多種方法：列表法，假設(shè)法。
2、檢測(cè)：
a、問(wèn)答：
(1)如果老師讓你們解決《孫子算經(jīng)》中的原題，你會(huì)選哪種方法解決呢?
為什么不選擇列表法?難?為什么難?(要列舉的情況很多)有沒(méi)有好的辦法?(有沒(méi)有不用列舉那么多就能找到答案呢)
(2)如果一定要你用列表法解答你有什么辦法?學(xué)生討論。(教師引導(dǎo)列表折半調(diào)整。)
(注：如果前面出現(xiàn)了折半列表，就把這個(gè)環(huán)節(jié)提前講。)
(3)其實(shí)在我們生活當(dāng)中類(lèi)似于雞兔同籠的問(wèn)題有很多的，這些問(wèn)題都可以用不同的方法去解決，下面請(qǐng)同學(xué)們用自己喜歡的方法做一些題目?
b、解決問(wèn)題
(1)有龜和鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿共112條，龜和鶴各有多少只?
(2)全班一共有38人，共租了8條船，每條大船乘6人，每條小船乘4人，每條船都坐滿(mǎn)了。問(wèn)大船和小船各多少條?
(3)新星小學(xué)”環(huán)保衛(wèi)士”小分隊(duì)12人參加植樹(shù)活動(dòng)。男同學(xué)每人栽了3棵樹(shù)，女同學(xué)每人栽了2棵樹(shù)，一共栽了32棵樹(shù)。男女同學(xué)各幾人?
作業(yè)：p106;1、2、3。
板書(shū)：
雞兔同籠
假設(shè)全是雞，就有腳8×2=16(只)
比實(shí)際少26—16=10(只)
一只雞比一只兔少4—2=2(只)
教材分析：
“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。本節(jié)課借助我國(guó)古代趣題“雞兔同籠”這個(gè)題材，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，另一方面使學(xué)生體會(huì)代數(shù)的普遍性。本課目的是借助“雞兔同籠”這個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷猜測(cè)、驗(yàn)證、調(diào)整的過(guò)程，從中體會(huì)解決問(wèn)題的一般策略――列表，而不是為了解決雞兔同籠問(wèn)題本身，所以本課不宜教學(xué)其他解法。教材呈現(xiàn)的是表格，但表格本身只是形式，本質(zhì)還是在進(jìn)行列舉。教材的目的是發(fā)展學(xué)生的分析解決問(wèn)題的能力，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并培養(yǎng)學(xué)生選擇和應(yīng)用數(shù)學(xué)方法策略解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。
學(xué)情分析：
認(rèn)知方面：六年級(jí)學(xué)生具備了分析解決問(wèn)題的能力，具備大量自主探索、自主嘗試的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并積累了一些解決問(wèn)題的方法策略，學(xué)生欠缺的是做題前選擇方法的意識(shí)；很多優(yōu)秀學(xué)生在課外奧數(shù)學(xué)習(xí)中接觸過(guò)雞兔同籠的其它解法，如假設(shè)法和列方程，但后進(jìn)生很難理解和掌握這些方法，列舉法相比之下更接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。
情感方面：學(xué)生對(duì)探索這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣比較濃，課堂學(xué)習(xí)應(yīng)該具備較好的積極性。
設(shè)計(jì)總思路：
首先通過(guò)數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》引出雞兔同籠問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的興趣。其次引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，出示例題后，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜測(cè)，然后驗(yàn)證――引出借助表格進(jìn)行驗(yàn)證。
學(xué)生獨(dú)立嘗試在表格中列舉。在學(xué)生活動(dòng)過(guò)程中，教師適時(shí)提示：如果你通過(guò)發(fā)現(xiàn)想到了更好的辦法可以用表格二。學(xué)生在嘗試中不斷調(diào)整改進(jìn)自己的方法。展示學(xué)生的三種列舉法，并闡述自己的想法。其他學(xué)生可向其提問(wèn)，在問(wèn)答中總結(jié)出三種列舉法的特點(diǎn)。通過(guò)比較，選擇自己喜歡的列舉法。
最后全課總結(jié)：今天我們用列舉法解決了雞兔同籠的問(wèn)題，列舉法不單可以解決這類(lèi)問(wèn)題，還可以解決其他類(lèi)型的問(wèn)題，是一種重要的解題策略。而雞兔同籠問(wèn)題是不是只能用列舉法解決呢？方法多種多樣，我們下節(jié)課再來(lái)繼續(xù)研究。
教學(xué)目標(biāo)：
1.使學(xué)生初步學(xué)會(huì)運(yùn)用“列舉”的策略解決雞兔同籠問(wèn)題。
2.通過(guò)雞兔同籠的解題方法的探索過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想與驗(yàn)證、列舉的過(guò)程，從而體驗(yàn)到數(shù)學(xué)方法的選擇對(duì)解決問(wèn)題的重要性。
3.通過(guò)對(duì)比幾種列舉方法，讓學(xué)生體會(huì)到列舉本身也是講究策略的。
4.通過(guò)對(duì)雞兔同籠的歷史的了解，使學(xué)生感受到我國(guó)數(shù)學(xué)文化的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。
教學(xué)過(guò)程 ：
1.揭示課題
1）師：同學(xué)知道嗎？我國(guó)古代有一部非常重要的數(shù)學(xué)名著叫做《孫子算經(jīng)》，距今已有1500多年，里面描述了很多數(shù)學(xué)趣題。其中，有一道非常有名的題“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”這四句話(huà)是什么意思呢？
學(xué)生回答：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？
2）師：這就是古代著名的雞兔同籠問(wèn)題。今天這節(jié)課我們就來(lái)研究雞兔同籠。（板書(shū)課題：雞兔同籠）
3）師：你覺(jué)得可以有哪些方法解決？（學(xué)生自由回答）
2.出示例題，引入猜測(cè)，嘗試列舉
1）師：為了方便研究，我們先從簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)入手，來(lái)探索解決這類(lèi)問(wèn)題的方法。
2）師：要求雞和兔各有幾只，咱們不妨先猜一猜。（板書(shū)：猜）
3）師：猜對(duì)沒(méi)有呢？我們可以驗(yàn)證一下。你想怎么驗(yàn)證？（板書(shū)：驗(yàn)證）
4）教師巡視。師：如果你通過(guò)發(fā)現(xiàn)，想到了更好的辦法可以用表格二。
3.組織學(xué)生匯報(bào)交流
1）逐一列舉法
2）跳躍列舉法
3）取中列舉法
4.梳理知識(shí)，優(yōu)化策略
1）師：剛剛同學(xué)們用了三種列舉法來(lái)解決雞兔同籠問(wèn)題。我們?cè)僖黄饋?lái)回顧一下。先猜，再列表格驗(yàn)證。這樣先猜想再不斷驗(yàn)證是數(shù)學(xué)家們研究數(shù)學(xué)的重要方法。
2）小結(jié)：看來(lái)，只要合理運(yùn)用這些列舉法，就可以減少?lài)L試的次數(shù)，快速找到答案。
5.練習(xí)
趣題再演，強(qiáng)化方法
1）還記得《孫子算經(jīng)》上的那道題嗎？請(qǐng)你用喜歡的列舉法找出答案，看誰(shuí)找的又對(duì)又快！完成在表格三上。
籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？
2）完成的同學(xué)，小組內(nèi)交流討論，看誰(shuí)的方法最好。
6.全課總結(jié)
【文章編號(hào)】0450-9889（2014）03A-
0052-01
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，每個(gè)學(xué)生已有的知識(shí)水平和接受能力是不同的，根據(jù)新課標(biāo)的要求，教師要探尋一種促進(jìn)學(xué)生獲得自我學(xué)習(xí)、自我提升能力的有效方法，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生快速、全面、綜合發(fā)展自身的素質(zhì)。本文以蘇教版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《雞兔同籠》問(wèn)a題為例，詳細(xì)分析創(chuàng)新學(xué)生思維能力，提升學(xué)生自學(xué)能力和思考能力的方法和策略，提出小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的新思路和新策略。
一、實(shí)行分層自學(xué)，因材施教
分層自學(xué)是對(duì)因材施教原則的落實(shí)，每個(gè)學(xué)生的接受能力和已有知識(shí)水平不同，所以，他們對(duì)于新事物和新知識(shí)的掌握速度也不同。在進(jìn)行自學(xué)引導(dǎo)的過(guò)程中，教師可以采取分層自學(xué)的方式來(lái)進(jìn)行。教師應(yīng)先掌握學(xué)生的理解能力水平，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況制訂具有針對(duì)性的教學(xué)方案和措施。對(duì)于能力強(qiáng)的學(xué)生，可以讓他們獨(dú)立分析和思考，完整地解答出題目，并促進(jìn)他們進(jìn)行自我反思；對(duì)于能力稍弱一些的學(xué)生，注重對(duì)他們的引導(dǎo)和激勵(lì)，提升他們的自信心。例如，蘇教版六年級(jí)數(shù)學(xué)第92頁(yè)的“練一練”：雞和兔共有8只，腿有22條，問(wèn)雞和兔各有多少只？對(duì)于這樣的練習(xí)題目，筆者在教學(xué)過(guò)程中采用了分層自學(xué)的方式展開(kāi)教學(xué)。
1.畫(huà)8個(gè)橢圓代表8只動(dòng)物，在每只動(dòng)物下畫(huà)2條腿。
2.分析：一共有16條腿，比題目中給出的腿少幾條？
3.每增加一只兔子，就會(huì)增加兩條腿，一共有22條腿，那么應(yīng)該增加多少只兔子？
4.在圖中畫(huà)出來(lái)，兔子有（ ）只，雞有（ ）只。
這樣分層引導(dǎo)，學(xué)生可以一步一步地根據(jù)教師的引導(dǎo)，獲得相關(guān)類(lèi)型題目的分析方法。之后，教師再給學(xué)生布置一些相關(guān)習(xí)題，促進(jìn)學(xué)生舉一反三，提升學(xué)生自學(xué)能力。
對(duì)于學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)、基礎(chǔ)比較好的學(xué)生，可以讓學(xué)生自行分析和解決，教師從中給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥：雞兔數(shù)量一定，如果兔子是x只，那么雞的數(shù)目就是（8-x）只，再根據(jù)雞兔的腿的關(guān)系，列出方程2（8-x）+4x=22，解出x=3，也就是兔子有3只，雞有5只。雞兔同籠問(wèn)題都可以通過(guò)這樣簡(jiǎn)單的方程思想解答出來(lái)。
二、實(shí)行團(tuán)隊(duì)合作，相互促進(jìn)
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，有針對(duì)性地合理分配合作學(xué)習(xí)小組，最好能按照異質(zhì)分組，即每個(gè)小組成員中組織能力、學(xué)習(xí)能力、思維水平和性別等都要均衡，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)；合理分配任務(wù)，讓每個(gè)小組成員都能參與題目的分析和探討，找出題目中的重難點(diǎn)內(nèi)容，集思廣益，得出問(wèn)題的分析過(guò)程和解答過(guò)程。
例如，蘇教版小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)第93頁(yè)“雞兔同籠”的思考題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各有多少只？
團(tuán)隊(duì)合作教學(xué)過(guò)程：四個(gè)同學(xué)為一組制作表格，表格分為雞的數(shù)量、兔的數(shù)量、腿的數(shù)量。甲同學(xué)從雞有35只，兔子有0只，腿的數(shù)量為70條出發(fā)；乙同學(xué)從雞有0只，兔子有35只，腿的數(shù)量為140條出發(fā)；丙同學(xué)從雞有17只，兔子有18只，腿的數(shù)量為106條出發(fā)，分別填入表格，丁同學(xué)進(jìn)行分析。第一步甲同學(xué)和丙同學(xué)相互靠近，雞的數(shù)量增加，兔子數(shù)量減少，從而甲乙丙這三位同學(xué)又從前后中三個(gè)位置進(jìn)行計(jì)算，并將結(jié)果填入表格，最后得出列表結(jié)果：雞有23只，兔有12只。這樣的合作學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生更加清晰地了解并掌握了雞兔同籠問(wèn)題的分析過(guò)程。
三、實(shí)行自我總結(jié)，綜合提升
不管是之前的分層自學(xué)，還是團(tuán)隊(duì)合作式自學(xué)，最終的自學(xué)能力的培養(yǎng)都需要?dú)w結(jié)到自我總結(jié)這一步驟上來(lái)，這也是學(xué)生自學(xué)能力得到提升的具體體現(xiàn)。在解答“雞兔同籠”的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，我們還可以運(yùn)用差量和補(bǔ)足的數(shù)學(xué)思想，將腿的差量進(jìn)行補(bǔ)足，從而得到解答問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想。
例如，雞兔共有20只，有54條腿在地上走，問(wèn)雞兔各有多少只？
方法總結(jié)：（1）對(duì)于方程思想運(yùn)用得比較熟練的學(xué)生，可以設(shè)雞有x只，那么兔子就有（20-x）只，4（20-x）+2x=54，得出雞有13只，兔子有7只。
（2）差量和補(bǔ)足方法1：如果20只全是雞，那么有40條腿，還差14條腿，每多一只兔子，就多2條腿，所以還應(yīng)該多出14÷2=7只兔子。
1981年英國(guó)“學(xué)校數(shù)學(xué)調(diào)查委員會(huì)”向政府提交的《Cockcroft報(bào)告》提出了“數(shù)學(xué)交流”。報(bào)告指出，教數(shù)學(xué)的主要理由在于“數(shù)學(xué)提供了有力的、簡(jiǎn)潔的和準(zhǔn)確無(wú)誤的交流信息的手段”。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書(shū)中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)。”數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維的載體，交流是思維活動(dòng)的重要環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)交流的形式有很多種，其中“說(shuō)數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)交流的重要形式之一?！罢f(shuō)數(shù)學(xué)”是指?jìng)€(gè)體用口頭表達(dá)自己對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的具體認(rèn)識(shí)、理解，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路、思想和方法，以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感體會(huì)等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)?！罢f(shuō)數(shù)學(xué)”有利于學(xué)生口頭表達(dá)能力的提高，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，有利于學(xué)生表達(dá)解決問(wèn)題的思考過(guò)程，有利于優(yōu)化課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，提高課堂教學(xué)效果。
一、“說(shuō)數(shù)學(xué)”的案例探究
一般數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決“說(shuō)數(shù)學(xué)”過(guò)程可概括為“說(shuō)題意”“說(shuō)思路”“說(shuō)解法”“說(shuō)體會(huì)”?！罢f(shuō)題意”就是要求學(xué)生在審題時(shí)，用自己的話(huà)復(fù)述題意，加深對(duì)題意的理解?！罢f(shuō)思路”就是要求學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠用一定的術(shù)語(yǔ)有理、有據(jù)、有層次地表達(dá)解題的思維過(guò)程?！罢f(shuō)解法”就是讓學(xué)生根據(jù)自己的思路列出解題過(guò)程，然后分步說(shuō)出每道算式分別代表什么?！罢f(shuō)體會(huì)”就是讓學(xué)生回顧反思自己解決問(wèn)題的過(guò)程，說(shuō)說(shuō)自己的情感體會(huì)。下面就人教版第十一冊(cè)“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行“說(shuō)數(shù)學(xué)”的實(shí)踐探究。
1. 說(shuō)題意——弄清題意
片段一：
課件出示主題圖和原題：今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問(wèn)雞兔各有幾只？
師：你能說(shuō)說(shuō)這道題是什么意思嗎？
生：這道題的意思是——現(xiàn)在，雞和兔在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)有35個(gè)頭，從下面數(shù)有94只腳，問(wèn)雞和兔各有多少只？
師：是的，原題就是這個(gè)意思。這就是有趣的“雞兔同籠”問(wèn)題。（板書(shū)課題）今天我們就一起研究這個(gè)問(wèn)題。
師：數(shù)學(xué)家在研究一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)從簡(jiǎn)單的開(kāi)始。今天我們就從簡(jiǎn)單的雞兔同籠開(kāi)始。
（出示）籠子里有若干只雞兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳，雞和兔各有幾只？
師：題目告訴了我們什么？要我們求什么？
生：題目告訴了我們雞和兔的頭數(shù)共有8個(gè)，它們共有26只腳，求雞和兔各有多少只。
師：那么在計(jì)算這個(gè)題目之前，我們一起來(lái)猜一猜，你認(rèn)為雞和兔各有幾只？
生1：我認(rèn)為兔有5只，雞3只。
生2：兔有4只，雞有4只。
生3：兔有3只，雞有5只。
師：不管怎么猜，我們都應(yīng)該抓住題中什么樣的條件來(lái)猜？
生：應(yīng)該抓住頭數(shù)8個(gè)來(lái)猜。
師：是不是抓住這個(gè)條件，就一定可以猜對(duì)呢？
生：不是，還得考慮它們腳共有26只。
讓學(xué)生用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言敘述題意或數(shù)量關(guān)系，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，能培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣，也能培養(yǎng)學(xué)生的概括能力。
2. 說(shuō)思路——擬訂計(jì)劃
片段二：
師：下面誰(shuí)愿意來(lái)交流一下自己的想法。
生1：我是用列方程的方法解，先設(shè)兔為x只，因?yàn)殡u兔共有8只，所以雞就為（8-x）只，每只兔有4只腳，x只兔就有4x只腳，每只雞有2只腳，（8-x）只就有2（8-x）只腳了，然后根據(jù)它們共有26只腳，把兔的腳跟雞的腳加起來(lái)列一個(gè)方程，就可以解出x，也就是兔有幾只了，然后再根據(jù)兔的只數(shù)就可以算出雞的只數(shù)。
生2：我也是用列方程的方法解的，我先設(shè)雞為x只，然后兔就為（8-x）只，每只雞有2只腳，x只雞就有2x只腳，每只兔有4只腳，（8-x）只就有4（8-x）只腳了，然后也是根據(jù)它們共有26只腳，把雞的腳跟兔的腳加起來(lái)列一個(gè)方程，就可以解出x，也就是有幾只雞，然后再根據(jù)雞的只數(shù)再算出兔的只數(shù)。
師：真不錯(cuò)，你們都是用列方程的方法解的，那么這道題有幾個(gè)未知數(shù)的量？
生：這道題有兩個(gè)未知數(shù)的量，一個(gè)是兔的只數(shù)，另一個(gè)是雞的只數(shù)。
師：我們?cè)诹蟹匠痰臅r(shí)候，抓的是什么跟什么相等？
生：兔的腳的只數(shù)加上雞的腳的只數(shù)就等于它們一共的腳的只數(shù)。
師：誰(shuí)還有不同的方法？
生3：老師，我是用假設(shè)法解的，我先假設(shè)籠子里8只全是雞，
師：說(shuō)的真好，下面請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)剛才的思路，選擇自己喜歡的方法，然后將你的解題過(guò)程寫(xiě)在練習(xí)本上。
有些學(xué)生雖然能把題目正確地解答出來(lái)，但不一定能把思考過(guò)程說(shuō)得清清楚楚。讓學(xué)生說(shuō)思路，能讓教師了解學(xué)生的分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力水平，比較清楚地了解學(xué)生的語(yǔ)言障礙情況，有利于提高學(xué)生的元認(rèn)知能力。
3. 說(shuō)體會(huì)——回顧反思
片段四：
師：今天我們解決了一個(gè)什么問(wèn)題？你有什么收獲？
生1：我學(xué)會(huì)了用方程解題，用方程解題思路清晰，只要弄清題目，列出一個(gè)等式就可以了。
生2：我學(xué)會(huì)了用假設(shè)法解題，我覺(jué)得用假設(shè)法解決“雞兔同籠”問(wèn)題很簡(jiǎn)單。
生3：老師，我掌握了列方程解“雞兔同籠”問(wèn)題的一般步驟和方法。
生4：老師，起先我不懂，剛看了這幾位同學(xué)的解題過(guò)程，我終于明白了，現(xiàn)在我也會(huì)做了。
數(shù)學(xué)本身是一種語(yǔ)言，一種簡(jiǎn)約的科學(xué)語(yǔ)言。許多學(xué)生難以學(xué)好數(shù)學(xué)的重要原因之一是數(shù)學(xué)語(yǔ)言障礙?！罢f(shuō)數(shù)學(xué)”可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用能力，它體現(xiàn)了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主體地位，是教學(xué)信息反饋的重要渠道，更是踐行過(guò)程性評(píng)價(jià)理念的良好體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)努力為學(xué)生創(chuàng)設(shè)“說(shuō)數(shù)學(xué)”的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在交流中感受數(shù)學(xué)，體驗(yàn)我們的生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，萌發(fā)要學(xué)數(shù)學(xué)的心理需求。
參考文獻(xiàn)：
下面是我在教學(xué)“雞兔同籠問(wèn)題”時(shí)的一些思考和體會(huì)。
【教學(xué)片斷】
（一）
1.呈現(xiàn)主題圖（如下圖）
2.談話(huà)激趣
師：同學(xué)們請(qǐng)看題目，想一想，你能獲得哪些有價(jià)值的信息？
生：有8個(gè)頭，26只腳。
師：了解題目的意思后，現(xiàn)在請(qǐng)大家猜一猜雞和兔各有幾只？
學(xué)生發(fā)表各自的看法，師引導(dǎo)學(xué)生將所有的方案都說(shuō)出來(lái)，并列成表格。
師：哪種方案才是正確答案呢？我們需要一起來(lái)驗(yàn)證一下。
師：我們?cè)趺粗滥姆N方案中腳的總只數(shù)是正確的？
生：把雞與兔子腳的總只數(shù)加起來(lái)。
指名匯報(bào)各種方案的答案。
師：還有什么發(fā)現(xiàn)？
師：還有更好的方法能夠快速找到雞兔的只數(shù)嗎？
學(xué)生沉默無(wú)言。
師：四人小組的同學(xué)可以一起討論一下？（小組討論）
師：哪個(gè)小組先來(lái)匯報(bào)？
生1：先隨意猜一個(gè)數(shù)據(jù)，再根據(jù)數(shù)據(jù)是偏多還是偏少來(lái)調(diào)整。
生2：找出總只數(shù)的一半后，再進(jìn)行調(diào)整。
【教學(xué)片斷】
（二）
在學(xué)生用列表方法找出雞和兔的只數(shù)后，我進(jìn)一步設(shè)問(wèn)：
你們還有什么方法可以解決這個(gè)問(wèn)題？
生1：假設(shè)法
生2：列方程
師：請(qǐng)同學(xué)們自己先試試，完成之后與四人小組的同學(xué)進(jìn)行交流，在交流過(guò)程中要注意把自己的觀(guān)點(diǎn)表達(dá)清楚。
（學(xué)生獨(dú)自完成，并進(jìn)行小組交流）
師：同學(xué)們，我們知道兔子有四只腳，而剛才我們把籠子里的動(dòng)物都假設(shè)成雞，那也就是要讓兔子抬起兩只腳，那我們可以把這種方法叫什么方法？
生1：兔子抬腳法。
生2：兔子立正法。
師：為什么要取名兔子立正法？
生：當(dāng)兔子抬起兩只腳時(shí)，就像立正的姿勢(shì)。
師：像這樣子嗎？
（師把手舉起來(lái)，做了一個(gè)有趣的動(dòng)作，學(xué)生頓時(shí)哈哈大笑）
師：我建議咱們就把這種假設(shè)籠子里都是雞的方法叫做“兔子立正法”。
生：好。
師：還有不同的方法嗎？
生：假設(shè)籠子里都是兔子……
這時(shí)，為了讓學(xué)生真正深入掌握解決雞兔同籠的問(wèn)題同時(shí)記住方法，于是我總結(jié)出這樣的步驟：①先假設(shè)全是某一種動(dòng)物；②算出都是假設(shè)的這種動(dòng)物的腳總數(shù)與題中所給總只數(shù)的差，即總數(shù)差；③算出一只兔和一只雞的腳的只數(shù)差，即單個(gè)差；④總數(shù)差÷單個(gè)差=假設(shè)之外的那一種動(dòng)物的只數(shù)。
從學(xué)習(xí)效果來(lái)看，現(xiàn)在已是六年級(jí)下的最后復(fù)習(xí)階段，可是當(dāng)我們復(fù)習(xí)到這塊知識(shí)時(shí)，只有兩三個(gè)學(xué)困生沒(méi)記牢，其他同學(xué)完全沒(méi)有問(wèn)題。
【教學(xué)反思】
1.探索是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生命線(xiàn)。著名數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“學(xué)習(xí)任何新知的最佳途徑是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系?！?/p>
本課中驗(yàn)證方法的得出，是學(xué)生個(gè)體的主動(dòng)參與結(jié)果，教師所起的作用只是相機(jī)誘導(dǎo)?？梢哉f(shuō)在這一環(huán)節(jié)中，教師創(chuàng)造了一種民主、寬松、和諧的課堂學(xué)習(xí)氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生用自己的思維方式大膽地猜想雞與兔的只數(shù)，對(duì)于學(xué)生的猜想，教師均給予鼓勵(lì)。為了驗(yàn)證猜想的正確性，教師讓學(xué)生自己想辦法進(jìn)行驗(yàn)證，接著引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀(guān)察表格數(shù)據(jù)，從中來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題，最終達(dá)到優(yōu)化列表法。
2.滲透數(shù)學(xué)思想遠(yuǎn)大于培養(yǎng)數(shù)學(xué)技能。由于學(xué)生的認(rèn)知水平和風(fēng)格的不同，可能會(huì)出現(xiàn)上述不同的解決方法，但我的目的并非要求學(xué)生盡可能多地想出不同的解題方法進(jìn)行展示，而是在列表的基礎(chǔ)上引導(dǎo)他們領(lǐng)會(huì)“雞兔同籠”問(wèn)題最核心的方法——假設(shè)法，并滲透方程思想的一般性，從而促進(jìn)學(xué)生在原有基礎(chǔ)上向更高水平發(fā)展。
【教學(xué)目標(biāo)】
1.使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中初步學(xué)會(huì)運(yùn)用假設(shè)的策略分析數(shù)量關(guān)系、理清解題思路，并有效地解決問(wèn)題。
2.使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中不斷反思，感受假設(shè)的策略對(duì)于解決特定問(wèn)題的價(jià)值，進(jìn)一步發(fā)展分析、綜合和簡(jiǎn)單的推理能力。
3.使學(xué)生進(jìn)一步積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)解決問(wèn)題的策略意識(shí)，獲得解決問(wèn)題的成功體驗(yàn)，提高學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。
【教學(xué)重點(diǎn)】引導(dǎo)學(xué)生理解并運(yùn)用假設(shè)的策略解決問(wèn)題。
【教學(xué)難點(diǎn)】當(dāng)假設(shè)與實(shí)際結(jié)果發(fā)生矛盾時(shí)該如何進(jìn)行調(diào)整。
【教學(xué)過(guò)程】
課前游戲：同學(xué)們猜一猜我畫(huà)的是什么。（學(xué)生猜：月兒、小船、樹(shù)葉、香蕉……）揭示謎底：小船。在里面畫(huà)一個(gè)圓，猜猜畫(huà)的是什么。（生：人?。┰佼?huà)1個(gè)圓。（兩個(gè)人?。┊?huà)一個(gè)表示鴨、豬的圖形讓學(xué)生猜猜。
2.反饋：再次感知借助畫(huà)圖方法來(lái)調(diào)整的策略
反饋：大船幾只？小船？看學(xué)生的解答過(guò)程，并說(shuō)說(shuō)自己的思路：假設(shè)10只全是小船……用畫(huà)圖的方法。
研究調(diào)整：發(fā)現(xiàn)矛盾，引發(fā)思考。
當(dāng)學(xué)生說(shuō)到假設(shè)后（全是小船）多出8人時(shí)，教師要追問(wèn)：怎么會(huì)多出8人呢？這說(shuō)明什么？怎么辦？
如果學(xué)生說(shuō)的是假設(shè)全是大船或是各一半，也一樣處理。
3.感知用列表的方法來(lái)幫助調(diào)整更便捷
展示學(xué)生用假設(shè)＋列表的方法：讓學(xué)生先看這個(gè)學(xué)生在提出假設(shè)后又是用什么方法來(lái)幫助解決問(wèn)題的。
學(xué)生說(shuō)完后，再次一起回味這種假設(shè)的思考過(guò)程。
4．檢驗(yàn)結(jié)果
6只大船4只小船，是不是正確的呢？這還需要檢驗(yàn)。讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)怎么檢驗(yàn)。
5．回顧整理，提煉策略
我們一起來(lái)回顧，解決這個(gè)問(wèn)題我們先是提出了假設(shè)，然后用畫(huà)圖、列表的方法發(fā)現(xiàn)假設(shè)后的總?cè)藬?shù)與實(shí)際人數(shù)不一樣，這時(shí)就需要進(jìn)行調(diào)整，推算出正確結(jié)果，最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。同學(xué)們，你們認(rèn)為這個(gè)過(guò)程中哪一步是比較困難的？（調(diào)整）（板書(shū)：假設(shè)借助畫(huà)圖、列表等調(diào)整檢驗(yàn)）
四、再次感受策略，學(xué)會(huì)選擇適合的方法幫助調(diào)整以順利解決問(wèn)題
滲透估計(jì)意識(shí)，優(yōu)化策略——鞏固表格調(diào)整的策略
六年級(jí)同學(xué)制作了176件蝴蝶標(biāo)本，分別在13塊展板上展出，每塊小展板貼8件，每塊大展板貼20件。兩種展板各有多少塊？
（1）讓學(xué)生先估估看：可能是各幾塊？怎么想的？
（2）把你的估計(jì)作為一種假設(shè)，準(zhǔn)備借助什么方法來(lái)幫助解決？畫(huà)圖？列表？為什么？學(xué)生完成。
（3）反饋：展示三種層次的，分類(lèi)說(shuō)說(shuō)怎樣調(diào)整。讓學(xué)生感受出比實(shí)際多，大調(diào)??；比實(shí)際少，小調(diào)大。（板書(shū)，比實(shí)際多——大調(diào)小，比實(shí)際少——小調(diào)大）
（4）比較三種假設(shè)哪一種較好？（假設(shè)各接近一半好些）
設(shè)計(jì)意圖：大膽猜測(cè)是學(xué)生“估算能力”的體現(xiàn)。這題“取中列表”的方法何嘗不是一種大膽猜測(cè)的結(jié)果呢？這種猜測(cè)只要經(jīng)過(guò)逐步調(diào)整、試算，往往能很快找到答案?？梢哉f(shuō)，大膽嘗試和猜想不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和估算能力，而且能加強(qiáng)學(xué)生的判斷力，因?yàn)椴聹y(cè)的往往離正確結(jié)果比較接近。然而更可喜的是，先估計(jì)能培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，而不是為解決問(wèn)題而解決問(wèn)題，估計(jì)的意識(shí)讓學(xué)生能真正面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，減少不合理的假設(shè)。
五、小結(jié)反思，分享收獲
今天，我們學(xué)習(xí)了解決問(wèn)題的策略，你有什么收獲呢？你們能有這些收獲，老師感到很欣慰，老師相信你們能很好地運(yùn)用這些策略去解決問(wèn)題。
【資料鏈接】拓展延伸，激發(fā)熱情。
為了讓學(xué)生能通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能輕松利用二元一次方程組來(lái)解決一系列的古代應(yīng)用題問(wèn)題，培養(yǎng)他們熱愛(ài)我國(guó)古代文化，從而提高他們善于思考、勇于探索的精神，我在課前做了大量的準(zhǔn)備工作。
1、收集了我國(guó)古代四大名著：《紅樓夢(mèng)》、《西游記》、《水滸傳》、《三國(guó)演義》，并整理了我國(guó)古代有關(guān)數(shù)學(xué)的著作：《周髀算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》《九章算術(shù)》、《算法統(tǒng)宗》、《海島算經(jīng)》 、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》等。
2、從古代數(shù)學(xué)著作中選取了一些能用二元一次方程組來(lái)解題的一些古代應(yīng)用題。
3、制作了豐富多彩且具有古代特色和現(xiàn)代氣息的多媒體課件。
4、準(zhǔn)備了一些教具和一些小品。
二、課堂操作
（一）課堂引入
教師導(dǎo)入：同學(xué)們知道我國(guó)文學(xué)史上的四大名著是哪些嗎？《紅樓夢(mèng)》、《西游記》、《水滸傳》、《三國(guó)演義》；我們數(shù)學(xué)方面也有許多著作，比如：《周髀算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》《九章算術(shù)》、《算法統(tǒng)宗》《海島算經(jīng)》 、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》等，在這些著作中也流傳著許多有趣的數(shù)學(xué)故事，例如大約早在1500年前《孫子算經(jīng)》中記載著這樣一道有趣的數(shù)學(xué)題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？與此同時(shí)，教師用多媒體先展示我國(guó)四大名著的封面，再展示古代數(shù)學(xué)著作的封面，再?gòu)摹秾O子算經(jīng)》這本書(shū)跳出雞兔同籠這個(gè)應(yīng)用題。
這樣的設(shè)計(jì)，不光是讓學(xué)生穿越時(shí)光回到古代來(lái)認(rèn)識(shí)我國(guó)的古代文化，更多的是讓學(xué)生體會(huì)我國(guó)古人不光是在古代文學(xué)中的造詣，更體現(xiàn)在數(shù)學(xué)文化領(lǐng)域，以此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的目的。
（二）進(jìn)入新課
1、對(duì)“雞兔同籠”應(yīng)用題的處理
當(dāng)《雞兔同籠》這個(gè)古代應(yīng)用題出來(lái)以后，我首先請(qǐng)了一個(gè)同學(xué)將這一個(gè)問(wèn)題翻譯成現(xiàn)在的數(shù)學(xué)應(yīng)用題形式。然后拋出列方程解應(yīng)用題的A、B、C分析法：
例1：我國(guó)《孫子算經(jīng)》卷下著名的“雉兔同籠”：上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？
分析：題目大意是：
請(qǐng)你完成本題的標(biāo)準(zhǔn)解答
通過(guò)以上操作，同學(xué)們很快就能解決這“雞兔同籠”這個(gè)應(yīng)用題。
2、對(duì)古代買(mǎi)東西問(wèn)題應(yīng)用題的處理
為了增加同學(xué)解古代應(yīng)用題的興趣，在例如后面我設(shè)置了一個(gè)有關(guān)古代買(mǎi)東西問(wèn)題的變式應(yīng)用題：“今有牛五、羊二、直金十兩，牛二、羊五，直金八兩，牛、羊各直金幾何？”
為了更大限度地增加同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣和參與度，我將課堂文化與古代文化相結(jié)合，編寫(xiě)了一個(gè)情況劇，請(qǐng)了班級(jí)一個(gè)小組的同學(xué)扮演了不同的角色來(lái)表演了古代交易市場(chǎng)，但要求表演中一定要體現(xiàn)出以上數(shù)量和等量的關(guān)系。通過(guò)表演，同學(xué)很直觀(guān)地感受到了這個(gè)古代應(yīng)用題間的等量關(guān)系，數(shù)學(xué)問(wèn)題游刃而解。通過(guò)表演，不僅提高了學(xué)生課堂的參與度，更極大地激了學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)，也使課堂文化達(dá)到了第一個(gè)！
3、對(duì)“以繩測(cè)井”問(wèn)題的處理
“以繩測(cè)井”問(wèn)題又是古代一個(gè)比較著名和典型的一個(gè)應(yīng)用題：
例2：以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多五尺；若將繩四折測(cè)之，繩多一尺，繩長(zhǎng)，井深各幾何？
在這個(gè)問(wèn)題的處理中，首先我用多媒體展示了關(guān)于測(cè)井的圖片：
然后再用事先準(zhǔn)備好的教具：燒杯的繩子，讓部分學(xué)生來(lái)演示“三折測(cè)之”和“四折測(cè)之”是如何進(jìn)行測(cè)量的。
最后，我在黑板上畫(huà)出了兩種測(cè)量方法的，并讓同學(xué)們利用示意圖用多種方法來(lái)找等量關(guān)系，從而利用多種方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。
通過(guò)以上操作，我們通過(guò)具體的情境和交流，讓學(xué)生對(duì)從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，再?gòu)臄?shù)學(xué)問(wèn)題從來(lái)體味數(shù)學(xué)的文化價(jià)值的課堂文化，這樣的課堂，不僅讓學(xué)生學(xué)到了數(shù)學(xué)知識(shí)，還幫助了學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的辦法。
3、敵狗應(yīng)用問(wèn)題的處理
最后，為了活躍一些課堂的氣氛，我設(shè)置了一道有趣的古代應(yīng)用題：“一隊(duì)敵人一隊(duì)狗，兩隊(duì)并成一隊(duì)走，腦袋共有八十個(gè)，卻有二百條腿走，請(qǐng)君仔細(xì)數(shù)一數(shù)，多少敵軍多少狗？”
設(shè)計(jì)些題的目的三個(gè)：
（1）通過(guò)這個(gè)有趣的應(yīng)用題活躍課堂的氣氛；
（2）增加數(shù)學(xué)文化的價(jià)值規(guī)律
（3）提醒學(xué)生雖然我們古代創(chuàng)造了燦爛的文明，當(dāng)代盛事經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展，但我們的敵人卻無(wú)處不在，培養(yǎng)學(xué)生熱愛(ài)學(xué)習(xí)、熱愛(ài)祖國(guó)的美好情操。
這個(gè)題的比較簡(jiǎn)單，在課堂中的處理，我主要是上每一組派一名成績(jī)較差的同學(xué)上黑板進(jìn)行板書(shū)解答，并讓每組最好的同學(xué)上臺(tái)就他們的板書(shū)情況進(jìn)行糾正和評(píng)價(jià)。
三、課后反思
這是一堂集古代文化、課堂文化和現(xiàn)實(shí)相融合的一堂數(shù)學(xué)課，這堂數(shù)學(xué)的價(jià)值已然超過(guò)了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)權(quán)本身，對(duì)我的整個(gè)教學(xué)的觸動(dòng)都很大，因此，在課后，就本堂課的教學(xué)我作了一點(diǎn)自己的感悟和反思。
1、大敢轉(zhuǎn)換情境，提高情境“關(guān)聯(lián)性”。
課堂教學(xué)中教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的教學(xué)情境，使學(xué)生始終處于一種良好的愉悅的氛圍中，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的思維能力。還要注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、操作、討論、思考發(fā)現(xiàn)并掌握知識(shí)，時(shí)刻把學(xué)生推到學(xué)習(xí)的主體地位，在一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹黝}中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，發(fā)展能力?；谶@一點(diǎn)，本節(jié)課的內(nèi)容在開(kāi)始的時(shí)候設(shè)置主要以古代應(yīng)用題為情景，從而引入本課題。再課件出示《孫子算經(jīng)》及雞兔同籠問(wèn)題，一石激起千層浪，雞兔怎能同籠？學(xué)生的探究欲望馬上調(diào)動(dòng)起來(lái)，這時(shí)，又讓學(xué)生了解“經(jīng)典”，感受 “經(jīng)典”。
2、鼓勵(lì)參與，在合作中提高學(xué)習(xí)效率。
根據(jù)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程設(shè)置中強(qiáng)調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，在學(xué)習(xí)過(guò)程中盡可能多的為學(xué)生提供探索和交流的空間，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索與合作交流。本節(jié)課中，我主要通過(guò)小組表演、展示和交流，學(xué)生討論等，讓學(xué)生體會(huì)到用二元一次方程組解決古代實(shí)際問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)。
2、鼓勵(lì)學(xué)生參與反思與總結(jié)
課后，我看到學(xué)生余游未盡，我鼓勵(lì)學(xué)生不斷思考、善于總結(jié)，讓學(xué)生在本節(jié)課的余溫中回味學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，感受數(shù)學(xué)文化和古代文化的無(wú)窮魅力。因些，我本節(jié)課給同學(xué)們布置了三個(gè)作業(yè)，以些讓學(xué)生思考更的數(shù)學(xué)文化的價(jià)值。
（1）能過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，寫(xiě)一個(gè)300字左右的課堂小結(jié)；
建構(gòu)主義教學(xué)觀(guān)認(rèn)為學(xué)習(xí)在本質(zhì)上是學(xué)習(xí)者主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)表征的過(guò)程。這個(gè)表征由“結(jié)構(gòu)性知識(shí)”和“非結(jié)構(gòu)性知識(shí)”組成。所謂“結(jié)構(gòu)性知識(shí)”指的是規(guī)范的、擁有內(nèi)在邏輯聯(lián)系系統(tǒng)、從多種情景中抽象出來(lái)的概念和原理。所謂“非結(jié)構(gòu)性知識(shí)”是指在具體情景中形成的，具有和具體情景關(guān)聯(lián)的不規(guī)范的、非正式的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。正因?yàn)槿绱?，建?gòu)主義教學(xué)觀(guān)的一支新興分支“認(rèn)知彈性理論”把人的學(xué)習(xí)分為兩種類(lèi)型，即“初級(jí)學(xué)習(xí)”和“高級(jí)學(xué)習(xí)”?！俺跫?jí)學(xué)習(xí)”主要是掌握結(jié)構(gòu)性的知識(shí)，“高級(jí)學(xué)習(xí)”掌握的是非結(jié)構(gòu)性的知識(shí)?！俺跫?jí)學(xué)習(xí)”和“高級(jí)學(xué)習(xí)”之間是有界限的，先進(jìn)行“初級(jí)學(xué)習(xí)”，然后才能順利進(jìn)行“高級(jí)學(xué)習(xí)”，它們之間是不能混淆和逾越的。人教版教材的方程教學(xué)編排，正是遵循這一學(xué)習(xí)規(guī)律的。
人教版教材在五年級(jí)上冊(cè)安排了“簡(jiǎn)易方程”這一單元的學(xué)習(xí)，這一單元包括用字母表示數(shù)、方程的意義、解方程等內(nèi)容，這些內(nèi)容的編排是為學(xué)生的“初級(jí)學(xué)習(xí)”服務(wù)的。因?yàn)閷W(xué)生剛剛接觸方程，需要了解方程的意義，學(xué)習(xí)如何列方程。在列方程中，教材編排了利用天平的原理解決諸如a+x=b和ax=b的方程，又安排用此類(lèi)簡(jiǎn)易方程解決的問(wèn)題。之后教材安排了“較復(fù)雜的方程”的3個(gè)例題，類(lèi)型諸如ax±b=c和x+ax=b。在教材安排的列方程解決問(wèn)題中，只有一步解決的問(wèn)題，如例3：洪澤湖水位達(dá)到14.14米，超過(guò)警戒水位0.64米，問(wèn)警戒水位是多少米？理解了題意，學(xué)生不難用算術(shù)解解答出來(lái)。如果用方程解，學(xué)生面臨順向利用數(shù)量關(guān)系式列式的問(wèn)題，還有求解的過(guò)程，況且解方程格式的繁瑣，讓學(xué)生望而怯步。難道這樣，我們的方程就不用教學(xué)了嗎？當(dāng)然不是，學(xué)習(xí)任何一種知識(shí)首先必須經(jīng)歷這么一個(gè)階段，掌握普遍的、抽象的事實(shí)、概念和原理，即“初級(jí)學(xué)習(xí)”階段。
人教版教材在六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)除法”這一單元，又安排了解方程的內(nèi)容，共兩個(gè)例題。第1個(gè)例題的內(nèi)容是“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)?！鳖?lèi)型如五年級(jí)上冊(cè)ax=b的方程類(lèi)型。第二個(gè)例題的內(nèi)容是：已知美術(shù)小組有25人，還知道美術(shù)小組比航模小組多1∕4，求航模小組有多少人，類(lèi)型如五年級(jí)上冊(cè)x+ax=b的方程類(lèi)型。教師千萬(wàn)不可單單將這個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)看做五年級(jí)學(xué)習(xí)內(nèi)容的重復(fù)，屬于“初級(jí)學(xué)習(xí)”的復(fù)習(xí)鞏固，這是學(xué)生方程學(xué)習(xí)的“高級(jí)階段”。要想順利通過(guò)學(xué)習(xí)的“高級(jí)階段”，需要對(duì)同一教學(xué)內(nèi)容在不同時(shí)間、不同情境、基于不同目的、著眼于不同方面、用不同的方式多次加以呈現(xiàn)，以使學(xué)習(xí)者對(duì)同一內(nèi)容或者問(wèn)題進(jìn)行多方面的理解、獲得多種意義的建構(gòu)。所以，這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)，不可強(qiáng)調(diào)學(xué)生用方程解決問(wèn)題，而是創(chuàng)設(shè)情景讓學(xué)生用多種方法解決問(wèn)題，包括方程法，還有只能用方程解決的問(wèn)題。
人教版教材在六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”安排的“雞兔同籠”教學(xué)，是學(xué)生進(jìn)入“高級(jí)學(xué)習(xí)”的頂峰。筆者所教得學(xué)生中，經(jīng)過(guò)六年級(jí)“雞兔同籠”問(wèn)題的學(xué)習(xí)后，學(xué)生遇到問(wèn)題不會(huì)問(wèn)要不要用方程解。他們會(huì)根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，甄別情景，選擇解法，能充分利用方程的一般性解決問(wèn)題，也就是說(shuō)越來(lái)越喜歡用方程解決問(wèn)題。人教版六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”中的“雞兔同籠”問(wèn)題的教材編排，用列表法、假設(shè)法、方程法解決問(wèn)題。列表法對(duì)數(shù)據(jù)較小的問(wèn)題比較合適，對(duì)數(shù)據(jù)較大的問(wèn)題不合適，學(xué)生自然就淘汰列表法。學(xué)生選擇方程法多于假設(shè)法解決雞兔同籠問(wèn)題，是因?yàn)殡u兔同籠問(wèn)題的變式，使學(xué)生對(duì)假設(shè)法的理解感到困難所致。如“雞兔同籠”問(wèn)題的變式，已知雞和兔共45個(gè)頭，雞的腿比兔的腿多60條腿，問(wèn)雞和兔各有幾只?！睂W(xué)生把雞設(shè)為X只，那么兔就有（45-X）只，根據(jù)數(shù)量關(guān)系式“雞的腿數(shù)-兔的腿數(shù)=60”，很快就列出方程。如果用假設(shè)法解決問(wèn)題，列式為：（60+45×4）÷（2+4）。通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖和假設(shè)法結(jié)合來(lái)理解每一步算式的意義還是有困難的，所以學(xué)生會(huì)放棄假設(shè)法，而選擇方程法。
學(xué)生開(kāi)始青睞方程，是因?yàn)樵诮鉀Q具體問(wèn)題的情境中，學(xué)習(xí)者對(duì)同一內(nèi)容或者問(wèn)題進(jìn)行多方面理解、獲得多種意義的建構(gòu)，由此獲得廣泛而靈活遷移的、高級(jí)的、非結(jié)構(gòu)性的知識(shí)，體會(huì)到方程法能解決其它方法不能解決的問(wèn)題。所以說(shuō)，方程的教學(xué)需要一個(gè)過(guò)程，學(xué)生喜歡方程需要一個(gè)過(guò)程。這個(gè)過(guò)程從“初級(jí)學(xué)習(xí)”階段到“高級(jí)學(xué)習(xí)”階段，不可跨越，教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程有這么個(gè)清醒的認(rèn)識(shí)，不拔苗助長(zhǎng)，做好自己應(yīng)做的教學(xué)工作，再加上靜靜地等待，花開(kāi)會(huì)有時(shí)。
二、有效改進(jìn)方程教學(xué)
建構(gòu)主義教學(xué)觀(guān)的支架式教學(xué)模式是通過(guò)提供一套恰當(dāng)?shù)母拍羁蚣芏鴰椭鷮W(xué)習(xí)者理解特定知識(shí)、建構(gòu)知識(shí)意義的教學(xué)模式，借助于該概念框架學(xué)習(xí)者能夠獨(dú)立探索并解決問(wèn)題，獨(dú)立建構(gòu)意義。其模式分為五個(gè)環(huán)節(jié)：①進(jìn)入情境；②搭建支架，引導(dǎo)探索；③獨(dú)立探索；④協(xié)作學(xué)習(xí)；⑤效果評(píng)價(jià)。如果把小學(xué)階段的方程學(xué)習(xí)看做一個(gè)整體，看做一個(gè)系統(tǒng)。用支架式教學(xué)模式來(lái)指導(dǎo)我們的方程教學(xué)，那么五年級(jí)的方程學(xué)習(xí)就相當(dāng)于支架式教學(xué)模式的第二個(gè)環(huán)節(jié)即搭建支架，引導(dǎo)探索；六年級(jí)的方程學(xué)習(xí)相當(dāng)于支架式教學(xué)模式的第三個(gè)環(huán)節(jié)即獨(dú)立探索。當(dāng)然，不管是五年級(jí)的方程學(xué)習(xí)還是六年級(jí)的方程學(xué)習(xí)，都需要支架式教學(xué)的其它三個(gè)環(huán)節(jié)：進(jìn)入情景、協(xié)作學(xué)習(xí)、效果評(píng)價(jià)。
思維過(guò)程大致是這樣的――
一、這題是什么意思：要我們求什么?它給了什么已知數(shù)?有什么要求?
答：要我們求幾只雞、幾只兔；已知數(shù)是：雞兔總共30只(頭三十)，腳總共100只(腳一百，隱含的已知：雞二足、兔四足)；要求(隱含條件)：求出的答案是整數(shù)，
二、打算怎樣解?一只雞比一只兔少2只腳，如果知道30只雞比30只“雞兔”少了多少只腳，就可以用除法算出兔數(shù)，
三、解解看!所有兔抬起前腿，腳減少(100-30×2)只，每只兔減少(4―2)只，所以
兔數(shù)：(100-30×2)÷(4―2)
=40÷2
=20(只)
雞數(shù)：30―20=10(只)
四、反思：答案對(duì)嗎?(檢驗(yàn))頭數(shù)：10+20=30(個(gè))，腳數(shù)：10×2+20×4=100(只)，也可先求雞數(shù)，
雞數(shù)：(30 x 4-100)÷(4―2)
=20÷2
=lO(只)
兔數(shù)：30-10=20(只)
方法能否用在別的題中?(變題)由此題能否概括出一個(gè)公式?
這就是數(shù)學(xué)解題四步曲：弄清題意，擬定方案，執(zhí)行方案，檢驗(yàn)回顧，美國(guó)著名數(shù)學(xué)教師波利亞(他也是數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家)從長(zhǎng)期的教學(xué)(對(duì)學(xué)生的解題過(guò)程的觀(guān)察)、研究(對(duì)自己解題過(guò)程的反思)中，概括出這四個(gè)步驟，制定出“解題表”，寫(xiě)成名著《怎樣解題》，教師們可以進(jìn)行研究、使用，也可向?qū)W生推薦。
2.一把雙刃劍
仔細(xì)分析解題四步驟，每一步都涉及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用，如弄清題意，這里有一個(gè)小故事。
有一次，我們?nèi)ビ^(guān)摩一位老師的課，內(nèi)容是應(yīng)用題，講例題時(shí)，老師把例題亮出來(lái)以后，一再?gòu)?qiáng)調(diào)仔細(xì)審題，把題意搞清楚，然后她開(kāi)始講題意：先大聲讀一句，再小聲慢讀，算是對(duì)大聲讀的句子的解釋?zhuān)^而再讀下一句，……當(dāng)有的學(xué)生還不懂時(shí)，她再重復(fù)做一遍，三遍過(guò)后，大家都“明白了”，才列出算式，算出結(jié)果，課后我們問(wèn)她什么是題意，她的回答很“妙”：不就是題的意思嘛!
同語(yǔ)反復(fù)式的回答，說(shuō)明她不明白什么是題意，事實(shí)上，一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題，往往由已知數(shù)、未知數(shù)(要求的數(shù))、已知數(shù)和未知數(shù)之間的聯(lián)系、已知和未知的限制條件、有關(guān)的說(shuō)明、解題指令等構(gòu)成其中的主要部分就是已知、未知和條件，因此，弄清題意這一步驟，就是弄清已知數(shù)是什么?未知數(shù)是什么?條件是什么?在這里，已知、未知和條件，往往用日常文字語(yǔ)言描述，因此“弄清”的意思，在于把它們轉(zhuǎn)化為圖形或符號(hào)構(gòu)成的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，弄清其數(shù)學(xué)含義，這里關(guān)鍵在于熟知日常語(yǔ)言的數(shù)學(xué)含義(由數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的)。
擬定方案(你打算怎么解)和執(zhí)行方案：擬定的方案往往是由日常語(yǔ)言表述，逐漸過(guò)渡到數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，而執(zhí)行時(shí)全然是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言。
檢查回顧，則兩種語(yǔ)言兼用，最終歸結(jié)為數(shù)學(xué)語(yǔ)言。
可見(jiàn)，思考和解答數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)語(yǔ)言須臾難離，對(duì)學(xué)生的長(zhǎng)期觀(guān)察(特別是對(duì)優(yōu)等生和學(xué)困生的對(duì)比分析)使我們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)語(yǔ)言確實(shí)是一把雙刃劍：優(yōu)等生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)入門(mén)快，掌握得好，能準(zhǔn)確、快捷地完成轉(zhuǎn)化，迅速列式求解，數(shù)學(xué)語(yǔ)言成為他們手中的利器，反之，學(xué)困生往往數(shù)學(xué)語(yǔ)言沒(méi)有過(guò)關(guān)，對(duì)很多日常用語(yǔ)不解其數(shù)學(xué)含義，從而很難化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，列式既難，則求解無(wú)望，這樣，數(shù)學(xué)語(yǔ)言事實(shí)上成了他們解題的攔路虎因此，我們猜想，很多人共識(shí)的應(yīng)用題難教難學(xué)如果屬實(shí)的話(huà)，那么難就難在日常語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換。
3.一道蹊蹺的算術(shù)題
為了進(jìn)一步說(shuō)明解題的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換問(wèn)題，我們看一道算術(shù)題(這是小時(shí)候數(shù)學(xué)老師留的思考題)：一個(gè)老太太挎著籃子賣(mài)雞蛋，第-人買(mǎi)去一半零半個(gè)，第二人買(mǎi)去剩下的一半零半個(gè)，第二人買(mǎi)去前兩人剩下的一半零半個(gè)，正好買(mǎi)完，問(wèn)原有雞蛋多少個(gè)?
要求的很明確――籃子里原來(lái)的雞蛋數(shù)，但已知數(shù)是什么?怎樣把它變成數(shù)學(xué)語(yǔ)言?事實(shí)上，已知數(shù)只有一個(gè)(由正好買(mǎi)完轉(zhuǎn)化來(lái)的)：0，其他已知“第一人”、“第二人”、“第二人”、“一半零半個(gè)”則是我們要求的那個(gè)數(shù)的縮減方式和過(guò)程。
題意弄清了嗎?就算是吧!(很多數(shù)學(xué)題都是這樣，在未解出之前，不可能徹底明白)怎樣解呢?已知數(shù)0是我們要求的那個(gè)數(shù)通過(guò)3次縮減變來(lái)的，那么就要從0出發(fā)，倒退著，讓它增大3次，還原成那個(gè)數(shù)，
這條思路(方案)看來(lái)不錯(cuò)，我們?cè)囋嚳础?/p>
O是什么?第三人買(mǎi)走一半零半個(gè)后，剩下的雞蛋數(shù)，他拿走最后半個(gè)之前雞蛋數(shù)是(0+1/2)(個(gè))，而這(0+1/2)又等于他買(mǎi)的那一半(1/2)，所以第三人買(mǎi)走的是(0+1/2)x2=1(個(gè))，這也是第二人剩下的，
同樣的分析可知：第一人剩下的是(1+1/2)×2=3(個(gè))；籃子里原有雞蛋為(3+1/2)×2=7(個(gè))，寫(xiě)成綜合算式是
{[(0+1/2)×2+1/2]×2+1/2}×2=7(個(gè))
檢驗(yàn)：第一人買(mǎi)走7×1/2+1/2=4(個(gè))，第二人買(mǎi)走(7-4)×1/2+1/2=2(個(gè))，第三人買(mǎi)走(7-4-2)×1/2+1/2=l(個(gè))，1+2+4=7(個(gè))，答案正確
反思：如按同樣的方法，4個(gè)人買(mǎi)完，雞蛋數(shù)為7×2+1=15(個(gè))，5個(gè)人買(mǎi)完是15×2+1=31(個(gè))，
我們分析一下語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換和對(duì)日常語(yǔ)言數(shù)學(xué)含義的理解(這里是對(duì)過(guò)程的逆向理解)：買(mǎi)完――余下的是0；“買(mǎi)走一半零半個(gè)”：將剩下的數(shù)加上1/2再乘以2，就是前面剩下的數(shù)，如第三人買(mǎi)后剩下的為0，則第二人買(mǎi)后剩下的為(0+1/2)×2=1，第一人買(mǎi)后剩下的為(1+1/2)×2=3，等等，整個(gè)解題過(guò)程就是一個(gè)對(duì)日常用語(yǔ)數(shù)學(xué)含義的理解向數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的過(guò)程，不少人面對(duì)此題束手無(wú)策，就是這里沒(méi)有過(guò)關(guān)。
4.教學(xué)策略
知道了應(yīng)用題求解中的困難所在，就知道該用怎樣的策略來(lái)攻克了，我們大致考慮了這樣幾條，
(1)運(yùn)用由波利亞“解題表”展示一般解題方法，我建議所有的數(shù)學(xué)教師都讀一讀《怎樣解題》一書(shū)，國(guó)內(nèi)外許多人都立下雄心壯志，要“超波利亞”，但據(jù)我們所知，到目前為止，真正達(dá)到波利亞水平者幾乎沒(méi)有，可悲的是一些人不慎滾入題海，難以自拔，波利亞的一般解題方法，既是日常解題、培養(yǎng)良好的常規(guī)思維的佳途，又是攻克中考題、高考題、IMO問(wèn)題、培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的利器。不可多得，對(duì)于算術(shù)應(yīng)用題的教學(xué)?？隙ㄊ恰皫湍銢](méi)商量”。
(2)澄清算術(shù)、代數(shù)應(yīng)用題中一些常用詞的數(shù)學(xué)含義，在應(yīng)用題的表述中，由于日常語(yǔ)言的模糊性、多義性，缺少數(shù)學(xué)的加工(定義)，學(xué)生往往造成誤解，凡遇此類(lèi)，老師應(yīng)“舉例+說(shuō)明”，予以澄清，其中如：
①“每隔**年”和“每**年”混淆，曾造成儒略歷的大錯(cuò)。
②一組描述變化的詞，如增加、減少、擴(kuò)大、縮小等易出錯(cuò)，特別地，如增加與增加了相同，但與增加到不同，增加、減少，應(yīng)是同類(lèi)的量；擴(kuò)大、縮小應(yīng)與倍數(shù)、幾分之幾、百分?jǐn)?shù)相配，如2變?yōu)?，可以說(shuō)增加了4，也可以說(shuō)擴(kuò)大了2倍或擴(kuò)大到3倍，但說(shuō)增加了2倍則不妥。又如4變?yōu)?，可說(shuō)減少了2或縮小為原來(lái)的1/2，說(shuō)減少1/2或減少2倍則不妥。
③行程問(wèn)題，行程問(wèn)題中的相向、相背、同向等，鐘表問(wèn)題兩針(三針)的行進(jìn)速度等，往往有歧義，
(3)不妨請(qǐng)字母幫幫忙，有些較繁難的、拐彎較多的應(yīng)用題，由于逆向思維難以奏效，而求解公式又難以解釋?zhuān)虼耍环劣梅匠烫铰?，例如，以雞兔同籠為例：今有雞兔同籠，頭三十而腳一百，問(wèn)雞兔各幾何?
設(shè)有雞x只，兔y只，則
x+y=30，
①
12x+4y=100，
如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模過(guò)程，形成模型思想呢？筆者認(rèn)為應(yīng)努力做好以下幾個(gè)方面：
一、把握知識(shí)本源，精選建模內(nèi)容
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，并不是所有內(nèi)容都適合開(kāi)展建模教學(xué)的。這就要求我們要不斷學(xué)習(xí)，努力增加專(zhuān)業(yè)知識(shí)的“寬度”和“厚度”，充分把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本源，精心選擇適合建模教學(xué)的內(nèi)容。用建模的思想解讀教材，認(rèn)真思考生活中的這一現(xiàn)象可以提出什么樣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題可以抽象出一個(gè)什么模型，這個(gè)模型怎樣求解，用這個(gè)模型還可以解釋生活中的哪些現(xiàn)象？
例如：生活中存在“雞兔同籠”的問(wèn)題，它的數(shù)學(xué)模型就是二元一次整數(shù)方程。在教學(xué)中我們要引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察這類(lèi)問(wèn)題的特征，即告知兩個(gè)未知量的和以及兩個(gè)未知量之間一定的量值關(guān)系，求未知量。再引導(dǎo)學(xué)生探索這種模型的解決方法，即“假設(shè)法”，并引導(dǎo)學(xué)生從畫(huà)圖、列舉、替換等不同的角度去理解“假設(shè)法”。我們還應(yīng)明白，我們探索這一問(wèn)題的解法，并不僅僅是為了解決雞兔同籠這個(gè)問(wèn)題，而是為了解決符合“雞兔同籠”特征的這一類(lèi)問(wèn)題，例如：“龜鶴同游”問(wèn)題、“強(qiáng)盜和狗”的問(wèn)題、汽車(chē)和自行車(chē)的輪子問(wèn)題、兩種面值的錢(qián)混放時(shí)錢(qián)的張數(shù)問(wèn)題等等。使學(xué)生在經(jīng)歷建模的學(xué)習(xí)過(guò)程中解決問(wèn)題、發(fā)展思維、提升能力。
二、創(chuàng)設(shè)合理情境，誘發(fā)數(shù)學(xué)問(wèn)題
教學(xué)素材的選用應(yīng)當(dāng)充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和生活經(jīng)驗(yàn)。這些素材應(yīng)當(dāng)在反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下盡可能地貼近學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。情境的創(chuàng)設(shè)要能引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，誘發(fā)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，把生活中的“事理”上升為“數(shù)理”，從而經(jīng)歷一個(gè)生活中的問(wèn)題模型化的過(guò)程。
例如：在執(zhí)教蘇教版四年級(jí)上冊(cè)“間隔排列找規(guī)律”時(shí)恰逢六十周年大慶，筆者先播放了人們歡度“國(guó)慶”的視頻，然后定格在太子山公園鮮花和盆景、彩旗和燈籠間隔排列的畫(huà)面上。由于太子山公園是孩子們最熟悉的本地公園，不少孩子剛過(guò)了“國(guó)慶節(jié)”。這一情境的創(chuàng)設(shè)，極大地激活了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。筆者引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察思考：從圖中你能得到哪些數(shù)學(xué)信息，發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？學(xué)生在觀(guān)察、討論、交流中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題。這一“模型準(zhǔn)備”過(guò)程，為進(jìn)一步抽象出“一一對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)模型做好了充分的認(rèn)知準(zhǔn)備和心理準(zhǔn)備。
三、導(dǎo)學(xué)探究結(jié)合，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型
在學(xué)習(xí)過(guò)程中，為了既準(zhǔn)確又簡(jiǎn)便地解決所提出的問(wèn)題，我們要從眾多因素中抓住幾個(gè)關(guān)鍵的因素，簡(jiǎn)化抽象出問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，用直觀(guān)的、形式化、符號(hào)化的圖形、方程、函數(shù)、不等式等“模型”來(lái)代替要研究的問(wèn)題。教師要引導(dǎo)和激勵(lì)學(xué)生充分發(fā)揮學(xué)習(xí)的主觀(guān)能動(dòng)性，主動(dòng)參與操作、觀(guān)察、思考、討論、交流、匯報(bào)等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程，在這一過(guò)程中提升能力，增強(qiáng)自信心，體驗(yàn)成功的快樂(lè)。
例如：在剛才的“間隔排列找規(guī)律”案例中，老師引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察太子山公園鮮花和盆景、彩旗和燈籠的排列有什么共同的特點(diǎn)？你能用自己喜歡的圖形、文字、符號(hào)把這種共同的特點(diǎn)表示出來(lái)嗎？請(qǐng)你先獨(dú)立試一試，再在小組內(nèi)交流。老師引導(dǎo)學(xué)生展示匯報(bào)，說(shuō)出自己的想法。老師統(tǒng)一用圓形代表一種物體，再用三角代替另一種物體，抽象出“”這樣的模型，再引導(dǎo)學(xué)生用一一對(duì)應(yīng)的思想進(jìn)行模型求解。在這個(gè)過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了充分的動(dòng)手操作、合作交流和自主探究，經(jīng)歷了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，并在此過(guò)程中提升了數(shù)學(xué)能力，發(fā)展了數(shù)W思維。
四、組織深入探究，引導(dǎo)模型求解
[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）20-0082-01
練習(xí)環(huán)節(jié)是學(xué)生鞏固學(xué)習(xí)成果、提升運(yùn)用知識(shí)解決生活問(wèn)題的能力的重要途徑。教師要精心設(shè)置練習(xí)內(nèi)容，不斷優(yōu)化練習(xí)的結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生在練習(xí)過(guò)程中深化認(rèn)知與理解，歷練基本技能，從而提高數(shù)學(xué)核心能力。
一、緊扣學(xué)情，分層練習(xí)，契合認(rèn)知需要
學(xué)生之間的差異是客觀(guān)存在的，教師如果采用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)展開(kāi)教學(xué)，就意味著會(huì)有很多學(xué)生在認(rèn)知需求上難以得到相應(yīng)的滿(mǎn)足。因此，教師應(yīng)該對(duì)課堂練習(xí)進(jìn)行分層設(shè)置，讓每個(gè)學(xué)生都能得到發(fā)展。
如教學(xué)“圓柱的表面積”時(shí)，筆者則設(shè)置了三個(gè)層次的練習(xí)：第一層次，圓柱的底面周長(zhǎng)為10.84厘米，高為4厘米，請(qǐng)計(jì)算這個(gè)圓柱的側(cè)面積；第二層次，圓柱底面的半徑為3厘米，高為4厘米，這個(gè)圓柱的側(cè)面積是多少；第三層次，圓柱的底面積是28.26平方厘米，高是4厘米，求該圓柱的側(cè)面積。第一層的練習(xí)，直接告知底面周長(zhǎng)，為學(xué)生直接將圓柱側(cè)面轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形提供方便，適合水平較低的學(xué)生；第二層次的練習(xí)只提供了底面的半徑，需要學(xué)生根據(jù)已知條件先求得底面周長(zhǎng)，是對(duì)學(xué)生理解圓柱側(cè)面積計(jì)算方法之后的一種綜合性運(yùn)用，適合中等水平的學(xué)生；第三層次則提供了底面面積，需要學(xué)生對(duì)圓形半徑、周長(zhǎng)和面積之間的關(guān)系有深入的認(rèn)識(shí)，能滿(mǎn)足水平較高的學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，引導(dǎo)他們進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。
如此三個(gè)層次的設(shè)計(jì)，緊緊依循著起點(diǎn)低、層級(jí)密、變化巧的標(biāo)準(zhǔn)，讓不同層次的學(xué)生都能在原有的基礎(chǔ)上“跳一跳，摘到桃子”，實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得發(fā)展”的教育目標(biāo)。
二、引入游戲，延伸練習(xí)，開(kāi)放學(xué)生思維
巧妙地設(shè)置題目，通過(guò)開(kāi)放條件、開(kāi)放答案、開(kāi)放情境等方式來(lái)優(yōu)化練習(xí)內(nèi)容，可激活學(xué)生內(nèi)在的思維活力，讓練習(xí)的價(jià)值最大化。
著名特級(jí)教師華應(yīng)龍教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí)，在學(xué)生初步了解圓的基本特征之后，出示了這樣一道開(kāi)放的“尋寶”題：現(xiàn)在有一個(gè)寶物，距離你的右腳4米，你能確定這個(gè)寶物的位置嗎？很多學(xué)生躍躍欲試，且無(wú)一例外地認(rèn)為寶物應(yīng)該就在以自己的右腳為圓心，半徑為4米的圓上。此時(shí)，華老師看著學(xué)生一臉篤定的樣子問(wèn)：“一定如此嗎？有其他可能嗎？”學(xué)生面面相覷，華老師則出示一張半個(gè)西瓜的圖片，學(xué)生恍然大悟：“也可能在腳底下，還可能在空中?！边@時(shí)，一位學(xué)生喊道：“在以我的右腳為球心，半徑為4米的球上。”教學(xué)至此，華老師便順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生初步分辨圓形和球體的區(qū)別與聯(lián)系。
這一案例中，華老師設(shè)置“尋寶”的開(kāi)放練習(xí)，巧妙地引入“球”的概念，彌補(bǔ)了學(xué)生空間觀(guān)念的不足，讓學(xué)生輕松地辨析了圓形與球體的共性特點(diǎn)以及不同之處，以多元和開(kāi)放的方式激活了學(xué)生的創(chuàng)造性，可謂一舉多得。
三、拓展補(bǔ)白，增設(shè)練習(xí)，豐富教材內(nèi)涵
蘇教版教材在進(jìn)行內(nèi)容的設(shè)置和編排時(shí)并沒(méi)有在時(shí)間上滿(mǎn)打滿(mǎn)算，而是預(yù)留了一節(jié)課15%到20%的時(shí)間給教師機(jī)動(dòng)安排。教師可以結(jié)合學(xué)生的具體學(xué)情和教學(xué)實(shí)際，對(duì)教材的內(nèi)容進(jìn)行適度的拓展與延伸，尤其在練習(xí)環(huán)節(jié)中，對(duì)教材中沒(méi)有涉及的內(nèi)容進(jìn)行必要的補(bǔ)充。
如“雞兔同籠”是我國(guó)數(shù)學(xué)研究的傳統(tǒng)名題，同時(shí)也被教材編者選入六年級(jí)“解決問(wèn)題的策略”中。筆者在一次骨干教師展示課上聆聽(tīng)一位教師執(zhí)教這一內(nèi)容，他教師將“雞兔同籠”當(dāng)成一種認(rèn)知模型進(jìn)行理解，在深入理解的過(guò)程中讓學(xué)生的思維真正活躍起來(lái)。該教師通過(guò)自己的拓展與補(bǔ)充，將教材中的一道例題其擴(kuò)充為一節(jié)課。首先，該教師對(duì)之前學(xué)習(xí)的方程解法進(jìn)行復(fù)習(xí)，引領(lǐng)學(xué)生梳理算法；其次，將學(xué)生的思維從典型個(gè)例向一般認(rèn)知推進(jìn)，構(gòu)建模型；隨后，通過(guò)對(duì)原題的層層改編以及拓展補(bǔ)充，依循著學(xué)生的思維螺旋上升，讓每個(gè)學(xué)生都清楚地理解題目的本質(zhì)，掌握解決“雞兔同籠”問(wèn)題的一般方法；最后，引а生進(jìn)行提升歸納，回顧總結(jié)自己這一節(jié)課的收獲。
