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時(shí)間：2023-03-10 15:07:29
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列方程解應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，也是學(xué)生在計(jì)算應(yīng)用題時(shí)必須培養(yǎng)的能力。它滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)方面，學(xué)生從四年級(jí)就開(kāi)始接觸方程，必然涉及到用方程解應(yīng)用題。因此，怎樣列方程解應(yīng)用題，下面談?wù)勎覍?duì)列方程解應(yīng)用題的幾點(diǎn)體會(huì)。
一.什么是列方程解應(yīng)用題。
列方程解應(yīng)用題就是用X表示實(shí)際問(wèn)題的某個(gè)未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，然后將未知數(shù)轉(zhuǎn)化為已知數(shù)，求出問(wèn)題的解答。它不同于用算術(shù)方法，算術(shù)方法是逆向思考，從實(shí)際問(wèn)題推向已知條件，過(guò)程曲折，對(duì)于較復(fù)雜的三四步應(yīng)用題很多學(xué)生難于理解；而用方程解應(yīng)用題是正向思考，思路清晰，簡(jiǎn)明，解法統(tǒng)一，容易掌握。因此，掌握列方程解應(yīng)用題就可以鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析實(shí)際問(wèn)題的能力有積極作用。
二.理解題意，建立合理的等量關(guān)系
1.根據(jù)關(guān)鍵句子確定等量關(guān)系
應(yīng)用題中有些“字眼”是理解應(yīng)用題的關(guān)鍵，這些句子中含有“一共，比……多，比……少，是……的幾倍（幾分之幾），比……的幾倍多（少） ……等術(shù)語(yǔ)，在解題時(shí)就可以抓住這些術(shù)語(yǔ)去列等量關(guān)系，把比或者是化為等號(hào)，直接根據(jù)句子的意思如：多，增加，提高，增產(chǎn)用加法，少，減少，降價(jià)，節(jié)約等用減法。
2.根據(jù)常用的數(shù)量關(guān)系列等量關(guān)系
在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們也積累了一定的數(shù)量關(guān)系，如
行程問(wèn)題 路程=速度×?xí)r間
工程問(wèn)題 工作總量=作效率×工作時(shí)間
價(jià)格問(wèn)題 總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量
收成問(wèn)題 總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量
在分析應(yīng)用題時(shí)，就可以根據(jù)這些數(shù)量關(guān)系去列方程。
3.根據(jù)數(shù)學(xué)中的計(jì)算公式列等量關(guān)系
在學(xué)習(xí)幾何圖形時(shí)，我們也積累了大量的計(jì)算公式，用這類(lèi)知識(shí)解答的列方程解應(yīng)用題時(shí) ，引導(dǎo)學(xué)生找出該題所采用的某個(gè)幾何圖形的周長(zhǎng)、面積、體積的計(jì)算公式，然后寫(xiě)出等量關(guān)系式。
4.縱觀全題，列等量關(guān)系
有些應(yīng)用題的等量關(guān)系，要縱觀全題，通過(guò)對(duì)題目作整體上的分析，才能找出題目里的等量關(guān)系，為了便于找出該類(lèi)題目里的等量關(guān)系，平時(shí)可以要求學(xué)生把題目里反映數(shù)量和數(shù)量關(guān)系的重要詞語(yǔ)（如原來(lái)，又運(yùn)進(jìn)，用去，賣(mài)出，還剩等）劃下來(lái)，幫助學(xué)生找出數(shù)量關(guān)系。
三.列方程解應(yīng)用題的一般步驟
1.審題，弄清題目中有哪些已知條件和哪些未知條件，它們之間有什么樣的關(guān)系。把未知數(shù)用字母X表示，如果還有另一個(gè)未知量也和X有關(guān)系，就要寫(xiě)出含有未知數(shù)的的字母表達(dá)式。
2.進(jìn)行解設(shè)。有些同學(xué)平時(shí)沒(méi)有養(yǎng)成習(xí)慣，只有方程沒(méi)有解設(shè)，這是不對(duì)的。先在題目下寫(xiě)上“解”，打上冒號(hào)，設(shè)這個(gè)未知數(shù)為X，有單位的必須寫(xiě)上單位。
3.分析應(yīng)用題，根據(jù)題意列出正確的等量關(guān)系。
4.解方程，求出未知數(shù)的值。如果需要算出幾個(gè)量，求出未知數(shù)后，還必須用算式算出另一個(gè)量。
5.檢驗(yàn)方程的解?？纱隭的值進(jìn)入算式，看一看算出來(lái)的結(jié)果是否和題中的數(shù)值相符。
6.答。算出結(jié)果后該答的必須答。這也是一種良好行為習(xí)慣的養(yǎng)成。
四.涉及列方程解應(yīng)用題的一般題型
1.一般復(fù)合應(yīng)用題
例.農(nóng)場(chǎng)買(mǎi)來(lái)化肥1220千克，先用去820千克，剩下的平均施在5塊地里。每塊地施化肥多少千克？
思路點(diǎn)撥：這道題既可以用算術(shù)方法，也可以列方程。總量是1220千克化肥，用去的加上剩下的就是就是總數(shù)，或者總的減去剩下的就是用去的。
五.列方程解應(yīng)用題的注意事項(xiàng)
1.用字母表示未知數(shù)時(shí)應(yīng)另寫(xiě)單位，如果是復(fù)名數(shù)必須化為單名數(shù)，在解設(shè)時(shí)要寫(xiě)單位，但在計(jì)算出結(jié)果后面不能寫(xiě)單位，如果單位不統(tǒng)一還要統(tǒng)一單位。
2.在列方程解應(yīng)用題時(shí)還可以通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖來(lái)分析數(shù)量關(guān)系，更形象地對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行分析，從而更易于得出等量關(guān)系。
（一）審：讀題。首先分析題目類(lèi)型，找出題中的基本量（一般是三個(gè)）、基本公式和變化過(guò)程，分清已知量、未知量及其關(guān)系，把不常見(jiàn)的題型轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)題型來(lái)處理；然后根據(jù)題中給出的過(guò)程或狀態(tài)（一個(gè)或兩個(gè)）找出題目中的等量關(guān)系（一個(gè)或兩個(gè)）。
經(jīng)常使用的分析方法：圖示法（線(xiàn)段型或框架型）或列表法。
（二）設(shè)：根據(jù)問(wèn)題設(shè)出未知數(shù)，注意把單位帶正確。通常有直接設(shè)法或間接設(shè)法，特殊的還可設(shè)輔助未知數(shù)。
（三）列：將等量關(guān)系中的每一個(gè)量都用題目中的已知數(shù)和設(shè)出的未知數(shù)表示出來(lái)（列代數(shù)式），根據(jù)等量關(guān)系列出方程。注意方程兩邊數(shù)值單位相同，意義相同。
（四）解：解方程（解法因題而異）。間接設(shè)的問(wèn)題及有多個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題不要有遺漏，緊扣題中所問(wèn)的問(wèn)題得出最終結(jié)果。
（五）驗(yàn)：檢驗(yàn)解方程的結(jié)果是否是方程的解；將解出的結(jié)果帶入題設(shè)的實(shí)際問(wèn)題情境進(jìn)行檢驗(yàn)。
（六）答：根據(jù)題中所問(wèn)寫(xiě)出回答，要完整準(zhǔn)確。
二、應(yīng)用題的基本類(lèi)型及應(yīng)注意的知識(shí)點(diǎn)
（一）行程問(wèn)題：基本量和基本公式：路程=速度×?xí)r間（設(shè)甲速大于乙速）。
1.相遇問(wèn)題：①同時(shí)不同地中的相等關(guān)系：甲所走路程+乙所走路程=甲乙之間的距離，甲行走的時(shí)間=乙行走的時(shí)間。②不同時(shí)不同地中的相等關(guān)系：甲所走路程+乙所走路程=甲乙之間的距離，甲行走的時(shí)間=乙行走的時(shí)間+乙先行走的時(shí)間。
2.追及問(wèn)題：①同時(shí)不同地中的相等關(guān)系：甲所走路程=乙所走路程+甲乙之間的距離，甲行走的時(shí)間=乙行走的時(shí)間。②同地不同時(shí)中的相等關(guān)系：甲所走路程=乙所走路程，甲行走的時(shí)間=乙行走的時(shí)間-乙先行走的時(shí)間。
3.環(huán)形問(wèn)題：①同向=追及，相等關(guān)系：甲所走路程=乙所走路程+1圈的路程。②異向=相遇，相等關(guān)系：甲所走路程+乙所走路程=1圈的路程。
4.航行問(wèn)題：相等關(guān)系：順?biāo)叫兴俣?靜水中航行速度+水流速度，逆水航行速度=靜水中航行速度-水流速度。
（二）工作量問(wèn)題（工作量未知或不可求）：基本量和基本公式工作量=工作效率×工作時(shí)間。
相等關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作量，甲的工作效率+乙的工作效率=甲乙合作的工作效率。
（三）配比問(wèn)題：相等關(guān)系：設(shè)每一份為x，則ax+bx+…=m。
（四）溶液?jiǎn)栴}：基本公式：溶液=溶質(zhì)+溶劑，溶液濃度=溶質(zhì)/溶液
相等關(guān)系：甲溶液所含溶質(zhì)+乙溶液所含溶質(zhì)=甲乙混合溶液所含溶質(zhì)，甲溶液重量+乙溶液重量=甲乙混合溶液重量。
（五）增長(zhǎng)率問(wèn)題：相等關(guān)系：a（1±x）2=m，a:基礎(chǔ)數(shù)，x：增長(zhǎng)率，n：時(shí)間，m：變化后量。
（六）儲(chǔ)蓄問(wèn)題：基本量和基本公式：本息和=本金+利息。
相等關(guān)系：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期數(shù)×（1-20%）。
列方程解應(yīng)用題的基本步驟是：審題，設(shè)元，組成代數(shù)式，找等量關(guān)系，建立方程，解方程和檢驗(yàn)并作答，其中最為關(guān)鍵的就是找出等量關(guān)系列方程. 因此，列方程解應(yīng)用題的思考方法，主要也就圍繞怎樣找出等量關(guān)系這一中心展開(kāi). 如何恰當(dāng)?shù)厥褂脠D示法、列表法、圖示列表法等思維方法來(lái)對(duì)實(shí)際問(wèn)題加以分析，成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 下面就自己的教學(xué)實(shí)際，結(jié)合實(shí)例介紹幾種列方程的思考方法.
一、圖示分析方法
例1 甲、乙兩人同向而行，甲在前300米，已知甲每分鐘走80米，乙每分鐘走100米，經(jīng)過(guò)幾分鐘乙可以追上甲？
分析 按照題意畫(huà)出圖形：
從圖中可以看到，乙從出發(fā)點(diǎn)到追上甲的地方所走的路程 = 甲從出發(fā)點(diǎn)到被乙追上的地方所走的路程與300米的和.
根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系就可以列方程.
解 設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘乙追上甲. 在這時(shí)間內(nèi)乙走100x米，甲走80x米. 根據(jù)等量關(guān)系“乙走的路程 = 甲走的路程 + 300米”，可以列出方程：
100x = 80x + 300.
解得：x = 15（分鐘）.
答：經(jīng)過(guò)15分鐘乙可以追上甲.
這種分析方法通過(guò)示意圖直觀形象地分析了數(shù)量關(guān)系，相等關(guān)系一目了然，抓住了問(wèn)題的關(guān)鍵，從而使列出方程變得容易掌握，使問(wèn)題得到順利解決. [1]
二、列表分析方法
例2 一個(gè)農(nóng)場(chǎng)的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)小隊(duì)收割小麥，甲隊(duì)收小麥56000公斤，乙隊(duì)收小麥43200公斤，已知乙隊(duì)的麥田比甲隊(duì)少40畝，但平均產(chǎn)量比甲隊(duì)每畝多收100公斤，求每隊(duì)的麥田的畝數(shù)和每畝的平均收獲量.
分析 基本數(shù)量關(guān)系：
總收獲量 = 每畝平均產(chǎn)量 × 畝數(shù).
總收獲量：
甲隊(duì)：56000公斤――已知量，
乙隊(duì)：43200公斤――已知量，
每畝平均產(chǎn)量：
甲隊(duì)：未知量，
乙隊(duì)：未知量，比甲隊(duì)多100公斤.
畝數(shù)：
甲隊(duì)：未知量，
乙隊(duì)：未知量，比甲隊(duì)少40畝.
如果設(shè)甲隊(duì)有畝，甲隊(duì)每畝平均產(chǎn)量為y公斤，那么乙隊(duì)的每畝平均產(chǎn)量及畝數(shù)都可以用x，y的代數(shù)式表示出來(lái)，把它們列成下表：
根據(jù)基本關(guān)系式，即可列出方程組.
解 設(shè)甲隊(duì)有麥田x畝，每畝麥?zhǔn)整測(cè)公斤，那么乙隊(duì)的麥畝有（x - 40）畝，每畝收麥為（y + 100）公斤. 根據(jù)題意，列出下面方程組：xy = 56000，（x - 40）（y + 100） = 43200.
整理后，得xy = 56000，xy + 100x - 40y = 47200.
以（3）代入（1），化簡(jiǎn)得x2 + 88x - 22400 = 0.（4）
由（4）、（3）得原方程組的解是：x1 = 112，y1 = 500. x2 = -200（不合題意舍去）.
當(dāng)x = 112時(shí)，x - 40 = 72；當(dāng)y = 500時(shí)，y + 100 = 600.
答：甲隊(duì)有麥田112畝，乙隊(duì)有麥田72畝；甲隊(duì)每畝平均收小麥500公斤，乙隊(duì)每畝平均收小麥600公斤.
可見(jiàn)列表分析法的特點(diǎn)是用列表的形式表示數(shù)量關(guān)系，找出應(yīng)用題中等量關(guān)系的思考方法，就顯得簡(jiǎn)明快捷，是一種特殊分析法.
三、圖示列表綜和分析方法
例3 甲、乙兩站間的路程為360 km. 一列慢車(chē)從甲站開(kāi)出，每小時(shí)行駛48 km；一列快車(chē)從乙站開(kāi)出，每小時(shí)行駛72 km.
（1）兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出，相向而行，多少小時(shí)相遇？
（2）快車(chē)先開(kāi)25分，兩車(chē)相向而行，慢車(chē)行駛了多少小時(shí)兩車(chē)相遇？（見(jiàn)原通用教材）[2]
分析 基本數(shù)量關(guān)系：
慢車(chē)行程 + 快車(chē)行程 = 兩站路程 ③
（1）設(shè)兩車(chē)行駛了x小時(shí)相遇，再分析相等關(guān)系③的左邊和右邊，便可得到下表：
這個(gè)表可以用圖4-3（1）這樣的示意圖表示出來(lái).
解 （1）設(shè)兩車(chē)行駛了x小時(shí)相遇，那么慢車(chē)行駛了48 km，快車(chē)行駛了72 km. 根據(jù)題意，得48x + 72x = 360.
解這個(gè)方程：120x = 360，x = 3.
答：兩車(chē)行駛了3小時(shí)相遇.
一、“列”中隱含有“解”，在解中發(fā)掘隱含的等量關(guān)系
對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用題，不能認(rèn)為只要“列”出方程式或方程式組就行了，而忽視對(duì)它的解。事實(shí)上，列方程固然重要，但解方程重要性并不遜色于列方程，許多隱含的等量關(guān)系就是在解方程的過(guò)程中啟示我們而獲得的。
例：從甲站到乙站有150千米，一列快車(chē)和一列慢車(chē)同時(shí)從甲站開(kāi)出，1小時(shí)后，快車(chē)超過(guò)慢車(chē)12千米，快車(chē)到達(dá)乙站后25分鐘之后，慢車(chē)也到達(dá)乙站。問(wèn)：快車(chē)和慢車(chē)每小時(shí)各行多少千米？
解析：設(shè)慢車(chē)每小時(shí)X千米，則快車(chē)每小時(shí)走x+12千米。
依題意得：150/x-150/（x+12）=25/60
解方程得：x=60
快車(chē)的速度則為60+12=72
在求解的過(guò)程中，我們可以發(fā)掘到以下三對(duì)等量關(guān)系：一是快車(chē)和慢車(chē)所走的路程相等，二是慢車(chē)的速度加12與快車(chē)的速度相等，三是快車(chē)的行駛時(shí)間加25分鐘與慢車(chē)的行駛時(shí)間相等。以據(jù)這三對(duì)等量關(guān)系，還可以把快車(chē)的速度設(shè)為y，列成方程組。依據(jù)三對(duì)等量關(guān)系，列出三個(gè)方程式，都可以達(dá)到解題的目的，從而開(kāi)闊了學(xué)生的思路，達(dá)到了舉一凡三的教學(xué)效果?？梢?jiàn)“列”中隱含有“解”，而“解”又啟發(fā)著我們的“列”。
二、“解”中孕育著“列”，在列中尋求最簡(jiǎn)單的方程式
解題就是解決矛盾，矛盾的轉(zhuǎn)化是現(xiàn)實(shí)世界的普遍規(guī)律。通過(guò)“解”與“列”，的轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題獲得最佳解法，是求解應(yīng)用題常用的數(shù)學(xué)思想方法。
例：一個(gè)水池有甲乙兩個(gè)進(jìn)水管，甲管注滿(mǎn)水池比乙管快15小時(shí)，如果單獨(dú)開(kāi)放甲管10小時(shí)，再單獨(dú)開(kāi)放乙管30個(gè)小時(shí)，則可注滿(mǎn)水池，求單獨(dú)開(kāi)放一個(gè)水管，甲乙兩個(gè)水管各需多長(zhǎng)時(shí)間才能把水池注滿(mǎn)？
解析：設(shè)：?jiǎn)为?dú)開(kāi)放乙管注滿(mǎn)水池需要x小時(shí)，則甲注滿(mǎn)水池需x-15個(gè)小時(shí)
由題意得方程：
10/（x-15）+30/x=1
解得
x1=10（不合題目意舍）
x2=45
x-15=30
乙注滿(mǎn)水池需45個(gè)小時(shí)，則甲注滿(mǎn)水池需30個(gè)小時(shí)。
該題也可以列成方程式組求解，但相對(duì)來(lái)說(shuō)列成上面的方程式進(jìn)而求解，最為簡(jiǎn)單易懂，老師易教，學(xué)生易懂。
三、設(shè)而不求，巧列中蘊(yùn)含巧解
任何一道應(yīng)用題總包含著一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系，要解決宏觀世界必須對(duì)題目本身進(jìn)行具體、深入、透徹的分析，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，合理的選擇未知數(shù)。同時(shí)要善于在列方程中發(fā)揮“過(guò)度未知數(shù)”的作用，設(shè)而不求，從而使復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，陌生的問(wèn)題變得熟悉，使問(wèn)題得到巧解。
例：有大小兩種貨車(chē)，2輛大車(chē)和3輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨15.5噸，5輛大車(chē)與6輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨35噸，求3輛大車(chē)與5輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨多少?lài)崳?/p>
解析：若直接設(shè)一次可以運(yùn)貨x噸，則列方程較為繁難，而若設(shè)一輛大車(chē)一次可以運(yùn)貨x噸，一輛小車(chē)一次可運(yùn)貨y噸，則依題意可得方程組：4x+6y=15.5；5x+6y=35
在解題的過(guò)程中，常用的解法是先分別求出x、y 的值，再進(jìn)而求出3輛大車(chē)和5輛小車(chē)的運(yùn)貨量，但由于本題要求的結(jié)果就是（3x+5y）的值，因此我們不必去分別求x、y的具體值，這就是設(shè)而不求，而是巧妙的采用從整體著眼的思想，直接求出其結(jié)果，這樣就有了下面的巧解：
方程式1*7-方程式2，得方程式3：9x+15y=73.5
方程式3/3，得3x+5y=22.4
從學(xué)習(xí)具體的、確定的算術(shù)數(shù)，到學(xué)習(xí)用抽象的字母表示數(shù)；從列算式到列方程；從應(yīng)用題的算術(shù)解法到方程解法，每一步都有轉(zhuǎn)折，都要有過(guò)渡。所以在低年級(jí)要提前做好鋪墊，以轉(zhuǎn)折為契機(jī)，使學(xué)生在認(rèn)識(shí)上與方法上都能上升一個(gè)等次。教師只要細(xì)心研讀教材，就會(huì)發(fā)現(xiàn)在低年級(jí)教材中已經(jīng)大量滲透代數(shù)思想。比如求未知加減乘除這樣類(lèi)型的題目：有7個(gè)橡皮，再放幾個(gè)，就有11個(gè)？在允許學(xué)生充分表達(dá)自己的想法后，引導(dǎo)學(xué)生列出這樣的等式：7+？=11。教師借助實(shí)物或圖片把11個(gè)橡皮分成7個(gè)與4個(gè)，等式就變成：7+？=7+4。教師一定要充分利用了教材中的有效例子，為學(xué)生創(chuàng)造“倒著想”的機(jī)會(huì)，讓“=”在學(xué)生的頭腦中變成“雙向”的，這樣潛移默化地就把代數(shù)思想和算術(shù)思維有機(jī)地結(jié)合在一起，學(xué)生思考問(wèn)題的方式從單一走向多元，打破了傳統(tǒng)的單一計(jì)算的思維格局。
二、中年級(jí)重視指導(dǎo)，培養(yǎng)實(shí)際解題能力
1.培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建代數(shù)式的能力
根據(jù)提供的已知條件，學(xué)生能夠正確迅速列出代數(shù)式，這是列方程解應(yīng)用題的基礎(chǔ)。小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以嘗試以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為中介對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，把日常語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，強(qiáng)化構(gòu)建代數(shù)式的能力。比如：“男生比女生的2倍少12人”，先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言“比某數(shù)的2倍少12”，再轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，“2x-12”。這樣2次轉(zhuǎn)化的實(shí)際意義就是學(xué)生理解每個(gè)代數(shù)式都有其實(shí)際意義，這樣就能夠解決了設(shè)哪個(gè)未知量為X的難題，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。
2.培養(yǎng)學(xué)生尋找等量關(guān)系的能力
分析數(shù)量關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵。因此在教學(xué)中著力培養(yǎng)學(xué)生尋找等量關(guān)系的能力是列方程解應(yīng)用題教學(xué)的重點(diǎn)。比如較為常見(jiàn)的是利用線(xiàn)段圖尋找等量關(guān)系。通過(guò)找線(xiàn)段圖，能夠比較形象地畫(huà)出和理清題目中的等量關(guān)系。比如：
小王和小張相約到公園，兩人以不同的方式出發(fā)，經(jīng)過(guò)45分鐘相遇。已知兩人相距10千米，小王乘坐的公交車(chē)每小時(shí)行30千米，小張開(kāi)電瓶車(chē)每小時(shí)行多少千米？解這樣的題目首先要設(shè)小張開(kāi)電瓶車(chē)每小時(shí)行X千米。通過(guò)分析，不難看出多種等量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)線(xiàn)段圖，列方程所必須的條件很快呈現(xiàn)在學(xué)生面內(nèi)，學(xué)生的視覺(jué)也參與了解題過(guò)程，最大的好處就是避免了失誤。看了線(xiàn)段圖后，學(xué)生很容易從6個(gè)等量關(guān)系中找出“公交車(chē)的路程+電瓶車(chē)的路程=總路程”這一等量關(guān)系，并列出相應(yīng)的“0.75×30+0.75X=10”方程。這個(gè)例子也充分證明線(xiàn)段圖在列方程解決問(wèn)題中的實(shí)際效用，當(dāng)然還有其他的方法，目的也就是使得抽象的問(wèn)題能夠更加具體。
3.訓(xùn)練學(xué)生列方程和解方程的能力
列方程解應(yīng)用題常見(jiàn)的有綜合法和分析法兩種方法，都要和等量關(guān)系緊密結(jié)合。綜合法列方程是常見(jiàn)的列方程的方法，首先假設(shè)題目中某一未知數(shù)為x，根據(jù)這個(gè)數(shù)與題目中其他的已知數(shù)、未知數(shù)的關(guān)系，列出相應(yīng)的代數(shù)式，然后再找出等量關(guān)系，最后就可以列出方程，也就是用“=”連接有這個(gè)等量關(guān)系的代數(shù)式。分析法列方程首先要求學(xué)生能夠找出題目中最明顯的兩個(gè)等量關(guān)系，然后再分析這兩個(gè)量分別與其他已知數(shù)、未知數(shù)的關(guān)系，再進(jìn)一步推導(dǎo)出最后一個(gè)未知數(shù)關(guān)系，即假設(shè)此未知數(shù)為x，帶進(jìn)上式的關(guān)系中，就能夠得到兩個(gè)相等的代數(shù)式，方程也能夠列出。因此，找準(zhǔn)等量關(guān)系在列方程解應(yīng)用題中有著非常重要的作用。在實(shí)際解方程時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生充分利用等式的性質(zhì)，這樣就能夠提高解方程的正確率。學(xué)生一旦掌握了列方程和解方程的方法，自然也就消除做這類(lèi)題目的障礙，做題目的成功，也能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
三、高年級(jí)對(duì)比強(qiáng)化，感受方程解題的優(yōu)越性
教學(xué)難點(diǎn)
通過(guò)復(fù)習(xí)，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確的找出題目中的等量關(guān)系．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備．
1．求未知數(shù)．
×＝
－＝
÷＝1
－＝
÷＝1
－＝
解方程求方程的解的格式是什么？
2．找出下列應(yīng)用題的等量關(guān)系．
①男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍．
②梨樹(shù)比蘋(píng)果樹(shù)的3倍少15棵．
③做8件大人衣服和10件兒童衣服共用布31.2米．
④把兩根同樣的鐵絲分別圍成長(zhǎng)方形和正方形．
我們今天就復(fù)習(xí)運(yùn)用題目中的等量關(guān)系解題．（板書(shū)：列方程解應(yīng)用題）
二、復(fù)習(xí)探討．
（一）教學(xué)例3．
一列火車(chē)以每小時(shí)90千米的速度從甲站開(kāi)往乙站，同時(shí)有一列貨車(chē)以每小時(shí)75千米的速度從乙站開(kāi)往甲站，經(jīng)過(guò)4小時(shí)相遇，甲乙兩站的鐵路長(zhǎng)多少千米？
1．讀題，學(xué)生試做．
2．學(xué)生匯報(bào)（可能情況）
（1）（90＋75）×4
提問(wèn)：90＋75求得是什么問(wèn)題？再乘4求的是什么？
（2）90×4＋75×4
提問(wèn)：90×4與75×4分別求的是什么問(wèn)題？
（3）÷4＝90＋75
提問(wèn)：等號(hào)左邊表示什么？等號(hào)右邊表示什么？對(duì)不對(duì)？為什么？
（4）÷4－75＝90
提問(wèn)：等號(hào)左邊表示什么？等號(hào)右邊表示什么？對(duì)不對(duì)？為什么？
（5）÷4－90＝75
提問(wèn)：等號(hào)左邊表示什么？等號(hào)右邊表示什么？對(duì)不對(duì)？為什么？
3．討論思考．
（1）用方程解這道應(yīng)用題，為什么你們認(rèn)為這三種方法都正確？
（等號(hào)的左右表示含義相同）
（2）列方程解應(yīng)用題的特點(diǎn)是什么？
兩點(diǎn)：
變未知條件為已知條件，同時(shí)參加運(yùn)算；
列出的式子為含有未知數(shù)的等式，并且左右表示的數(shù)量關(guān)系一致
（3）怎樣判定用方程解一道應(yīng)用題是否正確？（方程的左右是否為等量關(guān)系）
4．小結(jié)．
（1）小組討論：用方程解應(yīng)用題和用算術(shù)方法解應(yīng)用題，有什么不同點(diǎn)？
（2）小組匯報(bào)：
①算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)，未知數(shù)為特殊地位，不參加運(yùn)算；用方程解應(yīng)用題時(shí)，未知數(shù)與已知數(shù)處于平等地位，可以參加列式．
②算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)，需要根據(jù)題意分析數(shù)量關(guān)系，列出用已知條件表示求未知數(shù)的量；用方程解應(yīng)用題時(shí)，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，列出的是含有未知數(shù)的等式．
（二）變式反饋：根據(jù)題意把方程補(bǔ)充完整．
1．甲乙兩站之間的鐵路長(zhǎng)660千米．一列客車(chē)以每小時(shí)90千米的速度從甲站開(kāi)往乙站，同時(shí)有一輛貨車(chē)以每小時(shí)75千米的速度從乙站開(kāi)往甲站．經(jīng)過(guò)多少小時(shí)兩車(chē)相遇？
2．甲乙兩站之間的鐵路長(zhǎng)660千米．一列客車(chē)從甲站開(kāi)往乙站，同時(shí)有一輛貨車(chē)從乙站開(kāi)往甲站．經(jīng)過(guò)4小時(shí)兩車(chē)相遇，客車(chē)每小時(shí)行90千米，貨車(chē)每小時(shí)行多少千米？
教師提問(wèn)：這兩道題有什么聯(lián)系？有什么區(qū)別？
三、鞏固反饋．
1．根據(jù)題意把方程補(bǔ)充完整．
（1）張華借來(lái)一本116頁(yè)的科幻小說(shuō)，他每天看頁(yè)，看了7天后，還剩53頁(yè)沒(méi)有看．
_____________＝53
_____________＝116
（2）媽媽買(mǎi)來(lái)3米花布，每米9.6元，又買(mǎi)來(lái)元毛線(xiàn)，每千克73.80元．一共用去139.5元．
_____________＝139.5
_____________＝9.6×3
（3）電工班架設(shè)一條全長(zhǎng)米長(zhǎng)的輸電線(xiàn)路，上午3小時(shí)架設(shè)了全長(zhǎng)的21，下午用同樣的工效工作1小時(shí)，架設(shè)了280米．
_____________＝280×3
2．解應(yīng)用題．
東鄉(xiāng)農(nóng)業(yè)機(jī)械廠有39噸煤，已經(jīng)燒了16天，平均每天燒煤1.2噸．剩下的煤如果每天燒1.1噸，還可以燒多少天？
小結(jié)：根據(jù)同學(xué)們的不同方法，我們需要具體問(wèn)題具體分析，用哪種方法簡(jiǎn)便就用哪種方法．
3．思考題．
甲乙兩個(gè)港相距480千米，上午10時(shí)一艘貨船從甲港開(kāi)往乙港，下午2時(shí)一艘客船從乙港開(kāi)往甲港．客船開(kāi)出12小時(shí)后與貨船相遇．如果貨船每小時(shí)行15千米．客船每小時(shí)行多少千米？
四、課堂總結(jié)．
通過(guò)今天的復(fù)習(xí)，你有什么收獲？
五、課后作業(yè)．
1．師傅加工零件80個(gè)，比徒弟加工零件個(gè)數(shù)的2倍少10個(gè)．徒弟加工零件多少個(gè)？
2．徒弟加工零件45，比師傅加工零件個(gè)數(shù)的多5個(gè)．師傅加工零件多少個(gè)？
六、板書(shū)設(shè)計(jì)
解一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟可分為“審、找、列、解、答”五步驟。
（1）審，即審題。在應(yīng)用題教學(xué)中，學(xué)生要想正確、快速地解答應(yīng)用題，必須要掌握科學(xué)的審題方法。首先要仔細(xì)讀題，吸收題設(shè)中的信息，去粗取精，把具有一定意義的關(guān)鍵詞、句、式找出來(lái)，細(xì)細(xì)品讀，認(rèn)真分析，深入挖掘隱含的信息，捕捉題目中的數(shù)量關(guān)系。其次要抽象數(shù)學(xué)模型，將題目類(lèi)型化。數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題千變?nèi)f化，教師要引導(dǎo)對(duì)題目進(jìn)行分析、概括、抽象，將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題。針對(duì)利率、工程、行程等不同問(wèn)題構(gòu)建不同的數(shù)學(xué)模型，如本息和=本金×（1+利率），工作量=工作時(shí)間×工作效率，路程=速度×?xí)r間。
（2）找，找相等關(guān)系。
①應(yīng)用圖式找相等關(guān)系
圖式是圍繞某一主題，用知識(shí)結(jié)構(gòu)和框架的形式事物間的關(guān)系，它是對(duì)一類(lèi)事物的抽象概括，可以用來(lái)組織零散的信息和數(shù)據(jù)。使用圖式解決問(wèn)題，將人置身于問(wèn)題情境，通過(guò)感官接收信息，經(jīng)過(guò)過(guò)濾、分析、加工，尋求問(wèn)題的本質(zhì)。
例如，某商場(chǎng)五月份的銷(xiāo)售額為300萬(wàn)元，六月份的銷(xiāo)售額下降了10%，商場(chǎng)從七月份開(kāi)始改變了營(yíng)銷(xiāo)策略，銷(xiāo)售額穩(wěn)步上升，八月份的銷(xiāo)售額達(dá)到了330.75萬(wàn)元，求這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率。
通過(guò)圖表可以看出：六月份=300×（1―10%），七月份=六月份×（1+x），八月份：七月份×（1+x）=550.75
②應(yīng)用表格找相等關(guān)系
教師可以借助二維表格來(lái)收集和提煉信息，使復(fù)雜的數(shù)據(jù)關(guān)系能清晰直觀地顯示出來(lái)。表格從形式上看整齊規(guī)范，從內(nèi)容上看數(shù)據(jù)對(duì)比一目了然，適用于行程、工程、濃度等問(wèn)題。如李明同學(xué)將1000元壓歲錢(qián)第一次按一年定期存入銀行（教育儲(chǔ)蓄，免稅），到期后將本金和利息取出，并取其中的500元捐給希望工程，剩余的又全部按一年期存入，此時(shí)存款利率上調(diào)至第一次年利率的120%，這樣到期后，可得本息和540.75元，求第一次存款時(shí)的年利率。
本 金 利 息 本息和
第一年 1000 1000x 1000×(1+x)
第二年 1000×(1+x)―500，即500+1000x （500+1000x）×（1+1.2x） 540.75
通過(guò)表格可以看出：第二年本金+第二年利息=第二年本息和
（3）列，列方程。根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出代數(shù)式，進(jìn)而列出方程。
（4）解，解方程。解這個(gè)方程，求未知數(shù)的值。解一元二次方程的方法一般有直接開(kāi)方法、配方法、公式法、因式分解法，可以根據(jù)實(shí)際情況選擇最簡(jiǎn)單的方法。
（5）答。要對(duì)求出的解作出是否正確、合理的判斷，要判斷根是否準(zhǔn)確，是否符合實(shí)際意義。如一塊長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)是寬的2倍，四角各截去一個(gè)正方形，制成高是5cm，容積是500cm3的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器。求這塊鐵皮的長(zhǎng)和寬。設(shè)該鐵皮的長(zhǎng)為x，列方程（x-10）×(2x-10) ×5=500 解得x1=15，x2=0。顯然0不合題意，舍去。經(jīng)判斷后，選擇合適的答案作答。
二、一元二次方程應(yīng)用題例析。
1、增長(zhǎng)率問(wèn)題。市政府為解決市民看病難的問(wèn)題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格。某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后，由每盒250元下調(diào)至160元，則這種藥品平均每次降價(jià)的百分率是多少？
[分析]：一元二次方程一般涉及到兩次增長(zhǎng)率的問(wèn)題，第二次看作是在第一次基礎(chǔ)上的增長(zhǎng)。設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則有250（1―x）2=160
2、定價(jià)類(lèi)問(wèn)題。某商店以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，若每?jī)r(jià)商品售價(jià)m元，則可賣(mài)出（320―10m）件，但物價(jià)局限定商品的利潤(rùn)不得超過(guò)20%，商品計(jì)劃要盈利270元，需要進(jìn)貨多少件？每件商品應(yīng)定價(jià)多少？
[分析]：在此題中，每件銷(xiāo)售可盈利（m―20）元，則銷(xiāo)售利潤(rùn)為（m―20）（32―10m）元，則可列出方程（m―20）（32―10m）=270，解得x1=23，x2=29（超過(guò)20%利潤(rùn)，舍去）
3、行程類(lèi)問(wèn)題。A、B兩地相距36km，甲騎自行車(chē)由A向B出發(fā)，40分鐘后，乙以每小時(shí)比甲快2km的速度騎自行車(chē)由B向A出發(fā)，兩人在距離B點(diǎn)16km處相遇，問(wèn)甲、乙的速度各是多少？
[分析]：行程類(lèi)問(wèn)題包括相遇、追擊、環(huán)形跑道等內(nèi)容，基本數(shù)量關(guān)系為行程=速度×?xí)r間。此題屬相遇類(lèi)題目，兩人的行程和等于總路程，甲的時(shí)間=乙的時(shí)間+ 小時(shí)，設(shè)甲的速度為xkm/h，則乙的速度為（x+2）km/h。由此列出方程： ，解得x1=10，x2=―6（不合題意，舍去）。乙的速度為：x+2=12km/h
4、面積問(wèn)題。某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)16米），另三邊用木欄圍成，木欄長(zhǎng)35m。如果雞場(chǎng)的面積是150m2，請(qǐng)問(wèn)雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各是多少？
[分析]：面積類(lèi)問(wèn)題隱含著面積計(jì)算問(wèn)題，如長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬。木欄圍成長(zhǎng)方形的長(zhǎng)×寬=150，設(shè)靠墻的一邊長(zhǎng)為xm（0
在邊遠(yuǎn)落后的山區(qū)，數(shù)學(xué)老師有著共同的感受，低年級(jí)學(xué)生大部分喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，高年級(jí)學(xué)生大部分厭倦數(shù)學(xué)，隨著年級(jí)的升高喜歡數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能輕松學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生越來(lái)越少。這種現(xiàn)象是什么原因?qū)е碌哪兀窟@是因?yàn)槟昙?jí)越高，數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題越多，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的智力和思維能力，分析能力要求越高，要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須突破列方程這道難關(guān)，要突破這難關(guān)，學(xué)生不僅需要堅(jiān)實(shí)的的知識(shí)基礎(chǔ)，而且更重要的是，需要學(xué)生具有與之相適應(yīng)的理解問(wèn)題，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。要具備這些能力，不僅需要學(xué)生狠下功夫，多花時(shí)間主動(dòng)去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而且需要老師具有科學(xué)性的教學(xué)方法。為了提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，教師應(yīng)該設(shè)法誘導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生積極地主動(dòng)地去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。三十年來(lái)，我在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)過(guò)程中采用了以下教法，收到了較好的教學(xué)效果。
1.實(shí)際問(wèn)題中常見(jiàn)的等量關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的印象
由于學(xué)生往往對(duì)實(shí)際問(wèn)題的理解力不夠強(qiáng)，所以在列方程時(shí)往往感覺(jué)十分困難。因此，在進(jìn)行應(yīng)用題教學(xué)時(shí)結(jié)合舉例，不斷總結(jié)實(shí)際問(wèn)題中常見(jiàn)的基本等量關(guān)系，使學(xué)生更加熟悉和掌握。例如：
百分?jǐn)?shù)問(wèn)題：分量／總量＝百分?jǐn)?shù)
行程問(wèn)題（勻速）：路程＝速度×?xí)r間
工程問(wèn)題：工程總量＝工作效率×工作時(shí)間
常見(jiàn)的平面圖形，幾何體的面積，體積公式。
溶液稀釋問(wèn)題：溶質(zhì)＝溶液×濃度等
由基本的等量關(guān)系，加以變形，可以得到相應(yīng)的其它等量關(guān)系，例如：由工程問(wèn)題的基本等量關(guān)系：工作總量＝工作效率×工作時(shí)間，可得：工作效率＝工作總量／工作時(shí)間，工作時(shí)間＝工作總量／工作效率等等量關(guān)系。對(duì)于常見(jiàn)的基本等量關(guān)系，要讓學(xué)生真正理解它們的數(shù)學(xué)意義，設(shè)法防止死記硬套。
2.將代數(shù)解法與算術(shù)解法作比較
讓學(xué)生了解代數(shù)解法的基本思路和優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)了解一題多解的意義，引導(dǎo)學(xué)生理解列方程解應(yīng)用題的過(guò)程就是要把問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，平鋪直敘，直截了當(dāng)?shù)赜玫仁奖硎境鰜?lái)，在代數(shù)解法中可以運(yùn)用方程的同解原理進(jìn)行變形來(lái)實(shí)現(xiàn)應(yīng)用題的解決。
3.抓住數(shù)量關(guān)系及列方程兩個(gè)關(guān)鍵進(jìn)行教學(xué)
列方程解應(yīng)用題一般需突破以下兩點(diǎn)：一是設(shè)所求量為未知數(shù)X，并把其它的未知量用X的代數(shù)式表示出來(lái)；二是識(shí)別反映等量關(guān)系的語(yǔ)言，以此尋求題中的等量關(guān)系，并選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)量關(guān)系，簡(jiǎn)便地列出方程。如何突破以上兩點(diǎn)呢？從實(shí)踐的角度看，在應(yīng)用題教學(xué)中要緊緊抓住分析數(shù)量關(guān)系和列方程這兩個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。
例如：從A地到B地有142千米，一人步行從A地到B地每小時(shí)走24千米；此人走了半小時(shí)后，另一人從B地跑步向A地每小時(shí)35千米，跑步的人幾小時(shí)后與步行的人相遇？
此題應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生按下列步驟進(jìn)行。
第一步：教師和生一起分析題上的已知量和未知量，并用已知量和未知量列出有關(guān)代數(shù)式：
A、B兩地的路程142千米。
步行人速度為24千米／小時(shí)。
步行人先走1／2小時(shí)
跑步的人速度為35千米／小時(shí)。
所求跑步人的時(shí)間為X小時(shí)。
第二步，結(jié)合圖例，把能夠?qū)С龅臄?shù)量用已知量未知量表示出來(lái)，其中提示學(xué)生注意運(yùn)用行程問(wèn)題的基本等量關(guān)系，路程＝速度×?xí)r間。
圖例：
結(jié)合圖例，很容易列出有關(guān)代數(shù)式：
步行人所用時(shí)間（X+12）小時(shí)；
步行人行程24 （X+12）千米；
跑步人行程35X千米；
第三步：分析等量關(guān)系，結(jié)合圖例列出方程：
由圖例明顯有：
全程＝跑步人行程+步行人行程，相應(yīng)的方程為：
142=35X+24(X+12)（1）
跑步人時(shí)間＝跑步人行程／跑步速度相應(yīng)方程為：
X＝35X－24(X+12)35（2）
步行人時(shí)間＝步行人行程/步行速度，相應(yīng)方程為：
X＝142－35X－24×12)24（3）
這樣從所列的方程：（1）、（2）、（3）都可以求出跑步人的時(shí)間，但通過(guò)比較可指出方程（1）簡(jiǎn)單。
但是有的學(xué)生在列方程（2）或（3）時(shí)，列出了下面的議程：X=35X/35或X＝24X/24這是一個(gè)恒等式，求不出確定的解，對(duì)此，應(yīng)向?qū)W生指出產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是：在路程，速度和時(shí)間的關(guān)系上，如果有兩個(gè)未知數(shù)，就無(wú)法通過(guò)“路程＝速度×?xí)r間“求得確定的解。只有當(dāng)把其中的一個(gè)未知量，借助其它的等量關(guān)系與另外的已知量有了聯(lián)系時(shí)，才能列出方程求得方程的解。例如，在上述列出的方程（2）中，是借助（1）的等量關(guān)系列出跑步人的
行程142－24（X+12）的。這樣就使跑步人的行程與已知數(shù)142有了密切的聯(lián)系，所以可求出方程（2）的解。
另外，從這一實(shí)例還可以看出，在列方程解應(yīng)用題時(shí)，因?yàn)轭}目中常含有多個(gè)未知量，并且同一種等量關(guān)系往往可變化為其它的具體形態(tài)。因此，解題的方法多種多樣，但對(duì)于落后山區(qū)初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，除了在解法上費(fèi)精力下功夫外，還要把教學(xué)重點(diǎn)放在掌握列方程解應(yīng)用題的一般的思想方法和步驟上。
4.要通過(guò)舉例總結(jié)出列方程解應(yīng)用題的一般步驟，讓學(xué)生加深理解，深化應(yīng)用
4.1 審題，弄清題意，已知什么？要求什么？各量之間有著什么樣的等量關(guān)系？
4.2 設(shè)定未知量，導(dǎo)出其它未知量的代數(shù)表達(dá)式。設(shè)未知量的方法有兩種，一種是直接法，即把所求量設(shè)為未知數(shù)；另一種是間接法，即把和所求量相關(guān)的量設(shè)為未知數(shù)。
4.3 找出適當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系，列出方程。
列方程解應(yīng)用題要做到“一讀、二找、三列、四解、五檢驗(yàn)、六答、”?！耙蛔x”就是讀懂題意，確定哪個(gè)未知量用x表示；“二找”就是找準(zhǔn)主要一等量關(guān)系；“三列”就是根據(jù)找到的等量關(guān)系列方程；“四解”就是解方程，求出未知數(shù)x的值；“五檢驗(yàn)”就是把x的值代入原方程，看方程左右兩邊是否相等；“六答”就是寫(xiě)出答案。在這六步中，“二找”，也就是找準(zhǔn)主要等量關(guān)系非常重要，是方程解應(yīng)用題的關(guān)健。列方程解應(yīng)用題問(wèn)題時(shí)，比較困難的一環(huán)常常是同學(xué)們不知
如何著手去找等量關(guān)系。又由于應(yīng)用問(wèn)題類(lèi)型繁多，等量關(guān)系千變?nèi)f化，什么工程問(wèn)題，行程問(wèn)題，濃度問(wèn)題，等等。那么根據(jù)什么原則來(lái)找出應(yīng)用問(wèn)題中的等量關(guān)系、列出方程呢？下面我根據(jù)多年從教總結(jié)出來(lái)的經(jīng)驗(yàn)來(lái)談?wù)勔韵聨追N找等量關(guān)系的途徑，供同學(xué)們參考。
一、根據(jù)關(guān)鍵字或關(guān)鍵詞找出具有相等關(guān)系的語(yǔ)句直接寫(xiě)出等量關(guān)系
經(jīng)常見(jiàn)到的具有相等意義量的詞有：是、比、當(dāng)然，像“一樣”“相等”“同樣”等直觀意義的詞更容易找出。正確分析這些關(guān)鍵詞所表示的具體含義是找出等量相等關(guān)系的關(guān)健。
列1：甲隊(duì)有32人，乙隊(duì)有28人，如果要使甲隊(duì)人故是乙隊(duì)人數(shù)的2倍，那么需從乙隊(duì)抽調(diào)多少人到甲隊(duì)？
分析：在本題中抓住“是”字便可發(fā)現(xiàn)相等關(guān)系：抽調(diào)后甲隊(duì)人數(shù)=抽調(diào)后乙隊(duì)人數(shù)×2，即這個(gè)“是”字便充當(dāng)了等號(hào)的角色。
評(píng)注：在解答應(yīng)用題時(shí)，若題目中出現(xiàn)諸如“幾倍、共、多、少、快、慢、提前、超過(guò)、增加、相差”等關(guān)鍵詞語(yǔ)時(shí)，應(yīng)抓住它們進(jìn)行分析，以使相等關(guān)系顯現(xiàn)出來(lái)。
二、運(yùn)用公式或定義式作為等量關(guān)系
我們學(xué)過(guò)的公式或定義式有許多，如：時(shí)間×速度=路程，單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，工作效率×工作時(shí)間=工作總量等，以及大量的面積、周長(zhǎng)、體積計(jì)算公式。但是，單單掌握這些還不夠，我們要學(xué)會(huì)“舉一反三”，由每個(gè)公式都能退出它的任意兩種變形式，如由公式：時(shí)間×速度=路程，應(yīng)能退出：路程÷時(shí)間=速度，路程÷速度=時(shí)間，這樣我們才能說(shuō)真正掌握了這個(gè)公式。
例2：商店對(duì)某種商品調(diào)價(jià)，按原價(jià)的8折出售，此時(shí)商品的利潤(rùn)率是10%，此商品的進(jìn)價(jià)為1600元，商品的原價(jià)是多少元？
分析：根據(jù)公式，商品利潤(rùn)率=商品利潤(rùn)÷商品進(jìn)價(jià)，
可得相等關(guān)系：10%=調(diào)價(jià)后的利潤(rùn)÷1600.
評(píng)注：解答應(yīng)用題時(shí)，要注意分析找出不變量，即相等變量，如：兩人由兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，相遇前的時(shí)間相等；等體積變形種的體積不變。
例3：初一2班第一小組同學(xué)同學(xué)去蘋(píng)果園參加勞動(dòng)，休息時(shí)工人師傅摘蘋(píng)果分給同學(xué)，若每人3個(gè)還剩9個(gè)，若每人5個(gè)還有一個(gè)人分4個(gè)，試問(wèn)第一小組有多少同學(xué)，共摘了多少個(gè)蘋(píng)果？
分析：再次問(wèn)題中蘋(píng)果總數(shù)是不變的量，設(shè)第一小組x個(gè)學(xué)生那么蘋(píng)果數(shù)目可以用（3x+9）表示，也可以用5x-（5-4）來(lái)表示。從而可以得出變量關(guān)系
3x+9=5x-（5-4）來(lái)表示。從而可以得出變量關(guān)系3x+9=5x-（5-4）。
評(píng)注：此方法常用于解決方案類(lèi)型的題目，題中明顯的關(guān)鍵詞為“若”（或它的同義詞）。此類(lèi)題一般有兩套方案，不同方案中大部分?jǐn)?shù)據(jù)也不同，而我們要做的就是找出在兩種方案中沒(méi)有變動(dòng)的數(shù)據(jù)，也就是不變量，從而列出等量關(guān)系。類(lèi)似的題型還有年齡差問(wèn)題（抓住年齡差不變），往返問(wèn)題（抓住往返行程不變）等，請(qǐng)大家自己多加歸納總結(jié)。
四、畫(huà)出示意圖看出等量關(guān)系
中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為兩大部分，一部分是數(shù)，一部分是形，但數(shù)于形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱(chēng)之為數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合就是把抽象過(guò)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形，位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。初中學(xué)習(xí)的“形”，暫時(shí)只涉及平面圖形而我們解應(yīng)用題所要用到的“形”一般是線(xiàn)性示意圖。
例4：小明與小兵家分別在相距20km的甲、乙兩地，星期天小明從家里出發(fā)騎自行車(chē)去小兵家，小明騎車(chē)的速度為13km/h。兩人商定30min后，小兵從家里出發(fā)騎自行車(chē)去接小明，小兵騎車(chē)的速度是12km/h。那么小兵要騎車(chē)多久才能與小明相遇？
分析：根據(jù)題意設(shè)小兵要騎車(chē)xh才能與小明相遇，畫(huà)示意圖如下。
那么，很容易就可以從圖上看出等量關(guān)系：
小明先走的路程+小兵出發(fā)后小明走的路程+小兵走的路程=甲乙兩地的距離
評(píng)注：由上題可以看出，利用示意圖可以很方便解決類(lèi)似于行程方面的問(wèn)題，當(dāng)然我們以后將要學(xué)習(xí)的韋恩圖也可以很好的用來(lái)解決有關(guān)集合方面的應(yīng)用題。
五、利用正比例獲得等量關(guān)系
在小學(xué)，學(xué)生就已經(jīng)解除了比例，當(dāng)然小學(xué)所學(xué)的比例全是正比例，也很少將其直接用于解應(yīng)用題，因?yàn)檎壤挥性诮Y(jié)合幾何圖形時(shí)才能真正發(fā)揮出它的“威力”。由于學(xué)生暫時(shí)還沒(méi)有深入學(xué)習(xí)幾何知識(shí)，我們先看下正比例在代數(shù)方面的應(yīng)用。
例5：已知制成臘肉的重量與所需鮮肉的重量成正比例?，F(xiàn)已知6kg鮮肉可以制成5.25kg臘肉，那么18kg鮮肉可以制成多少千克臘肉呢？
分析：因?yàn)橹乐瞥膳D肉的重量與所需鮮肉的重量成正比例，那么我們沒(méi)必要算出每kg鮮肉可以制成多少臘肉，只需了解兩次制臘肉過(guò)程都符合同一正比例。
由此設(shè)可以制成x kg臘肉，由正比例知識(shí)有：
正比例方法在以后的幾何學(xué)習(xí)中將會(huì)頻繁的用到，屆時(shí)涉及到的圖形比例的有關(guān)應(yīng)用題都可以用它來(lái)解決，如影子問(wèn)題，測(cè)量問(wèn)題等等。熟練掌握它來(lái)解題，將會(huì)受到事半功倍的效果。
結(jié)束語(yǔ)
方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量相等關(guān)系的模型。有了這些尋找等量關(guān)系的累計(jì)，學(xué)生會(huì)越來(lái)越靈活地根據(jù)具體的問(wèn)題情境，尋找相應(yīng)的等量關(guān)系，并能舉一反三，在等量關(guān)系“多樣化”的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)方法的“優(yōu)化”。當(dāng)然，確定等量關(guān)系的方法不止以上幾種，我們?cè)趯W(xué)校時(shí)要注意總結(jié)，力爭(zhēng)找到更多更好的方法。
參考文獻(xiàn)
【1】《世紀(jì)金榜》主編 張泉 延邊大學(xué)出版社
1、列方程解應(yīng)用題的意義
*用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的未知量的方法。
2、列方程解答應(yīng)用題的步驟
*弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示;
*找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系;
*列方程，解方程;
*檢查或驗(yàn)算，寫(xiě)出答案。
3、列方程解應(yīng)用題的方法
*綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)(量)和所設(shè)未知數(shù)(量)列成有關(guān)的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過(guò)程，其思考方向是從已知到未知。
*分析法：先找出等量關(guān)系，再根據(jù)具體建立等量關(guān)系的需要，把應(yīng)用題中已知數(shù)(量)和所設(shè)的未知數(shù)(量)列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過(guò)程，其思考方向是從未知到已知。
4、列方程解應(yīng)用題的范圍
小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題：
a一般應(yīng)用題;
b和倍、差倍問(wèn)題;
1、列方程解應(yīng)用題的意義
*用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的未知量的方法。
2、列方程解答應(yīng)用題的步驟
*弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示；
*找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系；
*列方程，解方程；
*檢查或驗(yàn)算，寫(xiě)出答案。
3、列方程解應(yīng)用題的方法
*綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過(guò)程，其思考方向是從已知到未知。
*分析法：先找出等量關(guān)系，再根據(jù)具體建立等量關(guān)系的需要，把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)的未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過(guò)程，其思考方向是從未知到已知。
4、列方程解應(yīng)用題的范圍
小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題：
a一般應(yīng)用題；
b和倍、差倍問(wèn)題；
