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時間：2023-03-30 11:38:51
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1.從函數(shù)y=sin（x），x∈（-2π，2π）中等距離取5個點，要求學(xué)生分別利用拉格朗日插值和牛頓插值進行求插值函數(shù)的操作
觀察利用兩個插值原理求出來的插值函數(shù)有何異同。2.從多項式y(tǒng)=x4+x3+x2+x+1中等距離取5個點，要求學(xué)生利用拉格朗日插值方法進行插值操作，觀察獲得的插值函數(shù)和原函數(shù)有何異同。3.提示學(xué)生對函數(shù)y=sin（x），x∈（-2π，2π）的5點拉格朗日插值效果不好，若要提高插值效果，將節(jié)點個數(shù)增加到11個，將插值效果進行比較。4.在上例的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過畫圖比較函數(shù)f（x）=11+25x2，x∈（-1，1）的5點拉格朗日插值和11點拉格朗日插值效果。提示學(xué)生可以進一步增加節(jié)點個數(shù)，觀察得出的圖形。5.利用分段插值的方法，對函數(shù)（fx）=11+25x2，x∈（-1，1）進行11點插值，與11點拉格朗日插值的插值效果比較。6.保留拉格朗日插值方法，取消等距節(jié)點，提示學(xué)生利用[-1，1]上的切比雪夫多項式的零點（切比雪夫點）xk=cos（2k-1）π2（n+1）--，k=1，2，…，n+1對以上兩個函數(shù)進行拉格朗日插值，與等距節(jié)點的插值效果進行比較。我們希望學(xué)生做完以上案例后不但能順利完成結(jié)果的獲得，而且還能利用課堂學(xué)到的理論知識分析得到的結(jié)果，這些結(jié)果都是課堂上講解的理論知識的數(shù)值例子，能做出來，會分析，這是對學(xué)生的鍛煉，也能提高學(xué)生的動手能力和學(xué)習(xí)積極性。以下我們對以上案例進行分析。1.通過案例1，學(xué)生得到結(jié)果后能了解到，在相同的節(jié)點條件下，利用拉格朗日插值和牛頓插值得到的插值多項式是一樣的，這與課堂的理論分析完全一致。這個結(jié)果是學(xué)生自己完成實驗后得到的，與課堂理論分析結(jié)合，學(xué)生更能理解兩種插值的相同之處。而通過編寫兩個插值方法的MATLAB程序，學(xué)生既可以學(xué)習(xí)編程，還可以掌握兩者達到同一目的的不同之處。
2.通過上例可得出拉格朗日插值和牛頓插值結(jié)果
一樣的結(jié)論，所以對四次多項式y(tǒng)=x4+x3+x2+x+1進行5點插值只需利用拉格朗日插值即可。學(xué)生可通過得到的結(jié)果和圖形知道，其實得到的插值多項式就是原來的四次多項式本身，原函數(shù)和插值多項式兩者的誤差為零。這個結(jié)論可以提示學(xué)生通過拉格朗日插值理論的誤差公式解釋和分析，從而復(fù)習(xí)和掌握拉格朗日插值誤差公式。
3.通過案例1得到的插值多項式的圖形對比原函數(shù)圖形
一般來說函數(shù)的5點插值的逼近效果還是不理想的，誤差比較大。若要提高逼近效果，首先讓學(xué)生通過實驗觀察提高節(jié)點個數(shù)對插值的逼近效果的影響。所以設(shè)計了一個對比實驗讓學(xué)生對兩個函數(shù)進行高次插值。通過實驗結(jié)果的觀察可知，對于函數(shù)y=sin（x），x∈（-2π，2π），11點的插值逼近效果在整個區(qū)間上都比5點插值效果好，幾乎和原函數(shù)重合了提高插值次數(shù)達到了良好的效果。而對于龍格函數(shù)f（x）=11+25x2，x∈（-1，1），高次插值出現(xiàn)了龍格現(xiàn)象，即區(qū)間中間部分逼近效果非常好，而區(qū)間兩邊出現(xiàn)非常大的震蕩。通過這兩個案例的比較分析，讓學(xué)生自己總結(jié)出光靠增加節(jié)點個數(shù)提高插值的逼近效果不可行，需要另找辦法。龍格現(xiàn)象是插值理論的重要知識點，在課堂教學(xué)中學(xué)生對該現(xiàn)象只停留在理論上，通過該實驗案例的分析，學(xué)生在自己做出龍格現(xiàn)象圖形的時候，能加深對龍格現(xiàn)象和拉格朗日插值的缺點的理解。而對于學(xué)生普遍會存在疑問，龍格現(xiàn)象只是龍格函數(shù)的特有現(xiàn)象嗎？y=sin（x），x∈（-2π，2π）不會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象嗎？可提示學(xué)生繼續(xù)對沒有出現(xiàn)龍格現(xiàn)象的函數(shù)增加插值節(jié)點，觀察龍格現(xiàn)象是否是所有函數(shù)的共有特點，并且這可以留作實驗作業(yè)讓學(xué)生課后自己完成。
4.此案例提供一個提高逼近效果的方法，就是分段插值
利用分段插值，可以在增加節(jié)點個數(shù)的情況下，保持插值次數(shù)不增加，從而保證的插值效果。學(xué)生通過此案例可以理解為什么介紹完整體插值后還需要講解分段插值，老師在以后介紹數(shù)值積分中的復(fù)化積分公式的時候，進行比較講解。5.通過切比雪夫點的插值案例，提示學(xué)生分段插值不是提高逼近效果的唯一方法，通過改變節(jié)點的選取，把原來的等距節(jié)點變?yōu)閰^(qū)間上正交多項式的零點，可以在增加節(jié)點個數(shù)，讓拉格朗日插值的逼近效果也相應(yīng)提高而不會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。這個案例可以和以后數(shù)值積分中的高斯求積公式配合，讓學(xué)生了解正交多項式的零點在函數(shù)逼近方面的重要應(yīng)用。并且在介紹完[-1，1]上的切比雪夫點插值后，可以預(yù)留作業(yè)，讓學(xué)生在其他區(qū)間上尋找正交多項式零點進行拉格朗日插值，讓學(xué)生對正交多項式理論加深印象，為以后數(shù)值積分的高斯求積公式的介紹鋪墊。
1、教材的地位和作用：
函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，而函數(shù)概念貫穿在中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，概念性強是函數(shù)理論的一個顯著特點，只有對概念作到深刻理解，才能正確靈活地加以應(yīng)用。本課中學(xué)生對函數(shù)概念理解的程度會直接影響數(shù)學(xué)其它知識的學(xué)習(xí)，所以函數(shù)的第一課時非常的重要。
2、教學(xué)目標及確立的依據(jù)：
教學(xué)目標：
（1）教學(xué)知識目標：了解對應(yīng)和映射概念、理解函數(shù)的近代定義、函數(shù)三要素，以及對函數(shù)抽象符號的理解。
（2）能力訓(xùn)練目標：通過教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯思維能力。
（3）德育滲透目標：使學(xué)生懂得一切事物都是在不斷變化、相互聯(lián)系和相互制約的辯證唯物主義觀點。
教學(xué)目標確立的依據(jù)：
函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，而函數(shù)概念貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)，如：數(shù)、式、方程、函數(shù)、排列組合、數(shù)列極限等都是以函數(shù)為中心的代數(shù)。加強函數(shù)教學(xué)可幫助學(xué)生學(xué)好其他的數(shù)學(xué)內(nèi)容。而掌握好函數(shù)的概念是學(xué)好函數(shù)的基石。
3、教學(xué)重點難點及確立的依據(jù)：
教學(xué)重點：映射的概念，函數(shù)的近代概念、函數(shù)的三要素及函數(shù)符號的理解。
教學(xué)難點：映射的概念，函數(shù)近代概念，及函數(shù)符號的理解。
重點難點確立的依據(jù)：
映射的概念和函數(shù)的近代定義抽象性都比較強，要求學(xué)生的理性認識的能力也比較高，對于剛剛升入高中不久的學(xué)生來說不易理解。而且由于函數(shù)在高考中可以以低、中、高擋題出現(xiàn)，所以近年來高考有一種“函數(shù)熱”的趨勢，所以本節(jié)的重點難點必然落在映射的概念和函數(shù)的近代定義及函數(shù)符號的理解與運用上。
二、教材的處理：
將映射的定義及類比手法的運用作為本課突破難點的關(guān)鍵。函數(shù)的定義，是以集合、映射的觀點給出，這與初中教材變量值與對應(yīng)觀點給出不一樣了，從而給本身就很抽象的函數(shù)概念的理解帶來更大的困難。為解決這難點，主要是從實際出發(fā)調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與參與意識，運用引導(dǎo)對比的手法，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進行有目的的反復(fù)比較幾個概念的異同，使學(xué)生真正對函數(shù)的概念有很準確的認識。
三、教學(xué)方法和學(xué)法
教學(xué)方法：講授為主，學(xué)生自主預(yù)習(xí)為輔。
依據(jù)是：因為以新的觀點認識函數(shù)概念及函數(shù)符號與運用時，更重要的是必須給學(xué)生講清楚概念及注意事項，并通過師生的共同討論來幫助學(xué)生深刻理解，這樣才能使函數(shù)的概念及符號的運用在學(xué)生的思想和知識結(jié)構(gòu)中打上深刻的烙印，為學(xué)生能學(xué)好后面的知識打下堅實的基礎(chǔ)。學(xué)法：四、教學(xué)程序
一、課程導(dǎo)入
通過舉以下一個通俗的例子引出通過某個對應(yīng)法則可以將兩個非空集合聯(lián)系在一起。
例1：把高一（12）班和高一（11）全體同學(xué)分別看成是兩個集合，問，通過“找好朋友”這個對應(yīng)法則是否能將這兩個集合的某些元素聯(lián)系在一起？
二.新課講授：
（1）接著再通過幻燈片給出六組學(xué)生熟悉的數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納它們的共同性質(zhì)（一對一，多對一），進而給出映射的概念，表示符號f：AB，及原像和像的定義。強調(diào)指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的對應(yīng)法則f。進一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)判斷一個從A到B的對應(yīng)是否為映射的關(guān)鍵是看A中的任意一個元素通過對應(yīng)法則f在B中是否有唯一確定的元素與之對應(yīng)。
（2）鞏固練習(xí)課本52頁第八題。
此練習(xí)能讓學(xué)生更深刻的認識到映射可以“一對多，多對一”但不能是“一對多”。
例1.給出學(xué)生初中學(xué)過的函數(shù)的傳統(tǒng)定義和幾個簡單的一次、二次函數(shù)，通過畫圖表示這些函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們是特殊的映射進而給出函數(shù)的近代定義（設(shè)A、B是兩個非空集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，使得A中的任何一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)則這樣的對應(yīng)叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及從A到B的對應(yīng)法則f），并說明把函f：AB記為y=f（x），其中自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y（或f（x））值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）：x∈A}叫做函數(shù)的值域。
并把函數(shù)的近代定義與映射定義比較使學(xué)生認識到函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系。（函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射）。
再以讓學(xué)生判斷的方式給出以下關(guān)于函數(shù)近代定義的注意事項：
2.函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射。
3.f表示對應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣。
4.f（x）是一個符號，不表示f與x的乘積，而表示x經(jīng)過f作用后的結(jié)果。
5.集合A中的數(shù)的任意性，集合B中數(shù)的唯一性。
6.“f：AB”表示一個函數(shù)有三要素：法則f（是核心），定義域A（要優(yōu)先），值域C（上函數(shù)值的集合且C∈B）。
三.講解例題
例1.問y=1（x∈A）是不是函數(shù)？
解：y=1可以化為y=0*X+1
畫圖可以知道從x的取值范圍到y(tǒng)的取值范圍的對應(yīng)是“多對一”是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射，所以它是函數(shù)。
[注]：引導(dǎo)學(xué)生從集合，映射的觀點認識函數(shù)的定義。四.課時小結(jié)：
1.映射的定義。
2.函數(shù)的近代定義。
3.函數(shù)的三要素及符號的正確理解和應(yīng)用。
4.函數(shù)近代定義的五大注意點。
2三角函數(shù)概念的歷史及其重構(gòu)
三角函數(shù)概念的發(fā)展前后經(jīng)歷了4000多年，從早期在天文學(xué)中應(yīng)用的三角學(xué)知識可以追溯至古巴比倫年代或者更早．古埃及人由于尼羅河不定期的泛濫而遭受打擊，因此他們注意觀察尼羅河泛濫的規(guī)律以及時間．后來人們注意到每逢天狼星于黃昏之后升起的日子尼羅河就會泛濫．于是人們就開始記錄天狼星與太陽的位置，人們?yōu)榱私鉀Q實際問題引入了角等概念．但是這并不是嚴格意義上的三角學(xué)，只能算是三角學(xué)的前身，是一種對天文觀測結(jié)果進行推算的方法．三角學(xué)最早的創(chuàng)建者是希臘數(shù)學(xué)家Hipparchus(約公元前180～公元前127)被稱為三角學(xué)之父．為了定量地解決天體的位置問題，他將球面三角方法引用于此，并且制作了弦表．弦表是在固定的圓內(nèi)不同圓心角所應(yīng)的弦長，此時的正弦指的是圓弧所對弦的弦長相當于現(xiàn)在圓心角一半的正弦線的2倍．后來Ptolemy(約公元100～178)在此基礎(chǔ)上又豐富了弦表．在Ptolemy的弦表中，弦指的是當圓的半徑為60時弦的長度，而不是一個比值．而印度數(shù)學(xué)家Aryabhata與希臘人的做法不同，他默認曲線和直線可以用同一單位，此時他計算的弦是圓弧所對弦的半弦長，相當于現(xiàn)在所指的正弦．其后Regiomontanus(1436～1476)在他的著作《論各種三角形》中首次對三角學(xué)做了完整、獨立的闡述，使三角學(xué)正式從天文學(xué)中獨立出來．在書中采用了印度人的正弦，即圓弧的半弦，明確使用了正弦函數(shù)這一概念．討論了一半三角形的正弦定理，提出了求三角形邊長的代數(shù)解法，給出了球面三角形的正弦定理和關(guān)于邊的余弦定理．后來哥白尼的學(xué)生、印度數(shù)學(xué)家Rheticus(1514～1576)最先給出角的正弦概念，把原來說弧的正弦改成了說銳角的正弦．三角形就形成了三角關(guān)系的基本結(jié)構(gòu)，相應(yīng)的圓成了從屬．他把正弦、余弦、正切等定義成直角三角形的邊長之比，從而使平面三角學(xué)從球面三角學(xué)中獨立出來，至此三角學(xué)真正形成了．總之16世紀，三角學(xué)從天文學(xué)中分離出來，成為數(shù)學(xué)的一個獨立分支，值得注意的是，這時所討論的“三角函數(shù)”僅限于銳角三角函數(shù)，而且研究銳角三角函數(shù)的目的在于解三角形和三角計算［5］．一直到17世紀，三角仍然是常量數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，直到1729年Euler研究插值的方法時用三角級數(shù)表示了函數(shù)，函數(shù)的思想成了三角學(xué)的組成部分，變量數(shù)學(xué)占據(jù)了核心地位．隨著解析幾何和微積分的建立，三角函數(shù)的嚴格解析理論建立了，正弦不再是線段，而是變成了數(shù)值，是單位圓上點的縱坐標，而三角級數(shù)在實變函數(shù)的基礎(chǔ)上又形成了另一門重要的數(shù)學(xué)分支—調(diào)和分析．根據(jù)上面的歷史發(fā)展順序，三角函數(shù)概念(以正弦為例)的發(fā)展歷史大致可以分為正弦是圓弧所對的弦的弦長，正弦是圓弧所對的弦的半弦長，正弦是比值，正弦是單位圓上點的縱坐標［6］．概括的說就是經(jīng)歷了幾何的三角學(xué)，代數(shù)的三角學(xué)，解析的三角學(xué)．學(xué)生在初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的內(nèi)容，相當于代數(shù)的三角學(xué)，是用來解決三角形三邊關(guān)系的主要工具．而后來當用解析的眼光來看待三角學(xué)的時候，三角函數(shù)是用來刻畫函數(shù)性質(zhì)的工具而不再拘泥于解決三角形邊角關(guān)系的問題，而任意角的三角函數(shù)的研究與圓周運動密不可分．所以銳角三角函數(shù)是研究三角形各種幾何量之間關(guān)系而發(fā)展起來的，任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來的，他們研究的現(xiàn)象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同，我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣(或一般化)，又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的“限定”．學(xué)生在高中學(xué)習(xí)的任意角三角函數(shù)的內(nèi)容應(yīng)該是以函數(shù)的眼光來對待，認真體會其作為函數(shù)的一些性質(zhì)，尤其是周期性．因為三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實事物周期性很好的一個模型．教材(人教A版)只是在第一節(jié)內(nèi)容上安排了任意角與弧度制的內(nèi)容，接下來就用單位圓給出了任意角的三角函數(shù)，教師的普遍作法也是回顧初中銳角三角函數(shù)的定義，然后讓學(xué)生考慮如何將銳角三角函數(shù)推廣的任意角三角函數(shù)．這種講法無疑就把學(xué)生陷入一個誤區(qū)，即任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的推廣，自然有很多同學(xué)認為任意角三角函數(shù)仍然是研究三角形三邊關(guān)系的工具只是不再局限于銳角三角形，也有很多同學(xué)排斥單位圓的定義，覺得不如初中給的“比值法”好，不直觀難用來計算．盡管這樣的處理方式很直截了當，但對照發(fā)生教學(xué)法我們發(fā)現(xiàn)這種做法存在以下不足:(1)沒有講明高中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)與初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)研究的內(nèi)容和方法都不同，容易造成學(xué)生的概念混淆．(2)沒有很好的利用單位圓，單位圓是函數(shù)周期性的一個很好的體現(xiàn)，在三角函數(shù)的后續(xù)學(xué)習(xí)中有很大的作用．但學(xué)生在教師的實際教學(xué)中體會的很少．基于發(fā)生教學(xué)法，考慮學(xué)生在了解三角函數(shù)發(fā)展歷史之后，就不會陷入銳角三角函數(shù)同任意角三角函數(shù)概念混淆的誤區(qū)，能更好的認識單位圓在研究三角函數(shù)中的重要作用，體會其作為一個周期函數(shù)的性質(zhì)等等，因此對三角函數(shù)的概念的歷史進行重構(gòu)以便于教學(xué)．
3任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計
基于三角函數(shù)概念(以正弦為例)的發(fā)展歷史，講其進行重構(gòu)并應(yīng)于實際教學(xué)．如圖1:
3.1學(xué)情分析
學(xué)生在前面一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了弧度制，從弧度制一課來講數(shù)學(xué)史的引入就很有必要，很多學(xué)者在前面的研究中已經(jīng)給出了很多寶貴的建議［7-9］．在前一節(jié)的很好的鋪墊下，學(xué)生已經(jīng)體會到引入弧度制的必要性，這也為本節(jié)學(xué)習(xí)單位圓打下了良好的基礎(chǔ)．學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)的定義，對三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)有一定的了解，而且學(xué)生通過弧度制的歷史回顧，已經(jīng)了解了銳角三角函數(shù)在解三角形中的作用．因此我建議對于銳角三角函數(shù)的概念的回顧可以放在弧度制一課對弧度制的歷史回顧之中完成，因為在弧度制最早的也是為了解決三角形邊角關(guān)系的情況下產(chǎn)生的．是區(qū)別于角度制的另外一種度量方式．而在本節(jié)課任意角的三角函數(shù)中，先不要提及銳角三角函數(shù)的定義方式，以免學(xué)生發(fā)生概念的混淆．等到學(xué)生熟練掌握了任意角三角函數(shù)的概念以后，再把初高中學(xué)習(xí)的內(nèi)容進行對比，這樣即可以幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系，也能讓學(xué)生更好的體會任意角三角函數(shù)作為函數(shù)的性質(zhì)．
3.2教學(xué)情景設(shè)計
高中生具有豐富的生活經(jīng)驗和聯(lián)想，因此從現(xiàn)實生活入手更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．如觀察:鐘表指針的旋轉(zhuǎn)、自行車輪子的旋轉(zhuǎn)、摩天輪、跳水運動員優(yōu)美的動作，這些周期現(xiàn)象中都存在著超過180°的角，而且形成的圖形都與圓有關(guān)，那么我們?nèi)绾窝芯窟@種周期現(xiàn)象呢?任意角的三角函數(shù)是我們的好幫手，回顧歷史我們可知，正弦和余弦是一對起源于圓周運動，密切配合的周期函數(shù)，是圓對稱性的直接反映［10］．因此三角函數(shù)也叫圓函數(shù)，我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容與初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)存在很大的差別．就此借助單位圓引入任意角三角函數(shù)的概念．3.2.1任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)片段問題一:如何借助圓來研究三角函數(shù)?回顧歷史上數(shù)學(xué)家的做法，三角學(xué)最早起源于天文學(xué)，而三角函數(shù)是用于研究圓內(nèi)接圖形(主要是三角形)的工具，隨著后來的發(fā)展是用于研究確定行星位置的工具．那么如何借助于圓來研究三角函數(shù)的內(nèi)容呢?通過觀察幾組圖片，鐘表兩個指針的運動軌跡、自行車輪子旋轉(zhuǎn)等圖片，激發(fā)學(xué)生的興趣．顯然我們只需在角的終邊上找到一個點，使這個點到角的頂點的距離為1(方便定義三角函數(shù))，隨著角度的任意擴大，以這個點旋轉(zhuǎn)一周的軌跡—圓，來幫助我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)．雖然在此處沒有提到，這是數(shù)學(xué)家歐拉的做法，將單位圓的半徑定位1，大大方便了我們研究三角函數(shù)的過程．我們在此引入單位圓的定義:在直角坐標系中，我們稱以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓．問題二:如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義?如圖2，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么:(1)y叫做α的正弦(sine)，記做sinα，即sinα=y;(2)x叫做α的余弦(cosine)，記做cosα，即cosα=x;(3)yx叫做α的正切(tangent)，記做tanα，即tanα=yx(x≠0)．問題三:任一點P的選擇，對于任意角三角函數(shù)的值有沒有影響?回顧最初引入單位圓的過程，學(xué)生借助于相似三角形的知識可以得到點P的選擇對于任意角三角函數(shù)的值沒有影響．問題四:任意角的三角函數(shù)符號的確定與點p(x，y)的坐標有什么關(guān)系?引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析，r＞0，三角函數(shù)值的符號決定于橫坐標、縱坐標的正負．問題五:如何借助單位圓研究三角函數(shù)的周期性?我們觀察圖形發(fā)現(xiàn)，角度每變化360°的整數(shù)倍的時候，角的終邊又回到了同一位置，因此終邊相同的同名三角函數(shù)值應(yīng)該相等．這樣一來可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0到2π(0°～360°)角的三角函數(shù)值，簡化我們的計算．課后思考:觀察單位圓，我們可以得到同角三角函數(shù)之間存在著哪些關(guān)系呢?為一下節(jié)課研究同角三角函數(shù)的關(guān)系做好鋪墊.
4課堂實施與問卷調(diào)查
按照HPM視角下的教學(xué)設(shè)計，研究者在2013年于北京市某重點高中實習(xí)期間做了充分的調(diào)查研究，并進行了課堂教學(xué)的實踐．該校在高中一年級學(xué)習(xí)完必修一之后接著學(xué)習(xí)必修四的內(nèi)容，可以說為任意角三角函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做了良好的鋪墊．該校文理科班級比例為1:3，考慮到文科班的同學(xué)對于歷史更感興趣效果應(yīng)該優(yōu)于理科班，所以選擇2個理科班，1個文科班來進行教學(xué)．但是結(jié)果卻出乎意料，理科生對本節(jié)課表示出了濃厚的興趣，甚至熱情高于文科班．以下是對某個理科班同學(xué)的課后訪談片段:T(教師):對今天這節(jié)課的感覺如何?S(學(xué)生):挺好的，感覺比以往新穎，似乎更有興趣了．T:你理解今天所講的任意角三角函數(shù)與初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的差別了嗎?S:理解了，初中學(xué)習(xí)內(nèi)容是研究三角形邊角關(guān)系的，現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是具有函數(shù)性質(zhì)的．不是同一個內(nèi)容．S:那你理解在這里引入單位圓的作用了嗎?T:差不多吧，圓具有周期性、對稱性，用來研究三角函數(shù)很好．最后老師又問了一個問題，感覺還有內(nèi)容要學(xué)習(xí)．T:那今后采用這種方式上課怎么樣?S:好啊，不容易溜號了．圖3是對全體授課班級同學(xué)學(xué)習(xí)情況的統(tǒng)計，我們可以看到本節(jié)課的教學(xué)效果還是顯著的．三角函數(shù)歷史悠久，有幾何的、代數(shù)的、解析的視角，現(xiàn)在向量也進入教材，三角函數(shù)和向量、復(fù)數(shù)之間的關(guān)系也應(yīng)引起教師重視，教師把對三角函數(shù)概念的理解局限于一節(jié)課、一章里是不對的，學(xué)生對一個概念的理解不是一蹴而就的，需要一個循序漸進的過程．作為教師更要有全局觀念，在教三角這一章時要用三角的眼光看待后續(xù)內(nèi)容，適當?shù)倪x擇教學(xué)方式方法［11］．因此建議教師在教授任意角三角函數(shù)概念的時候，不要把對學(xué)生理解此概念的任務(wù)放在這一節(jié)里，而是在整個單元的教學(xué)中都要反復(fù)的重視學(xué)生對任意角三角函數(shù)概念的理解情況．從本課的課堂反饋和效果調(diào)查來看，基于HPM視角下的教學(xué)設(shè)計對于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念有一定的促進作用．
二對學(xué)生記錄課堂筆記的指導(dǎo)
在多媒體課上，多數(shù)同學(xué)一節(jié)課下來只字未記。一方面學(xué)生由于很好奇，忙于欣賞多媒體畫面去了，加之與課件制作上屏幕切換太快有關(guān)，往往是想記又記不下來。這要求授課教師對重要的內(nèi)容、反復(fù)強調(diào)的知識點，不要一閃而過，要留一點時間給學(xué)生做筆記，同時應(yīng)該提醒學(xué)生多留意記錄。
心理學(xué)家佩維奧于1969年提出了雙重編碼理論，認為人腦中存在兩個功能獨立卻又相互聯(lián)系的加工系統(tǒng):一個是以語言為基礎(chǔ)的加工系統(tǒng)，另一個是以意象為基礎(chǔ)的加工系統(tǒng)。意象系統(tǒng)專門表征和加工非語言的物體和事件，它由相互具有聯(lián)想關(guān)系的意象表征組成;而言語系統(tǒng)表征和加工言語信息，由相互聯(lián)系的言語表征組成。雙重編碼理論的重要原則是:可通過同時用視覺和語言的形式呈現(xiàn)信息來增強信息的回憶與識別。語言的本質(zhì)是一套音、義結(jié)合的系統(tǒng)，是通過發(fā)聲和聽覺來傳遞信息的。記錄這一音、義結(jié)合系統(tǒng)的文字使語言能夠通過視覺符號來傳遞信息。拼音文字能夠比較真實地還原所記錄語言的聲音，雖然是視覺符號，但實際上仍然是一種變化的聲音符號，本質(zhì)上仍然是聽覺的符號。漢字的字形幾乎是直接和字義發(fā)生聯(lián)系的，本身就能成為一套系統(tǒng)，由于不直接和字音發(fā)生聯(lián)系，使得這套獨特的漢字符號系統(tǒng)成為了名副其實的視覺符號系統(tǒng)。這套視覺符號系統(tǒng)與音、義結(jié)合的聽覺系統(tǒng)連接，就形成了獨特的漢字系統(tǒng)。漢字的這兩套系統(tǒng)準確地契合了佩維奧的雙重編碼理論，如果在漢字學(xué)習(xí)的過程中突出視覺的、表象的因素，加上適合的言語的表征，即在漢字學(xué)習(xí)的過程中結(jié)合圖、文、聲并茂的多媒體技術(shù)，就能更好地促進對漢字的學(xué)習(xí)和記憶。
(二)認知負荷理論的要求
Sweller等人提出的認知負荷理論認為人的工作記憶容量是有限的，當某種知識(或圖式)含有多種相互作用的元素時，這些知識將加重認知負荷，此時就需要通過外部認知或者關(guān)聯(lián)認知來促進知識的學(xué)習(xí)。漢字能力包含了形、音、義三個方面，且漢字字形包含了諸如筆畫、筆順、結(jié)構(gòu)等內(nèi)部因素，這三個因素內(nèi)部又包括諸如相交、相離及上下、左右等關(guān)系。這些因素使得漢字的認知過程占用了較多的工作記憶容量，此時就必須調(diào)整漢字的呈現(xiàn)方式以促進漢字的學(xué)習(xí)。根據(jù)認知負荷理論，漢字的學(xué)習(xí)可以通過使用多媒介(多感覺通路)呈現(xiàn)形式等多種方法來設(shè)法規(guī)避工作記憶的有限性，而圖、文、聲并茂的多媒體技術(shù)恰是一種能夠調(diào)動多感覺通路的最恰當?shù)姆椒ā?/p>
二、對外漢字教學(xué)中多媒體的具體應(yīng)用
漢字教學(xué)的主要任務(wù)是要讓學(xué)生建立形、音、義之間的聯(lián)系，即知道某個漢字是什么意思(建立形、義之間的聯(lián)系)、怎么讀(建立形、音之間的聯(lián)系)、怎么寫(記住字形)。根據(jù)上述雙重編碼理論，漢字實質(zhì)上是視覺符號和言語符號的統(tǒng)一;又由于漢字本身的內(nèi)部認知因素太多，就必須調(diào)動其他的外部因素等來促進漢字教學(xué)，多媒體恰好能很好地解決這些問題。
(一)多媒體展示
漢字的方法展示是漢字教學(xué)的第一步，是建立漢字形、音、義聯(lián)系的開始。展示漢字時，不僅要呈現(xiàn)字形、字音，還要呈現(xiàn)字義，充分調(diào)動視覺和聽覺這兩個通道來加強記憶。在展示階段應(yīng)以靜態(tài)展示為主，盡量在一個版面內(nèi)展示漢字的字形和聲音，結(jié)合實物提示字義。因為在用多媒體展示時，空間和時間接近，調(diào)用雙通道能夠促進記憶。作為智力技能學(xué)習(xí)的第一步，展示的作用在于讓學(xué)習(xí)者辨別漢字的內(nèi)部構(gòu)造，形成一些初步的概念。而其作為動作技能的開始，同樣是認知漢字的字形。例如:展示“花”時要同時出現(xiàn)字形、圖像、拼音，還要加上讀音。展示字形可采用靜態(tài)分解，例如將“花”字拆分成“艸”和“化”進行展示。
(二)多媒體輔助漢字教學(xué)的方法
漢字的教學(xué)包括字音的教學(xué)、字義的教學(xué)和字形的教學(xué)。一般的漢字或者入門階段的漢字讀音可以采用直接領(lǐng)讀、展示拼音的方式讓學(xué)生認讀。對于形聲字，可以借助聲符的幫助，讓學(xué)生掌握字音。例如:一般情況下，在初級階段就會學(xué)“從”字，之后才會接觸到“叢”字，因此，在字音的教學(xué)中就可以將“從”顯示為不同的顏色以提示字音。此外，還可以通過已學(xué)漢字中的聲符來幫助記憶新字的音，例如:“花”字學(xué)習(xí)得比較早，而“化”或“華”稍后才接觸，學(xué)習(xí)時可將“花”字同時顯現(xiàn)并將“化”變換顏色以提示字音。這樣，新字字音不僅是聲音的單一通道，而且有了用于提示聲音的舊字的視覺符號的刺激，兩種編碼同時發(fā)揮作用。字義教學(xué)的情況比較復(fù)雜，可以通過多媒體展示實物圖片、動畫等方式進行，因為漢字本身是表意的文字，可以通過還原漢字造字時的理據(jù)、漢字演變等方式予以呈現(xiàn)。利用多媒體技術(shù)再現(xiàn)古人造字時的原生語境(原始情境)，從追溯漢字字源入手，對漢字進行有針對性的分析，揭示其形體結(jié)構(gòu)的內(nèi)在機理，建立形、音、義的有機聯(lián)系，從而完成漢字的識記。例如:“羊”的字義教學(xué)就可以采用原生語境再現(xiàn)的方式，用圖片分別展示“羊”從甲骨文、金文、小篆到楷體的字體演變過程，聯(lián)系羊的形象進行教學(xué)。字形教學(xué)是漢字教學(xué)最大的難點，漢語難學(xué)通常指的是漢字字形的難認、難記、難寫。通過多媒體來講解漢字是突破難點的一條便捷的道路。講解漢字是對作為智力技能的漢字能力進行辦事規(guī)則的講述以及作為動作技能的漢字技能進行動作的分解。對漢字字形能力的掌握不是從筆畫到部件、到漢字的建構(gòu)過程，而是一個從整字到部件、到筆畫的分解過程。通過多媒體技術(shù)顯示拆分的部件，能夠初步建立部件聯(lián)結(jié)的意識。例如:對于“美”字的字形教學(xué)，可將“美”先拆分成“羊”和“大”，“大”再拆分成“一”和“人”。對于一些形聲字最好依據(jù)聲旁和形旁的類別進行拆分，這樣能起到提示意義類屬和聲音的作用，而且還能了解其結(jié)構(gòu)，例如:“花”字拆分成形旁“艸”字和聲旁“化”，引導(dǎo)學(xué)生認識部件之間的聯(lián)系，建立漢字的結(jié)構(gòu)意識。這種逐步分解的方式是為了讓學(xué)生了解漢字書寫這種動作技能的基本規(guī)則，建立起各部分之間的聯(lián)結(jié)，為見字自動拆分打下基礎(chǔ)。獨體字，特別是常用獨體字是對外漢語教學(xué)初期建立字感的重點。因為留學(xué)生對漢字的字形缺乏感性認識，沒有筆畫概念，分不清字與字之間的細微差別。結(jié)構(gòu)簡單、筆畫數(shù)少、意義清晰的獨體字恰能擔當這個重任。多媒體圖示法能夠很好地展示筆畫、意義，例如:在展示“口”字時，可同時顯示“口”的圖片，同時展示“口”字的筆畫順序。不少初級階段的學(xué)生將“口”寫成一個不規(guī)則的“”，原因就是沒有筆畫意識。通過上述筆畫的拆分，學(xué)生就能初步了解漢字的筆畫。筆順一直是對外漢字教學(xué)的難點。筆順是關(guān)系到漢字正確書寫、美觀的重要因素，也是建立漢字能力的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的黑板板書筆順主要靠兩種方法，一種是按照筆順在不同位置線性地分別疊加筆畫，最后形成漢字，是一種分步驟展示;還有一種是在同一位置分步書寫漢字，最后形成一個漢字。前一種方法可以清晰地顯示筆順，但難以樹立漢字結(jié)構(gòu)意識;后一種方法便于建立結(jié)構(gòu)意識，但難以顯示筆順。動畫技術(shù)出現(xiàn)以后，漢字的筆順就能在同一位置上分步呈現(xiàn)，不僅能暫停，讓學(xué)習(xí)者仔細思考，還可以反復(fù)地觀看。
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）25-061-01
在漢語教學(xué)中，人們對語言教學(xué)教什么，實施何種教學(xué)法，語言教學(xué)中要不要進行文化教學(xué)存在一些分歧。這主要表現(xiàn)在三點上，一是認為漢語教學(xué)主要目的應(yīng)是語言本體知識的教學(xué)（語音的準確性、詞匯的擴充、語法與句型知識等），相應(yīng)采用結(jié)構(gòu)主義教學(xué)法；另一點是認為語言的本質(zhì)在于它的工具性，因此，語言教學(xué)應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的交際能力及語用能力為根本，并應(yīng)采用交際主義教學(xué)法。本文將結(jié)合對這二個問題的討論，探討語言教學(xué)中，處理好文化與語言關(guān)系的必要性和可能性，并相應(yīng)提出一些建議。
一、交際能力、語言本體知識及和文化教學(xué)
語言學(xué)、語言教學(xué)理論的不斷發(fā)展使人們對語言的本質(zhì)不斷加深認識，提出語言是交際性工具這一功能性觀點，語言教學(xué)目的、目標也隨之不斷修正。并明確了語言運用能力包括的內(nèi)容，即聽、說、讀、寫四個方面，細化了語言運用能力的指標。那么交際能力包括哪些因素，它與語言知識是什么關(guān)系，它與文化教學(xué)又是什么關(guān)系呢？
比較一致的看法認為：“交際能力應(yīng)包括下列五方面的內(nèi)容：1、語言，指掌握語法知識；2、功能，指運用聽、說、讀、寫四方面的能力；3、語境，選擇與所處語境相適宜的話語；4、交際者之間的關(guān)系，根據(jù)對方的身份、地位、社會場合，說出合乎自己身份的話語；5、社會文化知識，語言首先是一種“社會實踐”。其中，后三個方面綜合起來就是一點――語言得體性。交際能力的培養(yǎng)也就是使學(xué)習(xí)者在交流中，根據(jù)話題、語境、文化背景講出得體、恰當?shù)脑挕和诹?xí)得一種民族語言的同時，也在習(xí)得該民族的文化。所以，語言和語言的應(yīng)用不可能脫離文化而單獨存在。對少數(shù)民族漢語教學(xué)不僅要學(xué)習(xí)語言本體知識并進行“四會”技能訓(xùn)練，更應(yīng)該把這種學(xué)習(xí)與訓(xùn)練放到文化教學(xué)的大背景中進行，最終使學(xué)生具有語用能力。
只強調(diào)語言形式和內(nèi)部結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)主義教學(xué)，割裂了語言形式與語言意義及功能的聯(lián)系。用這種教法教出的學(xué)生可能很會做專測語法形式、結(jié)構(gòu)的試題，但必然缺乏運用語言進行交際的能力（包括讀、寫的能力），出現(xiàn)交際失誤，最終也就達不到學(xué)習(xí)和掌握并運用漢語進行交際的目的。
二、交際法教法中文化教學(xué)的體現(xiàn)
廣義上講，文化教學(xué)存在于語言教學(xué)的每個階段，甚至每個單元。語言教學(xué)既然最終以語用為目的，就必然涉及語言文化的教學(xué)。真正使學(xué)生感到困難的不是如何發(fā)準音或拼寫正確，而是在實際交際中如何恰當運用語言。教師在教學(xué)中只要自始至終注意結(jié)合語用、文化因素，把語言形式放到社會語用功能的背景下進行教學(xué)，就能使語言知識“活”起來，使學(xué)生逐步提高語用能力。這樣講，并不是要求教師在講每一個語言項目時都把與之相關(guān)的語用功能介紹全、練習(xí)夠，這是不現(xiàn)實的，也違反認知規(guī)律。目前我區(qū)對少數(shù)民族的漢語教學(xué)的弊病之一就是講者不厭其煩，力求一次講全、講透。在介紹一個新語言項目時，往往以點帶面，全面開花，字典搬家。學(xué)生則忙于記筆記。應(yīng)試教育和結(jié)構(gòu)主義理論的影響更起了負面推動作用。交際法教學(xué)注重語言功能訓(xùn)練。具體語言形式的功能要隨語境而變化，使用中相關(guān)社會因素較多，只有逐步介紹、訓(xùn)練，循環(huán)往復(fù)，學(xué)生才能體會到不同語境中語義的差異并逐步掌握，進而形成語言能力。目前，在教材編寫中，教學(xué)內(nèi)容循環(huán)出現(xiàn)的方式與原則也應(yīng)體現(xiàn)在漢語教學(xué)中。
三、交際法教法中文化教學(xué)的實現(xiàn)的方法和原則
語言教學(xué)中的文化教學(xué)不是深不可測的難點。日?？谡Z交際中就存在著文化因素，各類教材也提供了大量真實的語言素材，教師可以充分加以利用和發(fā)掘。我們提倡我區(qū)從事漢語教學(xué)的各族教師不斷加強對漢語語言與文化知識的了解和掌握，提高自身語言交際能力，進而使教師在教學(xué)中注重文化因素的教學(xué)。文化因素存在于最簡單的交際活動中，文化教學(xué)也應(yīng)存在于最基本的日常教學(xué)中。教師在教學(xué)生如何向別人問候時，即使只介紹了一種形式的實際用法，只要從語用角度講是正確的，他就傳授了語用原則與文化知識；學(xué)生如果通過訓(xùn)練掌握了這一形式的運用，教師也就是在幫助學(xué)生逐步發(fā)展文化語用能力。盡管這種學(xué)習(xí)可能是零散、不系統(tǒng)的，學(xué)生卻是在沿著正確的語言學(xué)習(xí)道路前進。教師自己不應(yīng)該也不應(yīng)要求學(xué)生學(xué)習(xí)好了語言形式再去實踐，或者掌握了語用知識再去實踐，而應(yīng)在實踐中學(xué)習(xí)、發(fā)展語用能力。交際能力的培養(yǎng)只能在交際中實現(xiàn)。
如何進行交際能力訓(xùn)練？方法可以多樣。交際教學(xué)并不否認語言基礎(chǔ)知識、技能的訓(xùn)練，并把它看成是語用能力發(fā)展的必要組成部分。交際法與結(jié)構(gòu)主義教學(xué)法的區(qū)別主要在于學(xué)習(xí)目標的不同。克魯姆指出：“成功的外語課堂教學(xué)應(yīng)在課內(nèi)創(chuàng)造更多的情景，讓學(xué)生有機會運用自己學(xué)到的語言材料?！彼岢隽苏n內(nèi)開展交際活動的幾個環(huán)節(jié)：“假設(shè)交際”，指在課內(nèi)圍繞教學(xué)內(nèi)容展開的各種操練，包括機械操練和教師講解等；“教學(xué)交際”，指課堂內(nèi)進行的再表達練習(xí)，學(xué)生掌握語言知識后，根據(jù)教師提供的語境開展模仿性對話或書面練習(xí)；“針對際”，指學(xué)生根據(jù)情景和語用考慮，作出反應(yīng)；“談?wù)撔哉鎸嵔浑H”，指學(xué)生不受限制地自由交談，語言具有真實性和社會性，言語符合語用及文化規(guī)范。
綜上簡述，教師只要確立語用學(xué)觀點，在對少數(shù)民族漢語教學(xué)中采用交際法教學(xué)并在漢文化的大背景下引導(dǎo)學(xué)生利用語言材料進行各種旨在提高語用能力的訓(xùn)練和交際，是能實現(xiàn)漢語教學(xué)的最終目的的。
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5.通用技術(shù)教學(xué)與實驗教學(xué)的比較分析,通用技術(shù)教學(xué)與一般學(xué)科課程的異同。
6.信息化在通用技術(shù)教學(xué)中的輔助作用。
7.通用技術(shù)教師的學(xué)科素養(yǎng)、專業(yè)特點、培訓(xùn)提高。
8.通用技術(shù)教學(xué)相關(guān)問題研究。
9.通用技術(shù)教室設(shè)備配置標準相關(guān)問題研究。
二、征文內(nèi)容和格式要求
1.論文內(nèi)容要貼近實踐,貼近一線教學(xué)與應(yīng)用,要有一定的理論研究深度,具有指導(dǎo)性和借鑒意義。作者可以在選題框架下自行分解出具體題目,從多側(cè)面、多視角,深入具體地闡述和表述。
2.注重理論與實踐相結(jié)合。
3.論文、教學(xué)設(shè)計、教學(xué)案例均可。
4.征文標題要求準確得體,簡短精煉。征文要求按照論文體例撰寫,超過3 000字的需有中、英文摘要和關(guān)鍵詞。
5.務(wù)求論點明確,論據(jù)可靠,數(shù)據(jù)準確,文字精練。
6.參選論文應(yīng)具原創(chuàng)性,不得侵犯他人知識產(chǎn)權(quán)。
7.文稿一般不得超過5 000字,文稿應(yīng)附全部作者的單位、電子郵箱、郵政編碼、具體地址。
四、組織評選辦法
1.提交的論文或教學(xué)設(shè)計經(jīng)專家評審,評出優(yōu)秀作品。
2.組織研討會進行學(xué)術(shù)交流,優(yōu)秀論文或教學(xué)設(shè)計將由中國教學(xué)儀器設(shè)備行業(yè)協(xié)會和《中國教育技術(shù)裝備》雜志社頒發(fā)《年度優(yōu)秀通用技術(shù)教學(xué)設(shè)計》、《年度優(yōu)秀通用技術(shù)教學(xué)論文》證書。
3.優(yōu)秀教學(xué)論文或設(shè)計將在《中國教育技術(shù)裝備》雜志上陸續(xù)刊登。
五、投稿方式
1.請將論文或教學(xué)設(shè)計發(fā)至《中國教育技術(shù)裝備》雜志社郵箱(jiaoyuzhengwen@vip.省略),請注明“征文”字樣。若作品無法通過電子郵件發(fā)送,請刻錄成光盤寄至《中國教育技術(shù)裝備》雜志社。
2.咨詢電話:010-62115171 62112663
3.聯(lián)系人:楊洋 李麗
中職數(shù)學(xué)教學(xué)論文題目1、線性方程的疊加原理及其應(yīng)用
2、作為函數(shù)的含參積分的分析性質(zhì)研究
3、周期函數(shù)初等復(fù)合的周期性研究
4、“高等代數(shù)”知識在幾何中的應(yīng)用
5、矩陣初等變換的應(yīng)用
6、“高等代數(shù)”中的思想方法
7、中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想和方法
8、任N個自然數(shù)的N級排列的逆序數(shù)
9、“高等代數(shù)”中多項式的值，根概念及性質(zhì)的推廣
10、線性變換“可對角化”的條件及“對角化”方法
11、數(shù)域概念的等價說法及其應(yīng)用
12、中職數(shù)學(xué)教學(xué)與能力培養(yǎng)
13、數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的重要性及途徑
14、論數(shù)學(xué)中的基本定理與基本方法
15、論電腦、人腦與數(shù)學(xué)
16、論數(shù)學(xué)中的收斂與發(fā)散
17、論小概率事件的發(fā)生
18、論高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系
19、論數(shù)學(xué)教學(xué)中公式的教學(xué)
20、數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)
21、數(shù)學(xué)教與學(xué)的心理探究
22、論數(shù)學(xué)思想方法的教與學(xué)
23、論數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)
24、對稱思想在解題中的應(yīng)用
25、復(fù)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用
26、復(fù)變函數(shù)論思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
27、復(fù)變函數(shù)論思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用
28、代數(shù)學(xué)基本定理的幾種證明
29、復(fù)變函數(shù)的洛必達法則
30、復(fù)函數(shù)與實函數(shù)的級數(shù)理論綜述
31、微積分學(xué)與哲學(xué)
32、實數(shù)完備性理論綜述
33、微積分學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造
34、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣
35、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力
36、教師對學(xué)生互動性學(xué)習(xí)的影響
37、學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)
38、數(shù)學(xué)解題中的逆向思維的應(yīng)用
39、數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)
40、數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生心理素質(zhì)的培養(yǎng)
41、用心理學(xué)理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)
42、開展數(shù)學(xué)活動課的理論和實踐探索
43、《數(shù)學(xué)課程標準》解讀
44、數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)
45、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
46、運用化歸思想，探索解題途徑
47、談?wù)剺?gòu)造法解題
48、高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
49、解決問題的策略思想--等價與非等價轉(zhuǎn)化
50、挖掘題中的隱含條件解題
51、向量在幾何證題中的運用
52、數(shù)學(xué)概念教學(xué)初探
53、數(shù)學(xué)教育中的問題解決及其教學(xué)途徑
54、分類思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用
55、“聯(lián)想”在數(shù)學(xué)中的作用研究
56、利用習(xí)題變換，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力
57、中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“學(xué)習(xí)困難生”研究
58、數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究
59、反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用研究
60、中學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力培養(yǎng)研究
61、數(shù)學(xué)教育評價研究
62、傳統(tǒng)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式革新研究
63、數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)設(shè)計
64、數(shù)學(xué)開放題擬以及教學(xué)
65、數(shù)學(xué)課堂文化建設(shè)研究
66、中職數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及典型課例分析
67、數(shù)學(xué)課程標準的新增內(nèi)容的嘗試教學(xué)研究
68、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)安全采集與研究
69、中職數(shù)學(xué)選修課教學(xué)的實話及效果分析
70、常微分方程與初等數(shù)學(xué)
71、由遞推式求數(shù)列的通項及和向量代數(shù)在中學(xué)中的應(yīng)用
72、淺談劃歸思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
73、初等函數(shù)的極值
74、行列式的計算方法
75、數(shù)學(xué)竟賽中的不等式問題
76、直覺思維在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
77、常微分方程各種解的定義，關(guān)系及判定方法
78、高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
79、常微分方程的發(fā)展及應(yīng)用
80、充分挖掘例題的數(shù)學(xué)價值和智力開發(fā)功能
小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論文題目參考1、小學(xué)數(shù)學(xué)教師幾何知識掌握狀況的調(diào)查研究
2、小學(xué)數(shù)學(xué)教師教材知識發(fā)展情況研究
3、中日小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域比較研究
4、浙江省Y縣縣域內(nèi)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量差異研究
5、小學(xué)數(shù)學(xué)教師教科書解讀的影響因素及調(diào)控策略研究
6、中國、新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)新課程的比較研究
7、小學(xué)數(shù)學(xué)探究式教學(xué)的實踐研究
8、基于教育游戲的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計研究
9、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)有效問題情境的策略研究
10、小學(xué)數(shù)學(xué)生活化教學(xué)的研究
11、數(shù)字故事在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用研究
12、小學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展研究
13、中美小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容比較研究
14、數(shù)學(xué)文化在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的價值及其課程論分析
15、小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)內(nèi)容有效性的研究
16、小學(xué)數(shù)學(xué)課堂師生對話的特征分析
17、小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課堂的特征分析
18、小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題方法多樣化的研究
19、我國小學(xué)數(shù)學(xué)新教材中例題編寫特點研究
20、小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決能力培養(yǎng)的研究
21、滲透數(shù)學(xué)思想方法
提高學(xué)生思維素質(zhì)
22、引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)過程
發(fā)揮學(xué)生的主體作用
23、優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂練習(xí)設(shè)計的探索與實踐
24、實施“開放性”教學(xué)促進學(xué)生主體參與
25、數(shù)學(xué)練習(xí)要有趣味性和開放性
26、開發(fā)生活資源，體現(xiàn)數(shù)學(xué)價值
27、對構(gòu)建簡潔數(shù)學(xué)課堂的幾點認識和做法
28、芻議“怎樣簡便就怎樣算”中的“二指技能”現(xiàn)象
29、立足現(xiàn)實起點，提高課堂效率
30、寧缺毋濫--也談?wù)n堂教學(xué)中有效情境的創(chuàng)設(shè)
31、如何讓“生活味”的數(shù)學(xué)課堂多一點“數(shù)學(xué)味”
32、有效教學(xué)，讓數(shù)學(xué)課堂更精彩
33、提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率之我見
34、為學(xué)生營造一片探究學(xué)習(xí)的天地
35、和諧課堂，讓預(yù)設(shè)與生成共精彩
36、走近學(xué)生，恰當提問--談數(shù)學(xué)課堂提問語的優(yōu)化策略
37、談小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中教師對學(xué)生的評價
38、課堂有效提問的初步探究
39、淺談小學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的途徑
40、能說會道，為嚴謹課堂添彩
41、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的情感教育
42、小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)困生的轉(zhuǎn)化策略
43、新課標下提高日常數(shù)學(xué)課堂效率的探索
44、讓學(xué)生參與課堂教學(xué)
45、淺談新課程理念下如何優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)
46、數(shù)學(xué)與生活的和諧之美
47、運用結(jié)構(gòu)觀點分析教學(xué)小學(xué)應(yīng)用題
48、構(gòu)建自主探究課堂，促進學(xué)生有效發(fā)展
49、精心設(shè)計課堂結(jié)尾 鞏固提高教學(xué)效果
50、淺談數(shù)學(xué)課堂提問藝術(shù)
51、淺談發(fā)式教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用
52、淺談數(shù)學(xué)課堂中學(xué)生問題意識的培養(yǎng)
53、巧用信息技術(shù)，優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)
54、新課改下小學(xué)復(fù)式教學(xué)有感
55、讓“對話”在數(shù)學(xué)課堂中煥發(fā)生命的精彩
56、小學(xué)幾何教學(xué)的幾點做法
初中數(shù)學(xué)教學(xué)論文題目1、翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究
2、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐研究
3、基于翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計研究
4、初中數(shù)學(xué)新教材知識結(jié)構(gòu)研究
5、初中數(shù)學(xué)中的研究性學(xué)習(xí)案例開發(fā)實施研究
6、學(xué)案導(dǎo)學(xué)教學(xué)模式在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐與研究
7、從兩種初中數(shù)學(xué)教材的比較看初中數(shù)學(xué)課程改革
8、信息技術(shù)與初中數(shù)學(xué)教學(xué)整合問題研究
9、初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生學(xué)業(yè)情緒及其影響因素研究
10、初中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究
11、初中數(shù)學(xué)教材分析方法的研究
12、初中數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)目標設(shè)計的調(diào)查研究
13、初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙學(xué)生一元一次方程應(yīng)用題解題過程及補救教學(xué)的個案研究
14、初中數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)教學(xué)知識的發(fā)展研究
15、數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)教科書的現(xiàn)狀研究
16、初中數(shù)學(xué)教師課堂有效教學(xué)行為研究
17、數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué)整合的現(xiàn)狀研究
18、數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)教育的研究
19、初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容編排比較研究
20、滲透數(shù)學(xué)基本思想的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐研究
21、初中數(shù)學(xué)教師錯誤分析能力研究
22、初中數(shù)學(xué)優(yōu)秀課教學(xué)設(shè)計研究
23、初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的研究
24、初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)研究與案例分析
25、新課程下初中數(shù)學(xué)教科書的習(xí)題比較研究
26、中美初中數(shù)學(xué)教材難度的比較研究
27、數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)教育的實踐探索
28、初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)小組合作學(xué)習(xí)存在的問題及對策研究
29、初中數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)觀現(xiàn)狀的調(diào)查研究
30、初中數(shù)學(xué)學(xué)困生的成因及對策研究
31、“幾何畫板”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究
32、數(shù)學(xué)素養(yǎng)視角下的初中數(shù)學(xué)教科書評價
33、北師大版初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)形結(jié)合思想研究
34、初中數(shù)學(xué)微課程的設(shè)計與應(yīng)用研究
35、初中數(shù)學(xué)教學(xué)生成性資源利用研究
36、基于問題學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)情境教學(xué)模式探究
37、學(xué)案式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實驗研究
38、數(shù)學(xué)文化視野下的初中數(shù)學(xué)問題情境研究
39、中美初中數(shù)學(xué)教材中習(xí)題的對比研究
40、基于人教版初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史專題的教學(xué)探索
41、初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視學(xué)生直覺思維能力的培養(yǎng)
42、七年級學(xué)生學(xué)習(xí)情況的調(diào)研
43、老師，這個答案為什么錯了?--由一堂沒有準備的探究課引發(fā)的思考
44、新課程背景下學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)展性評價的構(gòu)建
45、初中數(shù)學(xué)學(xué)生學(xué)法輔導(dǎo)之探究
46、合理運用數(shù)學(xué)情境教學(xué)
47、讓學(xué)生在自信、興趣和成功的體驗中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)
48、創(chuàng)設(shè)有效問題情景，培養(yǎng)探究合作能力
49、重視數(shù)學(xué)教學(xué)中的生成展示過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力
50、從一道中考題的剖析談梯形中面積的求解方法
51、淺談?wù)n堂教學(xué)中的教學(xué)機智
52、從《確定位置》的教學(xué)談體驗教學(xué)
53、談主體性數(shù)學(xué)課堂交流活動實施策略
54、對數(shù)學(xué)例題教學(xué)的一些看法
55、新課程標準下數(shù)學(xué)教學(xué)新方式
56、舉反例的兩點技巧
57、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中分層教學(xué)的實踐與探索
58、新課程中數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè)的思考
1.積極做好課題準備工作
為了更好的開展研究活動，我們制定了課題研究計劃，并著手進行課題準備。事先我們召開了課題組主要成員會議，對各自的分工做了具體的布置，研討了課題實施方案。
2.扎實進行課題研究工作
在研究過程中我們重點加強了對以下內(nèi)容的研究和探討：
七年級：（1）探索兩直線的位置關(guān)系。
（2）利用幾何畫板探究平面直角坐標系的有關(guān)知識及其應(yīng)用。
（3）利用幾何畫板學(xué)習(xí)三角形有關(guān)概念，探究多邊形的內(nèi)角和。
八年級：（1）利用幾何畫板的畫圖功能畫反比例函數(shù)的圖像。
（2）利用幾何畫板的動態(tài)功能探索反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)。
（3）利用幾何畫板學(xué)習(xí)三角形的重心。
（4）利用幾何畫板進行分式方程的應(yīng)用-行程問題的教學(xué)。
九年級：（1）探索二次函數(shù)的性質(zhì)。
1）畫二次函數(shù)y=ax2的圖像，通過系數(shù)a的變化總結(jié)二次函數(shù)圖像-拋物線開口大小的變化規(guī)律。
2） 利用幾何畫板的作圖功能及動態(tài)效果讓學(xué)生比較y=ax2與y=a（x- h）2及y=ax2與y=ax2+k的變化。學(xué)生通過觀察、比較，總結(jié)平面直角坐標系中平移規(guī)律。
3）探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。
（2）探究相似三角形和位似。
1）利用幾何畫板演示三角形中一條直線的平移的動態(tài)過程，歸納相似三角形的幾種基本圖形，進而總結(jié)相似三角形的推理方法。
2）利用幾何畫板研究幾何中的動點問題。
3）利用幾何畫板探索位似的性質(zhì)。
3.取得的成績
通過一年來課題組全體成員的共同努力，我們?nèi)〉昧溯^好的效果。我們課題組成員積極進行研究，并把研究成果寫成論文。王時玲、和錫超、貫琦睜、潘洪慶的論文都在縣級論文評比中獲得了一等獎。信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課有機、有效整合在學(xué)生信息素養(yǎng)、自主學(xué)習(xí)能力、與人合作能力、處理問題、解決問題等諸能力的培養(yǎng)方面發(fā)揮其不可比擬的優(yōu)勢，其直接作用就是提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。
4.反思與不足
隨著時代的發(fā)展，技術(shù)的進步，人們的生活方式、學(xué)習(xí)方式正發(fā)生著深刻變革，向著信息化和網(wǎng)絡(luò)化的趨勢邁進。信息時代數(shù)學(xué)教學(xué)具有兩重性，兼具抽象的邏輯思維與實驗數(shù)學(xué)的屬性。信息技術(shù)的應(yīng)用為實驗數(shù)學(xué)開辟了廣闊的前景，促進了數(shù)學(xué)形態(tài)向?qū)W生可接受的教育形態(tài)發(fā)展。
《初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略》中指出數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。因此我們參與新課程下信息技術(shù)有效促進數(shù)學(xué)教學(xué)的研究。
信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合是培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和學(xué)習(xí)能力的有效方法，是提高教學(xué)效率的重要途徑。教師在教學(xué)中利用信息技術(shù)，提高學(xué)生與老師的合作、探究和反思能力，豐富了學(xué)生的想象力，激發(fā)了他們積極的思維。把信息技術(shù)從學(xué)習(xí)對象變?yōu)閷W(xué)習(xí)工具，不斷地進行反思，力求信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)整合的科學(xué)性、有效性。
由于我們南橋鎮(zhèn)地處蘇魯交界處，外出打工的很普遍，留守兒童多，留守兒童由于缺乏家庭教育，自治能力較差，管理起來十分困難，工作難度增大。這是課題研究過程中存在的一大不利因素。
5.今后的努力方向和打算
不難看出，這一嚴格定義涵蓋了參考文獻中極值點偏移的概念.但是，其屬性的詳盡研究已超出了初等數(shù)學(xué)范疇，為在現(xiàn)有的初等數(shù)學(xué)范圍中探討之，需要在數(shù)形結(jié)合的思想下使用簡化的概念.
因此，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)實際內(nèi)容，本文定義如下極值點偏移的簡化概念，并在現(xiàn)有初等數(shù)學(xué)意義上做一些探析.
簡化定義設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f（a）=f（b），并在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個極小值點x0.若對于任意x∈（0，x0-a）∩（0，b-x0）即0
注1對于極大值點的偏移，只需考察負值函數(shù)的極小值點偏移.
注2按簡化定義，函數(shù)f（x）在極小值點x0鄰近的左邊值f（x0-x）大于或小于右邊值f（x0+x）時，x0左或右偏移，其數(shù)形結(jié)合的特點十分明顯.因此，考察f（x0-x）與f（x0+x）的大小或f（x0-x）-f（x0+x）的符號是十分自然的思路與方法.
文[1]將極值點發(fā)生偏移理解為函數(shù)在極值點左右增減速不同，導(dǎo)致函數(shù)失去對稱性.事實上，當左側(cè)的減速大于右側(cè)的增速時，可理解為f（x0-x）-f[JB（（]x0[JB））]>f（x0+x）-f（x0），即f（x0-x）>f（x0+x）.依上述定義，極小值點x0向左偏移.當左側(cè)的減速小于右側(cè)的增速時，可理解為f（x0-x）-f[JB（（]x0[JB））]
文[2]在數(shù)形結(jié)合的思想下，歸納出的結(jié)論正是本文的簡化定義，但并未將其歸結(jié)成初等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)極值點偏移現(xiàn)象的本質(zhì).
文[2]、[3]的結(jié)論中假定f（a）=f（b）=0是不適當?shù)?，因為許多函數(shù)圖像不與x軸相交，但仍有極值點偏移問題.
如在前述嚴格定義的基礎(chǔ)上，融合數(shù)形結(jié)合的思想，可得出如下初等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)的結(jié)論.
結(jié)論1設(shè)區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f（a）=f（b），并且只有一個極小值點x0.
（1）若f（a）
（2）若f（a）>f（2x0-b），則函數(shù)f（x）極值點x0右偏移.
證明由函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)只有一個極小值點x0可知，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，x0），單調(diào)遞增區(qū)間為（x0，+∞）.
由此可判定，極值點x0分別左偏移或右偏移.
注3結(jié)論1、2在一定意義上刻畫了極值點偏移的本質(zhì).
值得一提的是，初等數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的方法并不是一種嚴格推理論證的數(shù)學(xué)思想方法，而是一種利用幾何特點輔推理的方法，只適用于初等數(shù)學(xué)范疇.
如右圖所示函數(shù)，隨著所考慮的區(qū)間改變，極小值點偏移的類型也在改變（甚至是不偏移的）：極小值點x0在區(qū)間（a，b）內(nèi)右偏移，在區(qū)間（c，d）內(nèi)左偏移.
因此，從嚴格數(shù)學(xué)意x上講，極值點偏移不是確定的概念，只適合在初等數(shù)學(xué)中用數(shù)形結(jié)合的思想去考察.本文的簡化定義，賦予了極值點偏移問題更加直觀、形象的理解，以及易于處理的思路.
參考文獻
我想這個不好搞也許是數(shù)學(xué)教育搞錯了，數(shù)學(xué)教育喜歡深挖，直到把人挖得精疲力竭為止。其實數(shù)學(xué)不是那么可怕，只是我們把有意思的部分選擇性忽略罷了。
我一直想一件事情，就是把生活數(shù)字化，這其實是可能的，但是我沒有掌握。本身我們生活的世界就是一個數(shù)學(xué)世界，只是很多東西我們尚未數(shù)字化而已。比如我們的收入和支出，比如我們的家庭用具，再比如我們做選擇考慮的利益取向。這些都可以用數(shù)學(xué)去描述。我有時想起來覺得這個事情很有意思，只是常常又覺得無從下手，因為不是所有的數(shù)字都會在行為的當下立馬呈現(xiàn)出來，也不是呈現(xiàn)出來就都很重要，而且你必須要主動去記下來，可是這又極其的麻煩，時間長了確實可以做出很漂亮的表，但是又覺得得不償失。不過我們生活在數(shù)學(xué)世界的一個佐證是，計算機的世界就是由1和0兩個數(shù)字構(gòu)建起來的虛擬空間。
而實際上數(shù)學(xué)家是發(fā)現(xiàn)了很多有意思的數(shù)學(xué)存在的，比如黃金分割數(shù)以及迷宮、魔方，等。在發(fā)現(xiàn)這些東西的時候，數(shù)學(xué)家一點也沒有感覺到枯燥乏味，而是充滿發(fā)現(xiàn)一個未知領(lǐng)域的興奮。
我認為數(shù)學(xué)除了可以分為代數(shù)、幾何、拓撲、混沌、羅曼幾何、集合、概率、虛數(shù)、三角幾何、數(shù)論……這些數(shù)不勝數(shù)的而且無窮盡的分類之外，還可以用新的分類，便于建立對數(shù)學(xué)的興趣。
那就是：運算系統(tǒng)、對應(yīng)法則系統(tǒng)、數(shù)的系統(tǒng)、邏輯系統(tǒng)。
運算法則系統(tǒng)就是加、減、乘、除。這是最基本的系統(tǒng)，和邏輯沒有關(guān)系，只有對錯之分。但是掌握運算法則系統(tǒng)很簡單，只要你知道加減乘除就可以，而實際上在做題時算錯很少是直接由運算系統(tǒng)沒有掌握引起的，就像5乘以5很少有人會算錯，錯是錯在邏輯沒有理清楚。
邏輯系統(tǒng)包括：同一律、排中律、矛盾律、充足理由律，四條基本邏輯規(guī)律。其實還不是如此簡單，因為具體運算是數(shù)字的相互作用，不是概念的相互作用。其實邏輯系統(tǒng)包括在數(shù)學(xué)分類之中，比如三角函數(shù)的邏輯系統(tǒng)、虛數(shù)的邏輯系統(tǒng)、微積分的邏輯系統(tǒng)、數(shù)論邏輯系統(tǒng)、混沌邏輯系統(tǒng)……每個系統(tǒng)都是封閉的，有各自的邏輯起作用。很多時候說做錯題了，其實重要原因就是邏輯系統(tǒng)沒有掌握好，那么邏輯系統(tǒng)有沒有掌握好的標準是什么呢？那就是對應(yīng)法則。
我覺得一個人掌握數(shù)學(xué)的高低最根本的就是他能掌握多少對應(yīng)法則，以及其相互關(guān)系。比如：一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)……，每個函數(shù)都有類似的結(jié)構(gòu)，但是其演化出來的對應(yīng)法則隨著參數(shù)的變化是無數(shù)多個的，比如最基本的y=ax＋b,光是a就有無數(shù)種可能，每個可能都是一條對應(yīng)法則。
這樣，當看到數(shù)學(xué)成績很悲催的時候不要覺得是馬虎造成的，馬虎是運算系統(tǒng)掌握出了錯，比如5乘以5得數(shù)算成26，一般出錯是因為邏輯含糊導(dǎo)致緊張才出現(xiàn)運算問題，因為基本運算在小學(xué)4年級基本就沒問題了。
數(shù)學(xué)對于現(xiàn)代生活的重要性不是體現(xiàn)在運算上，而是理解上。確實，你不需要計算那么復(fù)雜的微積分，但是當你看到股票漲跌的時候，是通過數(shù)軸上的曲線領(lǐng)悟的，而且不光是看到表面還要看到曲線背后的本質(zhì)，是什么因素影響著曲線變化？當然，各種分析可能紛繁復(fù)雜，多數(shù)是無效信息，你還得必須自己分辨出哪些信息是有用的，哪些信息是無用的，甚至自己判斷信息推斷結(jié)果，也就是每個因素對股票影響的權(quán)重是不一樣的。那么你能說數(shù)學(xué)毫無用處嗎？當然不是。
還是拿股票曲線為例，很多人熱衷于神秘主義，但是有限，其中最顯著的是波動理論，確實股票是很像水波，但是你如果看到的不是波紋而是風(fēng)，甚至不是風(fēng)而是地震，那么波動就不是那么可怕的了。
股票曲線的規(guī)律確實很有意思，最少它絕不可能是一個自變量決定的，因此精確預(yù)測非常困難，數(shù)學(xué)中你得到一個確定的結(jié)果需要所有其他未知數(shù)確定，只要有一個未確定，那么這條曲線就是一條平滑和連續(xù)的曲線，而股票呈現(xiàn)的絕不是平滑和連續(xù)的曲線，可見其未知數(shù)是很多的，哪能精確計算呢？所以看表面不如看其背后的參與者，漲跌、買賣、莊家和散戶、政策和現(xiàn)狀……這些才是股票規(guī)律的決定因素。
除了股票，你能看到的圖表真是太多了，如果不學(xué)一點數(shù)學(xué)是不可能的。不說那些統(tǒng)計數(shù)據(jù)，就說做生意想做大也必須要有數(shù)學(xué)敏感。所以現(xiàn)實中的數(shù)學(xué)不是你能掌握多少條對應(yīng)法則，而是你需要理解多少現(xiàn)實背后的本質(zhì)，這些本質(zhì)影響著你能不能抓住重要的，而不是為那些不重要的東西搞得垂頭喪氣。
