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時(shí)間：2023-03-17 18:11:06
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一、在多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)中滲透數(shù)學(xué)文化
為了更好地在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，教師可以開(kāi)展多樣化的數(shù)學(xué)文化活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中加深對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在教學(xué)中，教師可以開(kāi)展數(shù)學(xué)技能比賽、數(shù)學(xué)創(chuàng)意展示活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中對(duì)數(shù)學(xué)文化有進(jìn)一步的了解，從中領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵。比如，教師可以結(jié)合“七巧板“”找次品”等活動(dòng)開(kāi)展數(shù)學(xué)游戲。以開(kāi)展“七巧板”游戲?yàn)槔?，教師可以先講解七巧板的由來(lái)，然后組織學(xué)生開(kāi)展七巧板拼圖競(jìng)技活動(dòng)，讓學(xué)生在操作中探索七巧板的奧妙，發(fā)展學(xué)生的思維，并在動(dòng)手活動(dòng)中將學(xué)生引入有趣的數(shù)學(xué)世界。在玩七巧板游戲時(shí)，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生玩五子棋、魔方等游戲，將這些有策略性的數(shù)學(xué)游戲活動(dòng)與數(shù)學(xué)文化融合起來(lái)，有利于學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。再如，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)演變史、加減符號(hào)演變史、除號(hào)演變史等內(nèi)容時(shí)，教師可以組織學(xué)生將“符號(hào)的演變史”作為主要內(nèi)容，同時(shí)制作一份小報(bào)紙。在制作小報(bào)紙的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)各種方式搜集與符號(hào)演變史相關(guān)的材料，從而對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的由來(lái)和歷史都有明確的認(rèn)知，并形成一個(gè)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這樣不僅有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，還能夠有效地滲透數(shù)學(xué)文化。
二、在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中滲透數(shù)學(xué)文化
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題是一個(gè)重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，它是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有效運(yùn)用的過(guò)程。因此，教師可以在解題過(guò)程中有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生獲得正確解題的方法和技能，意識(shí)到其中蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)文化，在潛移默化中受到數(shù)學(xué)文化的熏陶。以解答題目“12+14+……+1128”為例，假如用通分的辦法計(jì)算，過(guò)程會(huì)非常復(fù)雜，計(jì)算結(jié)果也未必正確。此時(shí)，教師可以用圖形來(lái)表示，這樣就能夠快速地解決問(wèn)題了。將一個(gè)正方形看作單位“1”，連續(xù)對(duì)這個(gè)正方形進(jìn)行平分，計(jì)算結(jié)果用陰影表示。學(xué)生在畫圖時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，用加法運(yùn)算的話，后面的加數(shù)分別是前面加數(shù)的一半，計(jì)算結(jié)果就是在第一個(gè)加數(shù)的基礎(chǔ)上乘以2，然后再減去后一個(gè)加數(shù)。運(yùn)用數(shù)形相結(jié)合的辦法進(jìn)行計(jì)算，復(fù)雜的問(wèn)題立刻變得簡(jiǎn)單，而學(xué)生也能夠掌握計(jì)算規(guī)律，更好地把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。在這個(gè)教學(xué)案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生用圖形代替計(jì)算，無(wú)形中將數(shù)學(xué)解題技巧及數(shù)學(xué)思想滲透到解題過(guò)程中，使學(xué)生輕易找出了解題的辦法，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，挖掘了數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。
作者：李偉群 單位：廣東省中山市小欖鎮(zhèn)菊城小學(xué)
《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》在基本理念中充分肯定了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，特別是在“課程實(shí)施建議”的“教材編寫建議”中指出，教材可以在適當(dāng)?shù)牡胤浇榻B有關(guān)的數(shù)學(xué)背景知識(shí)（數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)趣聞與數(shù)學(xué)史料）。而《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》則進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。為此，高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對(duì)‘?dāng)?shù)學(xué)文化’的學(xué)習(xí)要求，設(shè)立‘?dāng)?shù)學(xué)史選講’等專題。”可見(jiàn)，數(shù)學(xué)文化已逐步從理念走進(jìn)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂。如何使數(shù)學(xué)文化真正走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，一個(gè)比較現(xiàn)實(shí)的做法是使之融入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中。這不僅要重視數(shù)學(xué)學(xué)科本身的文化價(jià)值，還要探討學(xué)生的文化認(rèn)知特點(diǎn)，對(duì)文化、數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)三者之間的內(nèi)在聯(lián)系做深入的考察。
一、高中學(xué)生的文化認(rèn)知特點(diǎn)
根據(jù)維果茨基的“文化發(fā)展的一般發(fā)生學(xué)原理”：兒童的文化發(fā)展所有機(jī)能出現(xiàn)兩次或兩個(gè)層面，先是社會(huì)層面，接著是心理層面。首先它作為心理間的范疇出現(xiàn)在人們之間，然后作為心理內(nèi)的范疇進(jìn)入兒童中。[1]可見(jiàn)，從文化的視角剖析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，至少要采用社會(huì)學(xué)和心理學(xué)的觀點(diǎn)。
（一）同喻性
一個(gè)時(shí)代文化環(huán)境的形成離不開(kāi)文化的傳遞機(jī)制。美國(guó)人類學(xué)家瑪格麗特·米德從研究人類社會(huì)文化傳遞的差異出發(fā)，將人類的文化變遷劃分為三個(gè)部分：后喻文化、同喻文化和前喻文化，其中同喻文化是指學(xué)習(xí)主要發(fā)生在同輩人之間，其基本特點(diǎn)是以當(dāng)代流行的行為模式作為自己的行為準(zhǔn)則。今天的高中學(xué)生帶有同喻文化的特征。
高中學(xué)生的同伴影響逐步擴(kuò)大。我國(guó)絕大部分高中學(xué)生是獨(dú)生子女，在家里缺乏可以溝通的兄弟姐妹。而在多數(shù)中學(xué)，一個(gè)班級(jí)通常有四五十人之多。家庭和學(xué)校之間存在著的差異使他們更傾向于在學(xué)校群體生活中表達(dá)和交流自己的思想，同齡人的觀念、行為對(duì)他們產(chǎn)生較大的影響。
中學(xué)教師的長(zhǎng)輩角色正在淡化。社會(huì)的迅猛發(fā)展，使教師再也無(wú)法通過(guò)施加壓力來(lái)傳播舊的文化觀念，原來(lái)的自上而下的教育模式已失去了部分魅力，許多青年人通過(guò)自己摸索和感受萌生了前人未曾有過(guò)的想法和期望。特別是高中學(xué)生，由于知識(shí)的增長(zhǎng)及心理的逐漸成熟，開(kāi)始比較多地從個(gè)體存在與發(fā)展的角度來(lái)思考社會(huì)與人生，他們已經(jīng)不可能也不必完全照搬前輩的經(jīng)驗(yàn)去刻畫自己的人生軌跡。那種后喻文化中說(shuō)教式的思想教育方式，比以往更不容易為學(xué)生所接受。
作為文化的數(shù)學(xué)正以學(xué)生樂(lè)于認(rèn)同的方式被傳播。數(shù)學(xué)具備文化獨(dú)有的特性：它是延續(xù)人類思想的一種工具，是描述世界圖式的有力助手，精確的形式化、簡(jiǎn)潔的符號(hào)表征常常被成功地運(yùn)用到其他科學(xué)領(lǐng)域。伴隨著科學(xué)技術(shù)在社會(huì)生活領(lǐng)域的不斷滲透，學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)聯(lián)系數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)新課程背景下，一些密切聯(lián)系學(xué)生生活的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)入高中教材。網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的普及使學(xué)生得以快速了解大量知識(shí)。不斷拓寬的信息通道，活潑平易的呈現(xiàn)方式，使數(shù)學(xué)有機(jī)會(huì)向?qū)W生展示它人文的一面。
（二）不均衡性
人的認(rèn)知源于人與大自然、與社會(huì)和文化之間的相互作用，其發(fā)展又與個(gè)體內(nèi)部的認(rèn)知因素密切相關(guān)。由于學(xué)生的大量知識(shí)通過(guò)學(xué)校習(xí)得，他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在相當(dāng)程度上取決于學(xué)校所傳授的知識(shí)內(nèi)容及其形成過(guò)程。聯(lián)系我國(guó)目前高中教育的實(shí)際情況，學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)文化”的認(rèn)知存在如下問(wèn)題。
1.知識(shí)結(jié)構(gòu)的不均衡造成學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)”的文化感知產(chǎn)生偏差。學(xué)校的學(xué)科設(shè)置力求體現(xiàn)當(dāng)代人類知識(shí)的主要特征，現(xiàn)代人類知識(shí)總體結(jié)構(gòu)中，關(guān)于自然科學(xué)與技術(shù)科學(xué)的知識(shí)部門已大大超過(guò)了人文社會(huì)科學(xué)。人類6 000余種學(xué)科中，屬于科技類的知識(shí)約占總數(shù)的。與之相應(yīng)，我國(guó)普通高中課程雖然設(shè)置了政治、歷史和地理，但在學(xué)校的地位卻難以與數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)等相比。如果高一階段有若干可以機(jī)動(dòng)安排的課時(shí)，學(xué)校更愿意留給數(shù)理化等學(xué)科。由此造成的一個(gè)突出現(xiàn)象是，文、理科學(xué)生人數(shù)的差距巨大，尤其是經(jīng)濟(jì)較為發(fā)達(dá)的地區(qū)，如浙江省的文科學(xué)生通常只占同年級(jí)人數(shù)的左右。人文知識(shí)與科學(xué)知識(shí)的不均衡，使學(xué)生文化素養(yǎng)不夠全面，對(duì)待事物容易就事論事。有不少學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是確定的，數(shù)學(xué)問(wèn)題有且只有一個(gè)答案，學(xué)校中學(xué)到的數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中很少有價(jià)值。
2.組織結(jié)構(gòu)的不均衡導(dǎo)致學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)”的文化認(rèn)同出現(xiàn)逆差。人們重視科技教育而忽視人文教育，“不只表現(xiàn)在教育規(guī)模、教育結(jié)構(gòu)方面，更表現(xiàn)在課程與教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式方法方面，換句話說(shuō)，科技文化統(tǒng)治著學(xué)校教育，科技知識(shí)、理性思維廣泛而深入地影響和左右著學(xué)校教育教學(xué)過(guò)程”。[2]造成學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的組成方式不均衡。在中學(xué)界，幾乎所有的教師和學(xué)生都相當(dāng)重視數(shù)學(xué)，但他們對(duì)待數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)不同，其中不乏出于高考的壓力。由此帶來(lái)的負(fù)面影響是：教學(xué)中存在著重結(jié)果、重應(yīng)用的現(xiàn)象，忽略數(shù)學(xué)知識(shí)形成和發(fā)展的過(guò)程，知識(shí)的生成是快速的，知識(shí)之間連接的鏈條被機(jī)械地焊接，知識(shí)的運(yùn)用中充斥著大量的習(xí)題。在“現(xiàn)成的數(shù)學(xué)與做出來(lái)的數(shù)學(xué)”之間，很難將數(shù)學(xué)看成是人類的活動(dòng)。學(xué)生數(shù)學(xué)“學(xué)”得越多，對(duì)文化的認(rèn)同反而越少。
二、數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)形態(tài)
數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)融合的過(guò)程中，文化、數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)三者之間的內(nèi)在關(guān)系必以某種形態(tài)表現(xiàn)出來(lái)，而這些表現(xiàn)形態(tài)又將決定我們采取相應(yīng)的方式。在分析高中學(xué)生文化認(rèn)知特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，筆者將從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“文化”特征、文化學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)”課程以及數(shù)學(xué)文化的“學(xué)習(xí)”過(guò)程三個(gè)方面探討數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)形態(tài)。
（一）群體的活動(dòng)性
群體與活動(dòng)是數(shù)學(xué)文化進(jìn)入數(shù)學(xué)教育過(guò)程的直接表現(xiàn)。一旦我們以文化的理念開(kāi)展數(shù)學(xué)教育，這種表現(xiàn)形態(tài)便應(yīng)運(yùn)而生。
其一，數(shù)學(xué)教育的文化觀強(qiáng)調(diào)學(xué)生以活動(dòng)的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。
數(shù)學(xué)作為人們描述客觀世界的一種量化模式，它當(dāng)然是人類文化的一個(gè)組成部分。在承認(rèn)這一“客觀性”的基礎(chǔ)上，相對(duì)于認(rèn)識(shí)主體而言，數(shù)學(xué)對(duì)象終究不是物質(zhì)世界中的真實(shí)存在，而是抽象思維的產(chǎn)物，它是一種人為約定的規(guī)則系統(tǒng)。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)的文化觀念不僅承認(rèn)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)方面的應(yīng)用，還強(qiáng)調(diào)“人”在數(shù)學(xué)文化體系形成過(guò)程中的能動(dòng)作用。美國(guó)文化學(xué)家克羅伯和克拉克洪在文化的界定中指出：“文化體系一方面可以看作是活動(dòng)的產(chǎn)物，另一方面是進(jìn)一步活動(dòng)的決定因素?！边@說(shuō)明人的主觀能動(dòng)性主要表現(xiàn)在活動(dòng)的參與中，通過(guò)活動(dòng)，使知識(shí)學(xué)習(xí)與精神教化自然地結(jié)合起來(lái)。并且，數(shù)學(xué)文化的滲透性具有內(nèi)在和外顯兩種方式，其內(nèi)在方式表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的理性精神對(duì)人類思維的深刻滲透力。因而，在數(shù)學(xué)教育中，教師應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生的主體地位，通過(guò)學(xué)生的主動(dòng)參與，發(fā)揮數(shù)學(xué)在精神領(lǐng)域上的教育功效。
其二，文化意義上的數(shù)學(xué)教育提倡群體的交流與合作。
文化的概念始終與群體、傳統(tǒng)等密切相關(guān)。在現(xiàn)代人類文化學(xué)的研究中，關(guān)于文化的一個(gè)較為流行的定義是：“由某種因素（居住地域、民族性、職業(yè)等）聯(lián)系起來(lái)的各個(gè)群體所特有的行為、觀念和態(tài)度等?！痹诂F(xiàn)代社會(huì)中，數(shù)學(xué)家顯然構(gòu)成了一個(gè)特殊群體──數(shù)學(xué)共同體，在數(shù)學(xué)共同體內(nèi)，每個(gè)數(shù)學(xué)家都必然地作為其中的一員從事自己的研究活動(dòng)，從而也就必然地處在一定的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)之中，個(gè)人的數(shù)學(xué)創(chuàng)造最終必須接受社會(huì)的裁決?！爸挥袨橄鄳?yīng)的社會(huì)共同體（即數(shù)學(xué)共同體）一致接受的數(shù)學(xué)概念才能真正成為數(shù)學(xué)的成分?！盵3]文化意義上的數(shù)學(xué)正是關(guān)注到了數(shù)學(xué)與整體性文化環(huán)境的關(guān)系，數(shù)學(xué)“不應(yīng)被等同于知識(shí)的簡(jiǎn)單匯集，而應(yīng)主要地被看成人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng)，一種以‘?dāng)?shù)學(xué)共同體’為主體，并在一定環(huán)境中所從事的活動(dòng)?！盵4]
可見(jiàn)，一個(gè)富有生命力的數(shù)學(xué)知識(shí)，蘊(yùn)涵著一定的“社會(huì)性”。教科書上貌似明了的敘述，其實(shí)是經(jīng)過(guò)歷史蕩滌的精華，承載著復(fù)雜的文化背景。在學(xué)校教育的條件下，教師與學(xué)生自然構(gòu)成了一個(gè)“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)共同體”，雖然他們未必能發(fā)明或創(chuàng)造出新的理論，但面對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，各成員有著不同的行為、觀念和態(tài)度，這些差異常常在相同的時(shí)間聚集于同一個(gè)環(huán)境。鑒于高中學(xué)生文化認(rèn)知的同喻性，某個(gè)學(xué)生的見(jiàn)解需要接受共同體的評(píng)價(jià)才能被承認(rèn)，教師的教學(xué)內(nèi)容同樣需要經(jīng)過(guò)共同體的認(rèn)同才有可能真正被學(xué)生內(nèi)化。因此，從文化的角度來(lái)看，學(xué)校中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上是一種微觀的數(shù)學(xué)文化。
由于學(xué)生主要通過(guò)在教室中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，所以，數(shù)學(xué)文化教育的中心場(chǎng)所應(yīng)在教室。已有的國(guó)內(nèi)外研究表明，教師和學(xué)生所具有的各種與數(shù)學(xué)教學(xué)直接相關(guān)的觀點(diǎn)、信念等是影響數(shù)學(xué)教室文化的重要因素，彼此的數(shù)學(xué)交流與合作是構(gòu)建教室文化的主體部分。近幾年來(lái)，現(xiàn)代教育學(xué)正將這種相互交換想法的學(xué)習(xí)（即互惠性學(xué)習(xí)reciprocal learning）當(dāng)做未來(lái)學(xué)習(xí)的模式，作為建構(gòu)新的教室文化的指標(biāo)。
（二）系統(tǒng)的開(kāi)放性
群體的活動(dòng)顯然可以貼切地表現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“文化”特性，但這些活動(dòng)始終在“數(shù)學(xué)”范疇內(nèi)展開(kāi)。我們有必要探究高中數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)。
從文化傳承上看，高中數(shù)學(xué)課程具有組織構(gòu)成的開(kāi)放性，主要表現(xiàn)為它與社會(huì)生活及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)聯(lián)系。作為人類文化的一個(gè)子系統(tǒng)，數(shù)學(xué)并不是一個(gè)完全封閉的系統(tǒng)，外部力量對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展也起著決定性作用。例如，二次世界大戰(zhàn)就曾促進(jìn)了系統(tǒng)分析、博弈論、運(yùn)籌學(xué)和信息論等學(xué)科的研究。雖然高中數(shù)學(xué)課程有別于一般意義上的數(shù)學(xué)，出于教育的目的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了重新整合，但這種“教育加工”仍然要盡量地展示數(shù)學(xué)科學(xué)的原貌，以達(dá)到文化傳承的目的。我們可以看到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些分支等正逐步地進(jìn)入高中教材。雖然外部力量對(duì)基礎(chǔ)教育階段的中學(xué)數(shù)學(xué)課程沒(méi)有如此巨大的影響，但它們表明了數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用價(jià)值，從而為高中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)的開(kāi)放性給出了有力的證明。例如，教材中的有限與無(wú)限、隨機(jī)與確定、結(jié)構(gòu)與算法等都與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)有聯(lián)系，而數(shù)列、線性規(guī)劃等直接地涉及學(xué)生的社會(huì)生活。
從文化傳播上看，高中數(shù)學(xué)課程具有觀念整合的開(kāi)放性，通過(guò)課程的活化促進(jìn)文化增殖。數(shù)學(xué)課程中內(nèi)容的選擇、編寫乃至實(shí)踐，不可避免地受到各種社會(huì)、文化與觀念等要素的影響，從而在傳播的過(guò)程中產(chǎn)生文化的擴(kuò)展和延伸。課程作為文化傳播的一種手段，并不是簡(jiǎn)單地復(fù)制，更主要的是通過(guò)文化增殖起到一種強(qiáng)烈的活化作用。在中學(xué)階段，雖然各位教師面對(duì)的是同一本教材，但教師總是要根據(jù)具體教學(xué)過(guò)程的需要進(jìn)行具體的再加工，而這種加工的過(guò)程又必然會(huì)溶進(jìn)每個(gè)教師特有的個(gè)性因素，滲透著教師本人的世界觀，體現(xiàn)他的精神面貌并以此對(duì)學(xué)習(xí)者產(chǎn)生影響。同時(shí)，由于學(xué)生個(gè)體素質(zhì)的多樣性，即使是由同一位教師傳遞并且傳遞的文化實(shí)質(zhì)完全相同，對(duì)每個(gè)學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，文化信息的接受也存在著差異。[3]
從文化傳遞上看，高中數(shù)學(xué)課程具有整體效能的開(kāi)放性，通過(guò)系統(tǒng)屬性的聯(lián)合作用，發(fā)揮出“整體大于部分和”的功效。在高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)部，各子系統(tǒng)既保持著縱向的知識(shí)序，又維系著橫向的方法序。例如，從指數(shù)函數(shù)到對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)到反三角函數(shù)，這些知識(shí)被有序地排列著，它們之間借助反函數(shù)融為一體，利用數(shù)形結(jié)合的方法，生動(dòng)地刻畫出函數(shù)的性質(zhì)。在其外部，高中數(shù)學(xué)課程以工具性學(xué)科的地位與其他中學(xué)“友鄰”課程形成協(xié)同關(guān)系?！皵?shù)學(xué)課程向‘友鄰’課程提供知識(shí)和智能方面的儲(chǔ)備工具，又從‘友鄰’課程那里獲得需求信息、實(shí)證材料、強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)學(xué)智能的場(chǎng)所?！盵5]例如，函數(shù)與物理的勢(shì)能、立體幾何與化學(xué)的分子結(jié)構(gòu)、排列組合與生物的基因分析、對(duì)稱與語(yǔ)文的對(duì)偶等。
文化與課程的關(guān)系表明，高中數(shù)學(xué)課程是一個(gè)開(kāi)放的文化體系。作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，要在教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，要對(duì)“數(shù)學(xué)”有正確的認(rèn)識(shí)，那就是：是整體的數(shù)學(xué)，而不是分散、孤立的各個(gè)分支；是廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)，而不僅是象牙塔里的嚴(yán)密體系；是與其他科學(xué)密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)，而不是純而又純的抽象理念。
（三）知識(shí)的默會(huì)性
對(duì)群體活動(dòng)與數(shù)學(xué)課程的考察，有助于我們把握數(shù)學(xué)文化表現(xiàn)形態(tài)的總體脈絡(luò)，但數(shù)學(xué)文化必須通過(guò)學(xué)習(xí)才能被學(xué)生領(lǐng)悟。由于文化由外顯的和內(nèi)隱的行為模式構(gòu)成，作為文化的數(shù)學(xué)與作為科學(xué)的數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)過(guò)程中也有所不同。
科學(xué)的數(shù)學(xué)追求完全確定的知識(shí)、精確的運(yùn)算與嚴(yán)密的推理，追求用簡(jiǎn)單且抽象的語(yǔ)言來(lái)描述客觀世界的規(guī)律。在客觀主義知識(shí)觀、科學(xué)觀的支配下，人們過(guò)多地強(qiáng)調(diào)知識(shí)的客觀性、非個(gè)體性、完全的明確性等等，出現(xiàn)了“人的隱退”現(xiàn)象。
其實(shí)，知識(shí)并不是孤立的、靜態(tài)的、純形式邏輯的，而是常常與人休戚相關(guān)的?！白匀豢茖W(xué)與人文科學(xué)一樣，充滿著人性因素，科學(xué)實(shí)質(zhì)上是一種人性化的科學(xué)?！盵6]在國(guó)際哲學(xué)界以創(chuàng)立意會(huì)認(rèn)知理論（Tacit Knowing）而聞名的英國(guó)物理化學(xué)家和哲學(xué)家波蘭尼從“我們所知道的要比我們所能言傳的多”出發(fā)，把人類的知識(shí)分為明言知識(shí)與默會(huì)知識(shí)。明言知識(shí)指以書面、圖表和數(shù)學(xué)公式加以表述的知識(shí)，默會(huì)知識(shí)是指未被表述的、我們知道但難以言傳的知識(shí)，例如，我們?cè)谧瞿呈碌男袆?dòng)中所擁有的知識(shí)。波蘭尼認(rèn)為：“在非言傳的‘意會(huì)’認(rèn)知層面，科學(xué)與人文是相通的?！盵7]
既然這種默會(huì)知識(shí)藏于內(nèi)心，無(wú)法用明確的規(guī)則來(lái)表達(dá)，那么該怎樣學(xué)習(xí)傳授呢？波蘭尼指出：“通過(guò)了解同樣活動(dòng)的全過(guò)程，我們才能了解另一個(gè)人的內(nèi)心東西。”基于高中學(xué)生的文化認(rèn)知特點(diǎn)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)際情況，我們可以通過(guò)以下方式突出數(shù)學(xué)知識(shí)中的“人性”。
1.客觀對(duì)象“數(shù)學(xué)化”。弗賴登塔爾曾言：“我們的教育應(yīng)當(dāng)為青年人創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓他們通過(guò)自己的活動(dòng)來(lái)獲得文化遺產(chǎn)?！睂?duì)學(xué)生而言，“學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法是做?！盵8]通過(guò)“做”數(shù)學(xué)，“學(xué)生和學(xué)生之間的相互作用真實(shí)地反映了在數(shù)學(xué)課堂中形成的文化：具體的教師、具體的學(xué)生以及正在形成的具體的‘?dāng)?shù)學(xué)化’?！?/p>
2.數(shù)學(xué)解題“擬人化”。從文化的角度審視數(shù)學(xué)解題過(guò)程，它是策略創(chuàng)造與邏輯材料、技巧性與程式化的有機(jī)結(jié)合，是一個(gè)有序結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一體，它與數(shù)學(xué)的特征相一致，隱含著數(shù)學(xué)家的思維方式，從而使解題超越了數(shù)學(xué)思維活動(dòng)本身的范圍，進(jìn)一步延伸到文化道德、思想修養(yǎng)的素質(zhì)范疇。G·波利亞的《怎樣解題》中包含了程序化的解題系統(tǒng)、啟發(fā)式的過(guò)程分析、開(kāi)放型的念頭誘發(fā)及探索性的問(wèn)題轉(zhuǎn)換等，字里行間不時(shí)地涌現(xiàn)出諸如“如果你有一個(gè)念頭，你是夠幸運(yùn)的了”“好的題目和某種蘑菇有點(diǎn)相似，它們都成串生長(zhǎng)”“呆頭呆腦地干等著某個(gè)念頭的降臨”這些平和的話語(yǔ)，使讀者不知不覺(jué)間置身其中，一些解題外的感受也油然而生。優(yōu)秀學(xué)生對(duì)解題感興趣，更多時(shí)候像在做游戲，說(shuō)明數(shù)學(xué)習(xí)題中蘊(yùn)涵著很多人性化的品質(zhì)──題中尋趣，在于換個(gè)角度看問(wèn)題。
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傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)常常只將重點(diǎn)放在知識(shí)與技能的傳授方面，而在培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)這一門學(xué)科的文化內(nèi)涵、思想體系的認(rèn)識(shí)上往往重視不夠.這種教學(xué)的結(jié)果常常使學(xué)生感到枯燥無(wú)味而失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的熱情與興趣.而且，隨著人們文化水平的不斷提高與對(duì)數(shù)學(xué)文化知識(shí)重要性的不斷了解，其巨大的教育價(jià)值更加受到教育工作者的重視.
數(shù)學(xué)課程應(yīng)該是數(shù)學(xué)歷史及發(fā)展趨勢(shì)以及對(duì)人類文明發(fā)展作用的反映.張奠宙教授曾強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)文化應(yīng)當(dāng)與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，使學(xué)生在實(shí)際教學(xué)中真正感受數(shù)學(xué)文化并與之產(chǎn)生共鳴.在推崇綜合發(fā)展、文理交融的現(xiàn)代社會(huì)，我們更要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，將數(shù)學(xué)文化與大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)很好地結(jié)合在一起.
二、數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵及其對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性
“國(guó)家級(jí)教學(xué)名師”、南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院院長(zhǎng)顧沛教授對(duì)數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的定義分為：數(shù)學(xué)文化從狹義來(lái)講，指的是數(shù)學(xué)思想、方法、精神、語(yǔ)言、觀點(diǎn)及其形成與發(fā)展；從廣義上來(lái)講，還包括數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)與其他文化的關(guān)系.大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅是向?qū)W生傳授知識(shí)，更應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)社會(huì)發(fā)展所必需的判斷力、理解力以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力，最大可能地激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力.所以，現(xiàn)代大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)將更多的精力傾注在學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)上，而這個(gè)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)就是要將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)結(jié)合起來(lái).
三、如何將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)有效相結(jié)合
1.更新教師教育觀念，提高其文化素養(yǎng)
教師更新數(shù)學(xué)教學(xué)觀念，提高自身文化素養(yǎng)，是傳授數(shù)學(xué)文化學(xué)生的前提條件.現(xiàn)代的大學(xué)教師不僅要專業(yè)知識(shí)扎實(shí)，而且要知識(shí)面足夠?qū)拸V，對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)史等方面的基本知識(shí)足夠熟悉，掌握高等數(shù)學(xué)的歷史背景、發(fā)展現(xiàn)狀、應(yīng)用價(jià)值與前景，并能將課程知識(shí)與這些知識(shí)很好地融合后再傳授給學(xué)生.具體來(lái)說(shuō)，應(yīng)做好以下幾方面的工作.
首先，教師應(yīng)深入鉆研教材，合理組織教學(xué)，加強(qiáng)與其他專業(yè)老師的合作.由于所有教材都有其缺點(diǎn)，因此在備課過(guò)程中教師應(yīng)盡可能地參考多種教材，選擇優(yōu)秀部分進(jìn)行教學(xué).由于所教學(xué)生的專業(yè)不同，特點(diǎn)也不同，大學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時(shí)就應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的專業(yè)選擇內(nèi)容，根據(jù)專業(yè)需要的內(nèi)容進(jìn)行細(xì)講，而那些用不到的知識(shí)就可粗講甚至忽略.比如傅里葉級(jí)數(shù)這部分知識(shí)對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生的專業(yè)知識(shí)學(xué)習(xí)比較重要，因此應(yīng)進(jìn)行重點(diǎn)講解；在講解重點(diǎn)內(nèi)容時(shí)，還可以將人多的大課堂分成小班教學(xué)，并依據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)不同進(jìn)行合理教學(xué)，使所有學(xué)生都能很好地學(xué)到知識(shí).
其次，教師間也要重視對(duì)教學(xué)思路的探討，在進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容順序的安排時(shí)，既要遵循由淺入深、從特例引出一般的原則，又要具體情況具體分析.比如，由于微分與定積分、不定積分聯(lián)系非常密切，因此可以將定積分與不定積分合為一章，先講解定積分概念和性質(zhì)，然后依據(jù)微積分基本定理，建立定積分與不定積分（原函數(shù)）之間的聯(lián)系，最后講解基本積分法，這樣安排既方便學(xué)生理解，還能突出重點(diǎn).
2.優(yōu)化課堂教學(xué)內(nèi)容
第一，以數(shù)學(xué)內(nèi)容自身作為出發(fā)點(diǎn)，體現(xiàn)其文化價(jià)值.大學(xué)數(shù)學(xué)教育的最高境界是培養(yǎng)學(xué)生的理性精神.嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的數(shù)學(xué)知識(shí)，有益于學(xué)生形成團(tuán)結(jié)協(xié)作、踏實(shí)細(xì)微、嚴(yán)肅認(rèn)真的作風(fēng).數(shù)學(xué)中的常量與變量、有限與無(wú)限、微分與積分等都是量變與質(zhì)變、對(duì)立統(tǒng)一等辯證唯物主義的極好的教學(xué)材料，有助于學(xué)生形成科學(xué)的方法論與世界觀.
第二，讓學(xué)生多了解數(shù)學(xué)家的事跡與思維過(guò)程，以及數(shù)學(xué)的有關(guān)史料和應(yīng)用前景，使學(xué)生從中認(rèn)識(shí)到所有科學(xué)都是經(jīng)過(guò)認(rèn)識(shí)與再認(rèn)識(shí)、成功與失敗的循環(huán)往復(fù)才不斷發(fā)展的，科學(xué)上每一個(gè)小進(jìn)步都是科學(xué)家不懈努力、刻苦鉆研的結(jié)果，這將很好地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的非智力因素.以我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)為例，他學(xué)習(xí)的條件極端艱苦，但是仍然熱愛(ài)癡迷于數(shù)學(xué)，堅(jiān)持不懈地進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，最終攻克“哥德巴赫猜想”這一世界著名難題.通過(guò)這一事例必將激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)和獻(xiàn)身數(shù)學(xué)的精神.
第三，數(shù)學(xué)課程還應(yīng)重視數(shù)學(xué)史料的教學(xué)，反映出數(shù)學(xué)文化的方法、思想、精神、語(yǔ)言、工具的作用，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)容與日常工作生活相結(jié)合，突出思想方法與生活緊密聯(lián)系的原則，增加統(tǒng)計(jì)、估算、線性規(guī)則、數(shù)據(jù)分析、運(yùn)籌、圖論等知識(shí)，提高學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心與自覺(jué)性.
3.注重改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式
數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的是使學(xué)生掌握獨(dú)自學(xué)習(xí)的本領(lǐng)，而加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的教學(xué)能夠很好地提高學(xué)生的自學(xué)能力.一方面，引導(dǎo)學(xué)生多接觸和閱讀有關(guān)的論文與文化書籍，使學(xué)生首先對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展與應(yīng)用過(guò)程有一定了解，進(jìn)而更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意義，這樣在增加學(xué)生知識(shí)面的同時(shí)又使其學(xué)會(huì)了一定的自學(xué)方法.另一方面，增設(shè)一些活動(dòng)課與探討課，鼓勵(lì)學(xué)生積極走入社會(huì)，具體實(shí)踐過(guò)程可采用“提出問(wèn)題→建模→求解→應(yīng)用”的模式.鼓勵(lì)他們合作交流與自主探索，增強(qiáng)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的決心與愿望，提高他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力與意識(shí)，認(rèn)真體會(huì)到不同知識(shí)的聯(lián)系，得出研究問(wèn)題的科學(xué)方法與寶貴經(jīng)驗(yàn).
二、如何在信息化條件下進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)
工欲善其事必先利其器，教師若想充分利用信息化的成果，必然努力提升自己的計(jì)算機(jī)操作能力，熟悉常用數(shù)學(xué)軟件，了解最新信息產(chǎn)業(yè)動(dòng)態(tài)，將科學(xué)成果以最快的速度應(yīng)用于日常生活。
（一）設(shè)備教學(xué)
如今，多媒體教學(xué)在各校已較為普遍，教學(xué)實(shí)踐因此獲益頗多。多媒體教學(xué)為原本“死氣沉沉”的課堂增添了幾分激情與活力，更關(guān)鍵的是，課堂效率大大提高，學(xué)生學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)的熱情更加高漲。例如，在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中講立體幾何這一部分，很多學(xué)生空間想象能力極差，學(xué)習(xí)起來(lái)甚是吃力，不能夠?qū)ι婕傲Ⅲw幾何的知識(shí)有相對(duì)明晰的把握，而立體幾何對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，由于沒(méi)有合適的足夠的模型，講解的難度也比較大，尤其是個(gè)別題目的講解。從前教學(xué)的棘手難題，如今有了多媒體的幫助，可以說(shuō)是迎刃而解。無(wú)論遇到何種題目，3D模型均可以做到，學(xué)生也在一次次的演示中，逐步建立起空間想象能力。這種教學(xué)方法能夠使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，緊密聯(lián)系日常生活，使學(xué)生在生活中感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性，同時(shí)有利于學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。
（二）在線教學(xué)
現(xiàn)如今，各種網(wǎng)絡(luò)教學(xué)網(wǎng)站充斥互聯(lián)網(wǎng)。雖然水平參差不齊，但是，巨大的市場(chǎng)潛力無(wú)疑證明了潛在的趨勢(shì)性。網(wǎng)絡(luò)教學(xué)以其自由度高，不受時(shí)間與空間的限制，以及不必?fù)?dān)心口音、語(yǔ)速問(wèn)題而導(dǎo)致的聽(tīng)課效果欠佳等顯著優(yōu)勢(shì)而受到廣泛關(guān)注。數(shù)學(xué)教師有專業(yè)優(yōu)勢(shì)，有豐厚的經(jīng)驗(yàn)完全可以建立專門的教學(xué)網(wǎng)站，網(wǎng)站內(nèi)容主要涵蓋兩個(gè)方面：1.課堂內(nèi)容的提煉升華，課后習(xí)題的補(bǔ)充及詳細(xì)講解，以便于學(xué)生預(yù)習(xí)及復(fù)習(xí)。2.課堂知識(shí)的拓展，上傳名師教學(xué)視頻，補(bǔ)充學(xué)習(xí)背景資料。比如，定理研究中的小故事，數(shù)學(xué)家的逸聞趣事等等，加深對(duì)課堂知識(shí)的了解，增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。更為關(guān)鍵的是，通過(guò)在線網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)可以增強(qiáng)學(xué)生許多在課堂不能獲取的能力，現(xiàn)略舉幾例：（1）利用網(wǎng)絡(luò)獲取知識(shí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的習(xí)慣，教會(huì)其解決問(wèn)題的方法。（2）利用電腦構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，可以設(shè)置專欄教給學(xué)生如何用專業(yè)的軟件構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。（3）創(chuàng)造性思維，勤于鉆研。通過(guò)數(shù)學(xué)家的逸聞趣事，潛移默化培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。
（三）課堂教學(xué)
數(shù)學(xué)本身就是一門邏輯性和理論性非常強(qiáng)的科目，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程呈現(xiàn)出“死氣沉沉”的局面，不僅會(huì)影響學(xué)生學(xué)習(xí)的情緒，還直接影響著數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。倘若我們能夠充分利用多媒體的音、像、動(dòng)畫，增加課堂教學(xué)的沖擊力，甚至營(yíng)造一種獨(dú)特的教學(xué)氛圍，那么學(xué)生必然改變對(duì)數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)看法。只要能夠扭轉(zhuǎn)學(xué)生的觀念問(wèn)題，那么他們就能從根本上喜歡數(shù)學(xué)，愛(ài)上數(shù)學(xué)，那樣他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)才能逐漸有了自己的方法，養(yǎng)成好的習(xí)慣，最終提高數(shù)學(xué)成績(jī)。
二、小組合作式小班化數(shù)學(xué)教學(xué)的探究策略
1.把握探究時(shí)機(jī)，積極引入探究性課題
把握探究時(shí)機(jī)，適當(dāng)引入探究性課題，對(duì)小組合作式的小班化數(shù)學(xué)教學(xué)十分重要.那么最佳的探究時(shí)機(jī)是什么時(shí)候？筆者認(rèn)為當(dāng)某一個(gè)課題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定難度和挑戰(zhàn)性，自己無(wú)法獨(dú)立完成時(shí)；學(xué)生意見(jiàn)無(wú)法統(tǒng)一，出現(xiàn)多樣化答案時(shí)；當(dāng)數(shù)學(xué)知識(shí)出現(xiàn)某個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)或者是轉(zhuǎn)折點(diǎn)，需要學(xué)生主動(dòng)探求時(shí)；當(dāng)學(xué)生反映出交流欲望時(shí)，都是引入探究性課題的恰當(dāng)時(shí)機(jī).如在學(xué)習(xí)一元二次方程應(yīng)用時(shí)，銷售問(wèn)題是大多數(shù)學(xué)生公認(rèn)的難點(diǎn)，每當(dāng)遇到此類題型，他們就會(huì)出現(xiàn)不同程度的錯(cuò)誤，這時(shí)以這個(gè)難點(diǎn)為契機(jī)，引入探究性課題“怎樣賺錢”讓每個(gè)小組深入生活進(jìn)行體驗(yàn)，了解具體的銷售情況，通過(guò)實(shí)踐讓他們來(lái)解決一系列的數(shù)學(xué)問(wèn)題.這種抓住學(xué)生探究心理，選擇恰當(dāng)?shù)奶骄繒r(shí)機(jī)引入課題，會(huì)出現(xiàn)事半功倍的教學(xué)效果.
經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論分析框架由三個(gè)主要部分組成:視角(perspective)、參照系(reference)和分析工具(analyticaltools)。第一,現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)提供了從實(shí)際出發(fā)看問(wèn)題的視角。這些視角指導(dǎo)我們避開(kāi)細(xì)枝末節(jié),把注意力引向關(guān)鍵的、核心的問(wèn)題。經(jīng)濟(jì)學(xué)家看問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)通?；谌?xiàng)基本假設(shè):經(jīng)濟(jì)人的偏好、生產(chǎn)技術(shù)和制度約束下可供使用的資源稟賦。用經(jīng)濟(jì)學(xué)的視角看問(wèn)題,消費(fèi)者想買到物美價(jià)廉的商品,企業(yè)家想賺取利潤(rùn),都是很自然的。經(jīng)濟(jì)學(xué)就是要探討在個(gè)人自利動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)下,人們?nèi)绾卧诮o定的機(jī)制下互相作用,達(dá)到某種均衡狀態(tài),并且評(píng)估在此狀態(tài)下是否有可能在沒(méi)有參與者受損的前提下讓一部分人有所改善(即是否可以提高效率)。以此為出發(fā)點(diǎn),經(jīng)濟(jì)學(xué)的分析往往集中在各種間接機(jī)制(比如價(jià)格、市場(chǎng)供求因素等)對(duì)經(jīng)濟(jì)人行為的影響,并以“均衡”、“效率”作為分析的著眼點(diǎn)。以這種視角分析問(wèn)題不僅具有方法的一致性,且常常會(huì)得出出人意料,卻合乎情理邏輯的結(jié)論。第二,經(jīng)濟(jì)學(xué)提供了多個(gè)參照系。參照系對(duì)任何學(xué)科的建立和發(fā)展都極為重要,經(jīng)濟(jì)學(xué)也不例外。這些參照系的重要性并不在于它們是否準(zhǔn)確無(wú)誤地描述了現(xiàn)實(shí),而在于建立了一些讓人們更好地理解現(xiàn)實(shí)的標(biāo)尺。經(jīng)濟(jì)學(xué)家的頭腦中總有幾個(gè)參照系,這樣,分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題時(shí)就有可比性。比如討論資源配置和價(jià)格問(wèn)題時(shí),充分競(jìng)爭(zhēng)下的一般均衡理論就是一個(gè)參照系;討論產(chǎn)權(quán)和法的作用時(shí),科斯定理就是一個(gè)參照系。參照系的建立對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展起到了有效的推動(dòng)作用。第三,經(jīng)濟(jì)學(xué)采用了一系列強(qiáng)有力的“分析工具”,它們多是各種圖象模型和數(shù)學(xué)模型。比如:供需曲線圖象模型,它以數(shù)量和價(jià)格分別為橫、縱軸,提供了一個(gè)非常方便和多樣化的分析工具。經(jīng)濟(jì)學(xué)家用這一工具來(lái)分析局部均衡下的市場(chǎng)資源配置、市場(chǎng)扭曲、市場(chǎng)失靈等問(wèn)題和政府干預(yù)市場(chǎng)的政策效果。這種工具的力量在于,用較為簡(jiǎn)明的圖象和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)幫助我們深入分析紛繁復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)行為和現(xiàn)象。
二、數(shù)學(xué)工具對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的影響
現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)明顯特點(diǎn)是越來(lái)越多地使用數(shù)學(xué)(包括統(tǒng)計(jì)學(xué))作為分析工具,絕大多數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)前沿論文都包含數(shù)學(xué)或計(jì)量模型。從經(jīng)濟(jì)學(xué)的分析框架來(lái)看,這并不難理解,因?yàn)閰⒄障档慕⒑头治龉ぞ叩陌l(fā)展通常都要借助數(shù)學(xué)。但是,在部分經(jīng)濟(jì)學(xué)家的理論研究中,逐漸形成了一個(gè)基于唯數(shù)主義的數(shù)學(xué)化傾向,這種傾向偏離了經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的基本視角,不僅不能為非西方世界的經(jīng)濟(jì)學(xué)家所接受,而且在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家內(nèi)部也頗存異議。因此,我們必須一分為二地看待數(shù)學(xué)工具對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的影響。
(一)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用從理論研究角度,借助數(shù)學(xué)模型有三個(gè)優(yōu)勢(shì):第一,數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以清楚地描述前提假定,這使得經(jīng)濟(jì)學(xué)的推理與分析過(guò)程呈現(xiàn)出數(shù)理邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性。例如,邊際效應(yīng)價(jià)值實(shí)際上是在對(duì)效用函數(shù)進(jìn)行測(cè)定的基礎(chǔ)上,運(yùn)用一系列聯(lián)立方程組推導(dǎo)的結(jié)果。社會(huì)資源最優(yōu)配置的帕累托最優(yōu)理論,也是運(yùn)用聯(lián)立方程組對(duì)生產(chǎn)和交換均達(dá)到最優(yōu)配置下社會(huì)福利最大化的闡述。第二,數(shù)學(xué)方法使經(jīng)濟(jì)學(xué)擁有了一個(gè)統(tǒng)一的語(yǔ)話體系,并進(jìn)而使經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展具有了一個(gè)共同的基礎(chǔ),讓后人較容易在已有的研究工作上繼續(xù)開(kāi)拓,也使得在深層次上發(fā)現(xiàn)似乎不相關(guān)的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)變成可能。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)就是在這一共同的話語(yǔ)體系下獲得長(zhǎng)足的發(fā)展。第三,數(shù)學(xué)表述具有文字性表述所不具備的確定性與精確性。數(shù)學(xué)推導(dǎo)具有數(shù)理上的邏輯性,運(yùn)用數(shù)學(xué)模型討論經(jīng)濟(jì)問(wèn)題,學(xué)術(shù)爭(zhēng)議便可以建立在這樣的基礎(chǔ)上:或不同意對(duì)方前提假設(shè);或找出對(duì)方論證錯(cuò)誤;或是發(fā)現(xiàn)修改原模型假設(shè)會(huì)得出不同的結(jié)論。這樣就可以有效地避免經(jīng)濟(jì)學(xué)理解上的歧義,避免基于不同理解而發(fā)生的毫無(wú)意義的爭(zhēng)論,因此,從整體上有利與提高經(jīng)濟(jì)學(xué)家工作的效率。從實(shí)證研究角度看,使用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)方法的優(yōu)勢(shì)也比較明顯:其一是以經(jīng)濟(jì)理論的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)可以發(fā)展出用于定性和定量分析的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型;其二是證據(jù)的數(shù)量化使得實(shí)證研究具有系統(tǒng)性;其三是使用精致復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)方法可以讓研究者從已有的數(shù)據(jù)中最大程度地汲取有用的信息。因此,運(yùn)用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行經(jīng)濟(jì)學(xué)研究可以把實(shí)證分析建立在理論基礎(chǔ)上,并從系統(tǒng)的數(shù)據(jù)中定量地檢驗(yàn)理論假說(shuō)和估計(jì)參數(shù)的數(shù)值。這就可以減少經(jīng)驗(yàn)性分析中的表面化和偶然性,并分別確定它在經(jīng)濟(jì)意義下的顯著程度。
(二)經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化的誤區(qū)在肯定數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要作用的同時(shí),更需要指出的是:經(jīng)濟(jì)學(xué)不是數(shù)學(xué)。首先,經(jīng)濟(jì)學(xué)并不是一些數(shù)學(xué)模型和概念的簡(jiǎn)單匯集,經(jīng)濟(jì)學(xué)家的工作也不是開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)理論前沿,而是運(yùn)用這些理論所代表的分析框架來(lái)解釋和理解經(jīng)濟(jì)行為和現(xiàn)象。經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵絕不在于其對(duì)數(shù)學(xué)的運(yùn)用是否精通,而是取決于經(jīng)濟(jì)理論分析和實(shí)證分析的深度。比如經(jīng)濟(jì)學(xué)家應(yīng)用統(tǒng)計(jì)回歸方法,不僅關(guān)心變量的估計(jì)值和變量間的相關(guān)性,更關(guān)心變量間的因果關(guān)系、模型假定對(duì)預(yù)測(cè)的影響以及計(jì)量結(jié)果背后的經(jīng)濟(jì)含義,這是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)不同于數(shù)學(xué)或統(tǒng)計(jì)學(xué)的最重要方面。其次,經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的發(fā)展必須從經(jīng)濟(jì)學(xué)獨(dú)有的研究視角出發(fā),數(shù)學(xué)和計(jì)量方法只是體現(xiàn)和執(zhí)行經(jīng)濟(jì)想法的一種工具,而不是唯一的工具。目前,英美許多經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志取舍稿件的重要標(biāo)準(zhǔn)之一就是是否建立了數(shù)學(xué)模型,是否采用計(jì)量分析,如果論文不是有意的使用一組代數(shù)符號(hào)的話,那么,該論文便會(huì)自動(dòng)被視為毫無(wú)價(jià)值而遭拒絕。這種作法排除了其他解決問(wèn)題的思路,使運(yùn)用其他研究方法解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的個(gè)人沒(méi)有得到應(yīng)有的尊重。這種過(guò)分?jǐn)?shù)學(xué)化的趨勢(shì),標(biāo)志著經(jīng)濟(jì)學(xué)在逐漸失去其作為社會(huì)科學(xué)應(yīng)有的特征(如對(duì)現(xiàn)存的社會(huì)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的批判性,對(duì)人和人之間生產(chǎn)關(guān)系的揭示,對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)制度的揭示,對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活的直覺(jué)性感悟等),標(biāo)志著經(jīng)濟(jì)學(xué)在唯科學(xué)主義道路上走過(guò)了頭,以至于逐漸喪失了對(duì)活生生的人的關(guān)注與分析,同時(shí)在一定程度上也標(biāo)志著經(jīng)濟(jì)學(xué)分析工具的貧乏與單一。因此,我們不能以數(shù)學(xué)水平的高低來(lái)衡量一名經(jīng)濟(jì)學(xué)家的水平,我們也不能以運(yùn)用數(shù)學(xué)的多少和它的難易程度來(lái)作為評(píng)判經(jīng)濟(jì)學(xué)論文質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)。同時(shí),經(jīng)濟(jì)學(xué)中的過(guò)度數(shù)學(xué)化傾向還表現(xiàn)在,一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家把數(shù)學(xué)當(dāng)作經(jīng)濟(jì)分析的唯一手段,不顧條件地加以運(yùn)用。這種運(yùn)用很大程度上是一種形式主義的運(yùn)用,導(dǎo)致了經(jīng)濟(jì)研究的資源誤置。經(jīng)濟(jì)學(xué)研究人類的生產(chǎn)、消費(fèi)和分配的社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng),而人類活動(dòng)受道德、歷史和社會(huì)的諸多因素影響,許多環(huán)節(jié)之間都有或明或暗的聯(lián)系,這使得經(jīng)濟(jì)活動(dòng)變得相當(dāng)復(fù)雜,如果用數(shù)學(xué)變量來(lái)表示,那么必將形成一個(gè)極端龐大而又難以處理的數(shù)理模型,這就給使用帶來(lái)了困難。而心理學(xué)的研究結(jié)果表明,在一些情況下人的決策與模型中的嚴(yán)峻假定有系統(tǒng)性偏差,修改某些有關(guān)數(shù)理模型條件下市場(chǎng)中人的經(jīng)濟(jì)行為,將得出很多與已有的理論不同的結(jié)論。要想使嚴(yán)峻假定下建立的模型具有可行性,就必須要不斷的放松假定,加進(jìn)新的變量,這樣做會(huì)使問(wèn)題變得越來(lái)越復(fù)雜,直到超出數(shù)學(xué)能力所限,使得數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用陷入死循環(huán)。必須承認(rèn),經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中存在著許多無(wú)法量化的因素,如果一味地追求對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的數(shù)量分析而忽視數(shù)學(xué)分析方法本身的局限性,將必然會(huì)陷入“數(shù)字游戲”的怪圈。事實(shí)證明,單純使用數(shù)學(xué)工具解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題具有明顯的局限性。超級(jí)秘書網(wǎng)
三、運(yùn)用經(jīng)濟(jì)學(xué)分析工具的幾點(diǎn)建議
應(yīng)該說(shuō),在經(jīng)濟(jì)學(xué)中系統(tǒng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法是不應(yīng)受到過(guò)多指責(zé)的,但是,任何方法的運(yùn)用都需要遵循適度的原則,過(guò)度化只能造成相反的效果。第一,經(jīng)濟(jì)學(xué)是一門以現(xiàn)實(shí)中的經(jīng)濟(jì)行為和現(xiàn)象作為研究對(duì)象的社會(huì)科學(xué),對(duì)理論的現(xiàn)實(shí)性非常關(guān)注。一方面,所有的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論最終都要接受現(xiàn)實(shí)的檢驗(yàn);另一方面,新理論的創(chuàng)立和舊理論的發(fā)展也要受現(xiàn)實(shí)的啟發(fā)。包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的任何分析工具都不能脫離這一范疇而孤立存在。經(jīng)濟(jì)學(xué)過(guò)度數(shù)學(xué)化使經(jīng)濟(jì)學(xué)家在研究問(wèn)題時(shí)不自覺(jué)地接受了數(shù)學(xué)家的價(jià)值取向,把經(jīng)濟(jì)學(xué)變?yōu)榛谝幌盗谐F(xiàn)實(shí)抽象假定的科學(xué),實(shí)際上忽視了經(jīng)濟(jì)學(xué)作為一門社會(huì)科學(xué)的特征。因此,解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題必須考慮到經(jīng)濟(jì)學(xué)研究不同于自然科學(xué)研究的基本困難,是可控實(shí)驗(yàn)的不可行性和用經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)直接檢驗(yàn)結(jié)論的有限性,必須摒棄以主觀局限的數(shù)學(xué)推導(dǎo)進(jìn)行客觀經(jīng)濟(jì)規(guī)律探索的方法論。第二,經(jīng)濟(jì)理論是描述一個(gè)理性的人如何在給定的條件下做出選擇,以達(dá)到其目標(biāo)最大化的過(guò)程,而選擇結(jié)果便是理論所要解釋的現(xiàn)象。因此,一個(gè)經(jīng)濟(jì)理論能否解釋現(xiàn)實(shí)的關(guān)鍵就在于模型中限制當(dāng)事人選擇的給定假設(shè)條件是否合適。所謂合適,是指模型中的限制條件要盡可能地具有“普適性”(Robustness),也就是要具有一般性。例如,要素稟賦決定了一個(gè)經(jīng)濟(jì)中的各種要素的相對(duì)價(jià)格,是社會(huì)中任何經(jīng)濟(jì)決策都必須考慮到的條件,因此,要素稟賦是一個(gè)非?！耙话恪钡臈l件,以發(fā)展目標(biāo)和要素稟賦的矛盾來(lái)解釋計(jì)劃體制的產(chǎn)生,也就有了較強(qiáng)的“普適性”。運(yùn)用要素稟賦理論就可以解釋為什么不同社會(huì)性質(zhì)的國(guó)家采用了類似的計(jì)劃體制以及為什么我國(guó)的社會(huì)性質(zhì)未變,而改革后卻從計(jì)劃體制轉(zhuǎn)型到市場(chǎng)體制的現(xiàn)象。所以,我們要將經(jīng)濟(jì)理論的探討建立在經(jīng)濟(jì)運(yùn)行各個(gè)環(huán)節(jié)之間普遍聯(lián)系的基礎(chǔ)上。第三,從經(jīng)濟(jì)學(xué)引入數(shù)學(xué)以后100多年的歷史來(lái)看,作為一種分析工具,數(shù)學(xué)的確顯示出諸多值得充分肯定的優(yōu)越性,我們應(yīng)該不斷加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)分析方法自身的完善,拓展其應(yīng)用領(lǐng)域,進(jìn)一步發(fā)揮其在經(jīng)濟(jì)理論研究和實(shí)踐中的作用。在繼承和發(fā)揚(yáng)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)分析方法的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)和應(yīng)用最新的數(shù)學(xué)分析方法,如博奕論方法、對(duì)策論方法、模糊數(shù)學(xué)方法、非線性系統(tǒng)方法等,使數(shù)量分析由單變量向多變量發(fā)展,由單目標(biāo)向多目標(biāo)發(fā)展,并且大力拓展計(jì)算機(jī)等相關(guān)技術(shù)領(lǐng)域,提高數(shù)學(xué)解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的能力。第四,經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象本質(zhì)上一種社會(huì)現(xiàn)象,其發(fā)展受到許多無(wú)法量化的因素制約,這要求我們進(jìn)行經(jīng)濟(jì)研究的時(shí)候必然要經(jīng)過(guò)一個(gè)定性到定量的分析過(guò)程。如果舍棄那些不可定量卻對(duì)經(jīng)濟(jì)行為產(chǎn)生重要影響的因素,生硬地把經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象抽象到數(shù)學(xué)模型當(dāng)中,就會(huì)歪曲經(jīng)濟(jì)事物的本來(lái)面目,影響結(jié)論的科學(xué)性和有效性。因此,在加強(qiáng)數(shù)學(xué)工具運(yùn)用的同時(shí),我們絕不能局限于數(shù)學(xué)的分析方法,更不能局限于形式上的數(shù)學(xué)化,簡(jiǎn)單否定和排斥定性分析的作用。行為經(jīng)濟(jì)學(xué)之所以逐漸被主流經(jīng)濟(jì)學(xué)接受,正是因?yàn)樗侠磉\(yùn)用定性分析的方法,并且將通常的理性假設(shè)的情況包涵在其中,而不是單純的依靠嚴(yán)峻假設(shè)下的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題。
主要參考文獻(xiàn):
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[2]趙凌云.經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化的是與非[J].經(jīng)濟(jì)學(xué)家,1999(1).
一、善待“錯(cuò)誤”
啟發(fā)引導(dǎo)，有效教學(xué)數(shù)學(xué)是邏輯性強(qiáng)、比較抽象復(fù)雜的課程，而初中生不管在知識(shí)方面，還是智力、能力等方面，均有待發(fā)展，因而思考問(wèn)題不全面，在答問(wèn)或做題時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)“錯(cuò)誤”．面對(duì)學(xué)生的諸多錯(cuò)誤，不少教師難以容忍，冷眼對(duì)待，責(zé)罵批評(píng)，既影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，也破壞了師生關(guān)系，使學(xué)生學(xué)習(xí)興趣慢慢減弱．實(shí)際上，學(xué)生是伴隨犯錯(cuò)而成長(zhǎng)的，他們的錯(cuò)誤也蘊(yùn)涵著有價(jià)值的信息，可被靈活運(yùn)用，促進(jìn)生成，發(fā)展學(xué)生智力與情感．正如心理學(xué)家蓋耶所說(shuō)的:“誰(shuí)不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過(guò)最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻．”所以，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有“容錯(cuò)”的氣度，善待學(xué)生的“錯(cuò)誤”，用自己的教學(xué)機(jī)智，巧妙運(yùn)用學(xué)生出現(xiàn)的各式各樣的錯(cuò)誤資源，調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知欲望，使學(xué)生深入探究，交流與合作，促成精彩，提高活化教學(xué)效率．例如，在講“解一元一次方程”后，習(xí)題鞏固:現(xiàn)有一元二次方程x2+(2k+1)x+k2－2=0，已知兩實(shí)數(shù)根的平方和等于11，求k的值．由于對(duì)新知運(yùn)用不熟練，在用根和系數(shù)的關(guān)系求解時(shí)，學(xué)生會(huì)忽略≥0的前提條件，認(rèn)為k1=3，k2=1．對(duì)此，教師提問(wèn)引思:x2－2x+2=0是否存在實(shí)數(shù)根?其兩根之和等于2，是否正確?說(shuō)明原因．解一元一次方程時(shí)，還要注意什么呢?經(jīng)過(guò)思考與交流，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)未注意前提條件≥0，從而學(xué)會(huì)更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡M(jìn)行思考．
二、捕捉“意外”
智慧引領(lǐng)，活化教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不少教師曾遭遇過(guò)如此窘境:當(dāng)教學(xué)活動(dòng)正井然有序地朝著預(yù)期計(jì)劃進(jìn)行時(shí)，卻突然出現(xiàn)一些“意外”狀況，打斷了教學(xué)邏輯進(jìn)程，令教學(xué)者措手不及．其中，教學(xué)“意外”更多是因?yàn)閷W(xué)生突然頓悟、發(fā)散思維，出現(xiàn)突然發(fā)問(wèn)或質(zhì)疑等．學(xué)生打亂教學(xué)秩序，有的教師將其被視為“破壞性因素”，一帶而過(guò)，接著按著預(yù)設(shè)組織教學(xué)，學(xué)生的智慧靈光、寶貴的生產(chǎn)資源在不知不覺(jué)間流失掉．實(shí)際上，課堂“意外”不一定是壞事，反而蘊(yùn)涵著新的亮點(diǎn)與生長(zhǎng)點(diǎn)，需要教師處變不驚，善于捕捉，靈活調(diào)整，經(jīng)過(guò)教師智慧引領(lǐng)，借“意外”之勢(shì)巧妙搭建起師生多向互動(dòng)平臺(tái)，使之轉(zhuǎn)變成開(kāi)啟思維、喚醒個(gè)性、引發(fā)創(chuàng)造、愉悅身心的重要契機(jī)，涌動(dòng)靈性與創(chuàng)造性，活化教學(xué)．例如，在復(fù)習(xí)“圓”時(shí)，我呈現(xiàn)相關(guān)例題:以ABCD的頂點(diǎn)A作圓心，AB為半徑作圓，其中BC、AD交A于F、E，延長(zhǎng)BA交A于G．證明:)FG=)EF．預(yù)設(shè)講解是:連接AE，證明∠GAF=∠DAE，根據(jù)“等圓或同圓中，相等圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)相等”加以求證．這時(shí)有學(xué)生提出還可借助相等圓周角求證弧相等．這是預(yù)設(shè)未考慮的，我稍微調(diào)整了預(yù)設(shè)，引導(dǎo)這個(gè)學(xué)生講講自己的解題思路:連接BF，證∠FBC=∠GBF，再根據(jù)“等圓或同圓中，相等圓周角所對(duì)圓弧相等”，則可證明．而后順?biāo)浦?，誘導(dǎo)學(xué)生思考:還有哪些方法可證明兩段弧相等?于是，學(xué)生紛紛回憶與思索起來(lái)，想到了借助垂徑定理、弦等得弧等的不同方法．總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于因勢(shì)利導(dǎo)，營(yíng)造生動(dòng)情境與愉悅氛圍，讓學(xué)生愿聽(tīng)樂(lè)學(xué)，形成內(nèi)驅(qū)動(dòng)力;能夠捕捉“意外”資源、“錯(cuò)誤”資源，運(yùn)用啟發(fā)性問(wèn)題或語(yǔ)言，點(diǎn)撥思路，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，涌動(dòng)生命靈性，煥發(fā)生命活力．
作者：周玲單位：江蘇大豐市新豐鎮(zhèn)方強(qiáng)初級(jí)中學(xué)
二、多元化的解題方式在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用
（一）在教學(xué)中首先是要強(qiáng)化學(xué)習(xí)，不斷的增強(qiáng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，熟練的掌握和運(yùn)用理論知識(shí)，同時(shí)教師還要增強(qiáng)對(duì)學(xué)生的要求，并不定期的對(duì)學(xué)生進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)的檢查，要求學(xué)生能夠熟練的掌握知識(shí)，進(jìn)而再給學(xué)生布置一些開(kāi)放性的試題，以此來(lái)增強(qiáng)學(xué)生的理論知識(shí)運(yùn)用能力，只有學(xué)生在熟練的運(yùn)用知識(shí)之后才能進(jìn)行思維的創(chuàng)新，才能創(chuàng)新多種解題方式。如果學(xué)生只是有創(chuàng)新的思維，而沒(méi)有實(shí)際的知識(shí)作為基礎(chǔ)，也不會(huì)創(chuàng)新出多種解題方式。所以在多元化的解題過(guò)程中，基礎(chǔ)理論知識(shí)是基礎(chǔ)，要不斷的強(qiáng)化學(xué)習(xí)力度，增強(qiáng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握能力。
（二）多元化解題方式在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用最重要的一點(diǎn)就是要加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系。這要求小學(xué)的數(shù)學(xué)教師在教學(xué)的過(guò)程中一定要加強(qiáng)教材和實(shí)際生活的聯(lián)系，結(jié)合實(shí)際的生活場(chǎng)景給學(xué)生一些暗示，也可以在教學(xué)的過(guò)程中模擬生活情境，通過(guò)情境模式讓學(xué)生進(jìn)行推敲和反思，進(jìn)行思維的發(fā)散，能找出多種解題思路。例如：將枯燥的習(xí)題進(jìn)行生活化，小明和小紅約好一起去玩耍，兩家相距500米，小明到小紅家需要5分鐘，小紅到小明家需要10分鐘，那么請(qǐng)問(wèn)兩人相遇時(shí)，各自走了多少分鐘，走了多長(zhǎng)距離呢？學(xué)生普遍的都會(huì)采用路程公式來(lái)運(yùn)算，這是傳統(tǒng)的解題方式，不具有創(chuàng)新性，教師要采用科學(xué)的方式積極的引導(dǎo)學(xué)生，利用距離的一定性，時(shí)間和速度成反比的比例關(guān)系來(lái)進(jìn)行解題，這更有創(chuàng)新意義，更有益于學(xué)生思維的發(fā)展。
二、依據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，適當(dāng)控制教學(xué)進(jìn)度和深度
小學(xué)生的年齡較小，所掌握的知識(shí)非常有限，經(jīng)驗(yàn)、能力不足。因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該控制和掌握好教學(xué)進(jìn)度和深度，在教學(xué)大綱的基礎(chǔ)上，明確教學(xué)內(nèi)容，有針對(duì)性地進(jìn)行備課和教學(xué)。對(duì)于課本中的內(nèi)容，教師應(yīng)該注意盡量不要進(jìn)行深化和延展，超出教學(xué)大綱的要求會(huì)給學(xué)生帶來(lái)更多的壓力和負(fù)擔(dān)，影響教學(xué)效果。
三、趣味化教學(xué)
小學(xué)生年紀(jì)偏小，自我約束能力差，因此在學(xué)習(xí)中，往往是心理因素起著主導(dǎo)性的作用。教師應(yīng)該利用這一特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生樂(lè)意學(xué)習(xí)、主動(dòng)學(xué)習(xí)。假如數(shù)學(xué)課堂教學(xué)只是教師講、學(xué)生聽(tīng)，學(xué)生就會(huì)感到乏味，注意力就不集中。因此，教師應(yīng)該采用新穎的趣味化教學(xué)方式，進(jìn)行趣味化教學(xué)，讓學(xué)生在快樂(lè)中學(xué)習(xí)。舉例來(lái)說(shuō)，在“計(jì)算長(zhǎng)方形面積”的教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生對(duì)自家的物品進(jìn)行長(zhǎng)和寬的丈量，然后讓學(xué)生將數(shù)據(jù)帶到課堂上，計(jì)算出相應(yīng)的面積。這樣，學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手的方式，能夠獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，并將掌握的知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中，從而提高解決問(wèn)題的能力。
四、引導(dǎo)學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，傳授知識(shí)只是其中的一部分，更需要教師注重的是使學(xué)生能夠獨(dú)立思考，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從而使其數(shù)學(xué)能力得到發(fā)展．例如，在概念教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)首先將產(chǎn)生概念的背景介紹給學(xué)生，努力營(yíng)造一個(gè)需要形成概念的情境，學(xué)生就可以自己將某類事物的本質(zhì)屬性完整地概括出來(lái)，并通過(guò)恰當(dāng)?shù)脑~語(yǔ)來(lái)進(jìn)行表述．
2．對(duì)學(xué)生的人格成長(zhǎng)有所啟發(fā)
在數(shù)學(xué)史中，任何一項(xiàng)偉大的成就都需要付出艱苦卓絕的努力．例如，南北朝時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家祖沖之，利用劉徽割圓術(shù)，將圓周率精確計(jì)算到第七位有效數(shù)字．?dāng)?shù)學(xué)家這種刻苦鉆研、持之以恒的精神能夠?qū)W(xué)生的人格成長(zhǎng)大有啟發(fā)，能夠引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，對(duì)待挫折堅(jiān)忍不拔，對(duì)待困難迎難而上，不畏挫折，不懼失?。?/p>
3．有利于訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維
中國(guó)的教育制度一直處在不斷的改革完善中，對(duì)人才的培養(yǎng)也是越來(lái)越全面、越來(lái)越嚴(yán)格．目前而言，“應(yīng)試教育”已經(jīng)明顯存在缺陷．素質(zhì)高能力強(qiáng)的人明顯是被需要的，這時(shí)學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)顯得尤為重要．“數(shù)學(xué)是思維的體操．”也許說(shuō)思維是不可碰觸的、無(wú)形的，但是一旦形成就是一種能力，它不會(huì)戛然而止，它是一種會(huì)伴隨我們一生的素質(zhì)．
二、數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略
1．講述數(shù)學(xué)史，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的科學(xué)價(jià)值
在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師可以講述數(shù)學(xué)成就在人類發(fā)展史中的巨大作用、數(shù)學(xué)家探求真理堅(jiān)持不懈的精神、思想方法的應(yīng)用、知識(shí)產(chǎn)生的歷史背景等內(nèi)容，從而使得學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)大廈建造偉大而精彩的歷程．例如，在講解完“合數(shù)”與“素?cái)?shù)”的知識(shí)之后，教師可以對(duì)“哥德巴赫猜想”進(jìn)行介紹．除此之外，教師應(yīng)合理地劃分課堂教學(xué)時(shí)間，適當(dāng)?shù)販p少考試以及機(jī)械的解題練習(xí)，而騰出一定的時(shí)間用于講解數(shù)學(xué)史．例如，在講解“圓柱體積計(jì)算公式”的時(shí)候，教師可以先介紹曹沖稱象的典故，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生積極思考．
2．欣賞數(shù)學(xué)美，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的美學(xué)價(jià)值
數(shù)學(xué)美是一種抽象的美，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，使人感受到數(shù)學(xué)的魅力．?dāng)?shù)學(xué)的美是含蓄的、內(nèi)在的、理性的，并且無(wú)處不在．在很多美好的事物背后都會(huì)隱藏著一些數(shù)學(xué)的奧秘．在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師可以充分利用數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)邏輯、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)圖形等的簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美、奇藝美、對(duì)稱美來(lái)陶冶學(xué)生情操，發(fā)揮數(shù)學(xué)的美育功能．例如，和諧統(tǒng)一美可以在相似三角形中體現(xiàn)出來(lái)．相似三角形，不論其大小，都被看作同一類幾何圖形．簡(jiǎn)潔美則在命題表述與論證、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)邏輯體系中均有所體現(xiàn)．發(fā)揮數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值不僅僅是將其展現(xiàn)給學(xué)生，更重要的是使得學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美、欣賞數(shù)學(xué)、熱愛(ài)數(shù)學(xué)．高中數(shù)學(xué)教師也應(yīng)提升自身美學(xué)修養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)美陶冶情操，從而達(dá)到數(shù)學(xué)的文化教育的目的．
3．在問(wèn)題情景中滲透數(shù)學(xué)文化
在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候，我們常常被枯燥而又復(fù)雜難懂的公式弄得苦不堪言．若是能在教學(xué)的時(shí)候從歷史的角度介紹數(shù)學(xué)公式產(chǎn)生的背景，或從現(xiàn)實(shí)的角度闡述數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)意義，或是用圖形等數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)，這樣可以化抽象為形象，使知識(shí)點(diǎn)變得通俗易懂，做到事半功倍．好比圓周率π，一個(gè)出現(xiàn)于公元前950年的數(shù)字，自有記載而來(lái)就引起了國(guó)內(nèi)外的關(guān)注．我們現(xiàn)在知道的π的值已經(jīng)是非常精確的估計(jì)值，但它的發(fā)展歷程是非?？部赖模瑥墓胖两?，從國(guó)內(nèi)到海外，從珠算到計(jì)算機(jī)，一代又一代的數(shù)學(xué)家為了最大限度地求其估計(jì)值而努力，即使如此，數(shù)學(xué)家探索的步伐還在繼續(xù)．
4．在課外活動(dòng)中滲透數(shù)學(xué)文化
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)境是廣闊的，它不該局限于課堂．?dāng)?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式也是靈活的，它不該局限于做題．老師們可以通過(guò)組織競(jìng)賽、演講等形式調(diào)動(dòng)學(xué)生們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，學(xué)生們亦可在查閱、收集、整理資料的過(guò)程中豐富課余生活，同時(shí)鞏固課堂上學(xué)到的知識(shí)．
5．在研究下學(xué)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)文化
現(xiàn)在社會(huì)越來(lái)越主張和提倡獨(dú)立和創(chuàng)新，鼓勵(lì)人們大膽地質(zhì)疑和探究．研究性學(xué)習(xí)是一種非常重要的學(xué)習(xí)方式，它雖然出現(xiàn)得比較晚，但它的開(kāi)放性、創(chuàng)造性等獨(dú)有的特性引起了廣泛的關(guān)注，尤其受廣大師生的歡迎，他們常借此方式來(lái)滲透數(shù)學(xué)文化．經(jīng)過(guò)對(duì)研究性學(xué)習(xí)的研究，教會(huì)學(xué)生們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，將所思所想化為實(shí)際行動(dòng)．這是一次學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程，也是自我增值的過(guò)程．
2精選實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,實(shí)施綠色化實(shí)驗(yàn)教學(xué)
無(wú)機(jī)化學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)長(zhǎng)期處于理論課的附屬,選擇的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容基本上是都是對(duì)理論課上所講的理論的驗(yàn)證。要想滿足教學(xué)大綱所規(guī)定的培養(yǎng)目標(biāo)的要求,就必須精心選擇實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,盡量減少驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)的比例,增加綜合性、設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)的比例,將綠色化學(xué)理念貫穿在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中,減少有毒有害實(shí)驗(yàn)藥品的用量,在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中盡量避免有毒有害的化學(xué)產(chǎn)物或副產(chǎn)物的生成,減少對(duì)周圍環(huán)境造成的污染。提高實(shí)驗(yàn)試劑的利用率和藥品的使用率,將實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的廢液集中存放并按要求進(jìn)行無(wú)害化處理,盡可能的回收再利用,注重對(duì)學(xué)生環(huán)保意識(shí)的培養(yǎng)。
3在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中引入多媒體教學(xué)手段
多媒體技術(shù)是近年來(lái)發(fā)展非常迅速的網(wǎng)絡(luò)技術(shù)之一,在無(wú)機(jī)化學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,一些抽象的原理和現(xiàn)象,很難通過(guò)單純的語(yǔ)言講解讓學(xué)生理解,因此可以通過(guò)多媒體教學(xué)把難懂的原理和現(xiàn)象,具體而形象的展現(xiàn)的屏幕上,來(lái)幫助學(xué)生理解與掌握。多媒體教學(xué)具有較強(qiáng)的直觀性,引入的素材較多,能夠聲形并茂的將抽象的原理,形象直觀的表達(dá)出來(lái),提高知識(shí)傳授的效率,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,學(xué)生的主體地位能得到更深刻的體現(xiàn)。
4更新實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法
目前無(wú)機(jī)化學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)方法有很多種,包括注入式、啟發(fā)式、探究式等,而在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中并不是只用一種方法,二是采用多種方法并用的形式,我們要改變傳統(tǒng)的知識(shí)灌輸式的把知識(shí)全部灌輸給學(xué)生,學(xué)生只是被動(dòng)的接受,取而代之的是,引導(dǎo)學(xué)生去主動(dòng)學(xué)習(xí),學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容中的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行小組討論,老師在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中只起到監(jiān)督和指導(dǎo)的作用,及時(shí)糾正學(xué)生的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的不規(guī)范操作,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察、分析解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,并以小組的形式討論實(shí)驗(yàn)結(jié)果,使學(xué)生正確的理解和掌握實(shí)驗(yàn)原理。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中,采用多種方法聯(lián)合并用的方式,從而提高無(wú)機(jī)化學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)質(zhì)量和水平。
5改善實(shí)驗(yàn)室的硬件設(shè)施
實(shí)驗(yàn)室是無(wú)機(jī)化學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)施過(guò)程的主要場(chǎng)所,學(xué)生在這里不僅增長(zhǎng)了實(shí)驗(yàn)技能,也提高了實(shí)踐創(chuàng)新能力。在無(wú)機(jī)化學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容里會(huì)涉及一些基本儀器的使用操作,這些儀器的更新程度直接反映出實(shí)驗(yàn)室的教學(xué)水平。隨著時(shí)代的發(fā)展,科技的進(jìn)步,儀器設(shè)備的更新?lián)Q代非?？?只有跟上發(fā)展的步伐,引入先進(jìn)的儀器設(shè)備,才能培養(yǎng)出與國(guó)際接軌的人才。因此,高校要增加實(shí)驗(yàn)經(jīng)費(fèi)的投資,建設(shè)高標(biāo)準(zhǔn)、高水平的無(wú)機(jī)化學(xué)實(shí)驗(yàn)室,健全實(shí)驗(yàn)室的管理體制,完善基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè),建立更高級(jí)別的無(wú)機(jī)化學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基地。
