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時(shí)間：2023-07-24 09:24:14
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思維品質(zhì)是指個(gè)體思維活動特殊性的外部表現(xiàn).它包括思維的嚴(yán)密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì).函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終.函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，函數(shù)的定義域(或變量的允許值范圍所組成的集合)似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途.在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的.本文就常見的函數(shù)解題與函數(shù)定義域的密切解析以具體案例的形式展開論述。
1.函數(shù)解析式與定義域
函數(shù)解析式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的解析式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)解析式的定義域，否則所求函數(shù)解析式可能是錯(cuò)誤的.
案例1：某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)解析式？
解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為(50－x)米，由題意得：S=x(50-x)
故所求函數(shù)的解析式為：S=x(50-x)．
如果解題到此為止，則本題的函數(shù)解析式還欠完整，缺少自變量x的范圍.也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密.因?yàn)楫?dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍：0
即：函數(shù)的解析式為：S=x(50-x) （0
這個(gè)例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實(shí)際問題的影響.若考慮不到這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性.若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性.
2.函數(shù)最值與定義域
函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大(小)值的問題.如果不注意定義域，將會導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤.
案例2：求函數(shù)y=x2-2x-3在[-2,5]上的最值．
解：y= x2-2x-3=( x2-2x+1)-4=(x-1)2-4
當(dāng)x=1時(shí)，ymin=-4
初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值.產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化.這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性.
其實(shí)以上結(jié)論只是對二次函數(shù)y= ax2+bx+c(a>0)在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間[p,q]上，它的最值應(yīng)分如下情況：
⑴ 當(dāng) 時(shí)，y=f(x)在[p,q]上單調(diào)遞增函數(shù)f(x)min=f(p),f(x)max=f(q)；
⑵ 當(dāng) 時(shí)，y=f(x)在[p,q]上單調(diào)遞減函數(shù)f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；
⑶ 當(dāng) 時(shí)，y=f(x)在[p,q]上最值情況是：f(x)min= ，
f(x)max=max{f(p),f(q)}．即最大值是f(p),f(q)中最大的一個(gè)值.
故本題還要繼續(xù)做下去：-2≤1≤5 f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=-3
f(5)=52-2×5-3=12
f(x)max=max{f(-2),f(5)}=f(5)=12
函數(shù)y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12．
這個(gè)例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性.
3.函數(shù)值域與定義域
函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定.因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域.
案例3：求函數(shù) 的值域．
錯(cuò)解：令t= ,則2x=t2+3
y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=
故所求的函數(shù)值域是 ．
剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù)y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函數(shù)，
所以當(dāng)t=0時(shí)，ymin=1．
故所求的函數(shù)值域是[1, +∞）．
以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生.也就是說，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，善于精細(xì)地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。
4.函數(shù)奇偶性與定義域
判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談.否則要用奇偶性定義加以判斷.
案例4：判斷函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．
解：2 ∈[-1,3]而-2 [-1,3]
定義域區(qū)間[-1,3]關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對稱
函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函數(shù)．
若學(xué)生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學(xué)生解題思維的敏捷性.
如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯(cuò)誤結(jié)論： f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)函數(shù)y=x3, x∈[-1,3]是奇函數(shù)．
錯(cuò)誤剖析：因?yàn)橐陨献龇ㄊ菦]有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因.
5.結(jié)束語
綜上所述，在求解函數(shù)解析式、最值(值域)、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細(xì)地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變(指對定義域?yàn)镽來說)，對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生思維能力，進(jìn)而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性.
學(xué)生進(jìn)入高中，學(xué)習(xí)集合這一基本工具后，就開始了高中函數(shù)的學(xué)習(xí)。用集合的觀點(diǎn)定義了函數(shù)，進(jìn)而開始了對函數(shù)的研究。然而，不管是求函數(shù)解析式、值域，還是研究其性質(zhì)，都離不開對定義域的研究。
一、函數(shù)關(guān)系式與定義域
函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤。如：
例1：用籬笆圍一個(gè)矩形菜園，現(xiàn)有籬笆總長度為100m，求矩形菜園的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？
解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=（50-x）
故函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x） .
如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍： 0
即：函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x） （0
這個(gè)例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實(shí)際問題的影響。這體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，培養(yǎng)學(xué)生此項(xiàng)品質(zhì)是十分必要的。
另外如：y=x和 雖然對應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，也是不同的函數(shù)。
二、函數(shù)值域與定義域
函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：
例2：求函數(shù) 的值域.
錯(cuò)解：令
故所求的函數(shù)值域是 .
剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù) 在[0，+∞）上是增函數(shù)，
所以當(dāng)t=0時(shí)，ymin=1.
故所求的函數(shù)值域是[1， +∞）.
以上例子說明，變量的允許值范圍的重要性，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。
求函數(shù)值域，往往也會想到函數(shù)最值的求解。這里以二次函數(shù)
為例舉例說明。
例3：求函數(shù) 在[1，4]上的最值.
解：
當(dāng) 時(shí)，
初看本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到此題定義域不是R，而是[1，4]。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。學(xué)生只知道利用對稱軸求二次函數(shù)最值。然而，那往往是定義域是R的時(shí)候，當(dāng)條件改變時(shí)，需要考慮完善。本題還要繼續(xù)做下去：
f（4）=42-4x4-5=-5
函數(shù) 在[1，4]上的最小值是-9，最大值是―5.
這個(gè)例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，應(yīng)注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，這說明思維的靈活性很重要。
三、函數(shù)單調(diào)性與定義域
函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如：
例4：求出函數(shù)f（x）=1n（4+3x-x2）的單調(diào)區(qū)間.
解：先求定義域：
函數(shù)定義域?yàn)椋?1，4）.
令 ，知在 上時(shí)，u為減函數(shù)，
在 上時(shí)， u為增函數(shù)。
又
即函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 。
如果在做題時(shí)，沒有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對題型，套公式，而不去領(lǐng)會解題方法的實(shí)質(zhì)，也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。此題正解應(yīng)該是函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 。
四、函數(shù)奇偶性與定義域
判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，如果定義域區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：
例5：判斷函數(shù) 的奇偶性.
解： 定義域區(qū)間 不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱
函數(shù) 是非奇非偶函數(shù).
若學(xué)生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學(xué)生解題思維的敏捷性
如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性可能得出如下錯(cuò)誤結(jié)論：
函數(shù) 是奇函數(shù).
綜上所述，在求解函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細(xì)地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變（指對定義域?yàn)镽來說），對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生辨析理解能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中往往會出現(xiàn)求解函數(shù)的關(guān)系式，遇到這樣問題時(shí)如果忽視了所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，將會使求解函數(shù)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)論。
例1：用長14.8m的鋼條來制作一個(gè)長方體容器的框架，若所制容器底面一邊長為x，且比另一底邊小0.5m，求容積V關(guān)于邊長x的函數(shù)關(guān)系式。
解：設(shè)容器高為h，則4（x+0.5+x+h）=14.8，所以h=3.2-2x
V=x（0.5+x）（3.2-2x）=-2x■+2.2x■+1.6x
本題解答到這里并沒有結(jié)束，從題目中我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式還缺少自變量x的取值范圍。此時(shí)如果引導(dǎo)學(xué)生注意解題思路的嚴(yán)密性，強(qiáng)調(diào)函數(shù)三要素，學(xué)生將會有所發(fā)現(xiàn)：
因?yàn)檫呴Lx和x+0.5以及高h(yuǎn)均大于0，所以由：
x>0x+0.5>03.2-2x>0得：0
學(xué)生思維一旦缺乏嚴(yán)密性，就很容易忽視函數(shù)自變量定義域，所以在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，務(wù)必注意函數(shù)自變量的取值范圍對實(shí)際問題的影響，對學(xué)生加強(qiáng)必要引導(dǎo)和訓(xùn)練。
二、利用函數(shù)最值與定義域，培養(yǎng)思維靈活性
數(shù)學(xué)函數(shù)求最值的問題充分體現(xiàn)函數(shù)定義域的重要性。如果忽視定義域，將會導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤。
例2：已知函數(shù)f（x）=■，x≥1
（1）當(dāng)a=■時(shí)，求f（x）的最小值。
（2）若對任意x≥1，f（x）>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
分析：此題第（1）問，學(xué)生會產(chǎn)生三種思路：①利用單調(diào)性的定義證明f（x）的單調(diào)性再求最值；②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性再求最值；③利用均值不等式求最值。而前兩種方法都較為繁瑣，所以學(xué)生很容易偏向第三種解法。
錯(cuò)解：（1）a=■時(shí)，f（x）=■=x+■+2≥2■+2=2+■，當(dāng)且僅當(dāng)x=■時(shí)，即x=±■時(shí)，f（x）■=2+■
剖析：盡管學(xué)生想到了均值不等式這樣簡潔的方法，但是忽視了均值不等式的應(yīng)用條件和函數(shù)的定義域。因?yàn)椤馈?1，+∞，所以“=”取不到，故此解法錯(cuò)誤。
（2）在（1）的教訓(xùn)下，學(xué)生在解答這一小題時(shí)開始注意到“x≥1”這個(gè)條件，于是作如下解答：
由f（x）>0恒成立且x≥1可得x■+2x+a>0恒成立，由二次函數(shù)的知識可知，只需要令
或者作如下解：
若x■+2x+a>0恒成立，則a>-x■-2x恒成立，則只需要令a大于-x■-2x的最大值即可。又-x■-2x=-（x+1）■-1≤-1，所以a>-1。
但是這兩個(gè)答案都是錯(cuò)的，都是沒能把定義域考慮完全，盡管在開始的變形與轉(zhuǎn)化中已經(jīng)注意到這個(gè)問題，但是隨著解題的深入，在思維定勢的影響下，定義域又忘了。
正解：思路一，x≥1，若f（x）=■>0恒成立，則只需要x■+2x+a>0恒成立，二次函數(shù)g（x）=x■+2x+a在[1，+∞）上遞增，若在x≥1時(shí)，g（x）恒大于0，則只需要g（1）>0。3+a>0，即a>-3。
思路二，由x■+2x+a>0恒成立可得a>-x■-2x恒成立，設(shè)g（x）=-x■-2x，其中，x≥1，則只需要a>g（x）■=g（1）=-3，所以a>-3。
由此我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解題過程中的思維嚴(yán)密性和靈活性不是短期內(nèi)就能養(yǎng)成的，這時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生注意自變量的取值范圍，這樣就可以打破學(xué)生的思維定勢，提高其靈活性。
三、利用函數(shù)值域與定義域的關(guān)系，培養(yǎng)思維批判性
在數(shù)學(xué)函數(shù)中當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定下來，函數(shù)的值也將會隨之而確定。因此，我們在解答函數(shù)值域的問題時(shí)，要高度重視函數(shù)定義域的問題。
例3：已知函數(shù)f（x）=sinxcosx-sinx-cosx，求f（x）的值域。
錯(cuò)解：設(shè)sinx+cosx=t，則sinxcosx=■，所以，f（x）=g（t）=■t■-t-■=（t-1）■-1≥-1，故f（x）的值域?yàn)閇1，+∞）。
剖析：換元后sinx+cosx=t=■sin（x+■）-■≤t≤■
g（t）■=g（-■）=■+■，g（t）■=g（1）=-1
f（x）的值域是[-1，■+■]。
自變量的取值范圍對函數(shù)值域非常重要，因此，教師要能夠嚴(yán)格要求學(xué)生對做完的習(xí)題進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)和修訂錯(cuò)誤，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生思維的批判性和嚴(yán)謹(jǐn)性。
四、利用函數(shù)單調(diào)性與定義域，培養(yǎng)思維深刻性
在解答函數(shù)習(xí)題時(shí)，千萬不能忽略函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)強(qiáng)調(diào)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨之增減的情況，討論函數(shù)單調(diào)性在給定的定義域區(qū)間上的變化情況。
例4：指出函數(shù)f（x）=■的單調(diào)區(qū)間。
解：先求定義域：log■（x■2x）≠0，x■2x≠1
又x■2x>0，所以函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>
（-∞，1-■）∪（1-■，0）∪（2，1+■）∪（1+■，+∞）
設(shè)u= x■-2x，則u在（-∞，1-■）和（1-■，0）上遞減，在（2，1+■）和（1+■，+∞）上遞增。根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，可知f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，1-■）和（1-■，0）；單調(diào)增區(qū)間是（2，1+■）和（1+■，+∞）。
（一）在看圖讀題中“說數(shù)學(xué)”
低年級數(shù)學(xué)課本有大量形式多樣、富有趣味性的主題圖呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度觀察畫面，從中選擇有用的數(shù)學(xué)信息提出問題，解決問題?？梢杂行岣邔W(xué)生的數(shù)學(xué)語言能力。比如，學(xué)習(xí)人教版一上《比多少》時(shí)，可以這樣指導(dǎo)學(xué)生讀圖和看圖方法。
片段描述：
【課件呈現(xiàn)主題圖】
問題1：我們來比一比，小兔的只數(shù)和它們手中搬的磚頭的塊數(shù)，誰多誰少？
生：兔子有4只，磚頭也有4塊，它們同樣多。（根據(jù)學(xué)生回答貼出兔子圖和磚塊圖）
師：兔子有4只，磚頭也有4塊，1只兔子對應(yīng)1塊磚頭，一一對應(yīng)起來，最后誰也沒多出來，誰也沒少。我們就說它們“同樣多”。這種1個(gè)和1個(gè)對應(yīng)起來比較的方法，我們稱它為“一一對應(yīng)”的方法。
問題2：你還能從圖中找出同樣多的東西嗎？
生1：凳子有4張，磚頭也有4塊，它們同樣多。
生2：兔子有4只，凳子也有4張，它們同樣多。
生3：木頭有4根，凳子也有4張，它們同樣多。
……
根據(jù)學(xué)生的回答，課件出示相應(yīng)的東西，并一一對應(yīng)起來。
問題3：比一比小豬的只數(shù)和木頭的根數(shù)，它們也同樣多嗎？為什么？
生1：小豬有3只，木頭有4根，木頭的根數(shù)比小豬的只數(shù)多。（根據(jù)學(xué)生回答貼出小豬圖和木頭圖。）
生2：3只小豬扛著3根木頭，地上還多出1根，木頭比小豬多。（用虛線一一對應(yīng)起來。）
師：1只小豬和1根木頭一一對應(yīng)起來，木頭多出1根，小豬少了1只，我們就說，木頭比小豬多，小豬比木頭少。
由上述示范，大部分學(xué)生也能準(zhǔn)確、完整地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)圖中的各種信息。
在孩子們的眼里，主題圖中的畫面更多的是故事情節(jié)而不是數(shù)學(xué)信息，需要教師通過提問的方式指導(dǎo)學(xué)生讀圖、掌握看圖方法，從而恰當(dāng)?shù)亍罢f數(shù)學(xué)”。如問題1是引導(dǎo)學(xué)生通過觀察兔子的只數(shù)和磚頭的塊數(shù)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，采用一一對應(yīng)方法，直接得到數(shù)量是同樣多的，經(jīng)歷了“一樣多”的生活語言到“同樣多”的數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化。長期堅(jiān)持引導(dǎo)學(xué)生在看圖讀題中“說數(shù)學(xué)”，就能提高學(xué)生的讀圖、讀題能力，發(fā)展學(xué)生的思維。
（二）在變式訓(xùn)練中“說數(shù)學(xué)”
數(shù)學(xué)思維的深刻性來自對事物本質(zhì)屬性的理解，如何培養(yǎng)這種思維品質(zhì)？變式訓(xùn)練無疑是一種好策略。如學(xué)習(xí)人教版一下“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾”時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一次“答案不變，換個(gè)說法”的比賽。
片段描述：
【黃氣球9個(gè)，紅氣球27個(gè)，共有多少個(gè)氣球？】
師：你能給題目換個(gè)說法，又能使題目答案不變？
根據(jù)學(xué)生的回答，有以下幾種變換形式：
①紅氣球27個(gè)，黃氣球比紅氣球少18個(gè)，共有多少個(gè)氣球？
②黃氣球9個(gè)，比紅氣球少18個(gè)，共有多少個(gè)氣球？
……
課堂中讓學(xué)生參與這樣的變式訓(xùn)練，以豐富的語言變換形式表達(dá)特定數(shù)學(xué)信息，從而培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合、判斷、推理等思維能力，以“說數(shù)學(xué)”的行為發(fā)散思維。再如復(fù)習(xí)人教版二上“表內(nèi)乘法”這一單元時(shí)，例如2×9=（ ），3×8=（ ），教師可以放手讓學(xué)生通過變式設(shè)計(jì)成（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=18，（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=24，通過這樣的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到擴(kuò)展，更能讓學(xué)生對《表內(nèi)乘法》更加深入理解，切記表格更深入。
變式訓(xùn)練能幫助學(xué)生認(rèn)識事物的本質(zhì)特征，理解基本概念和原理，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展和智能的提高。
二、基于學(xué)習(xí)方法的數(shù)學(xué)語言表達(dá)
（一）在動手操作中“說數(shù)學(xué)”
低年級的學(xué)生以形象思維為主，操作活動為形象思維提供直觀的載體，用數(shù)學(xué)語言描述操作過程，把動手操作、動腦理解、動口表達(dá)結(jié)合起來，可以把感知轉(zhuǎn)化為智力活動，達(dá)到深度理解知識的效果。
如在學(xué)習(xí)人教版二下“有余黨法”這一課時(shí)，可設(shè)計(jì)如下操作活動。
片段描述：
1.【呈現(xiàn)要求：3根小棒擺一個(gè)三角形，6根可以擺幾個(gè)？】學(xué)生動手操作后進(jìn)行反饋。呈現(xiàn)學(xué)生作品：；引導(dǎo)學(xué)生借助圖示說算式含義，回顧表內(nèi)除法含義。
2.【跟進(jìn)要求：同理，7根小棒呢？】學(xué)生猜測并再次動手操作驗(yàn)證，展示反饋：；指名學(xué)生借助圖示說算式含義，教師引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)交流“1根”小棒產(chǎn)生的原因及含義，再以對比的方式，借助具體情境理解“余數(shù)”含義。
教師引導(dǎo)學(xué)生通過操作、對比理解余數(shù)及其含義，因?yàn)橛鄶?shù)是平均分完后剩下的那部分，直觀操作、借圖說理和對比有利于學(xué)生建構(gòu)對余數(shù)含義的理解。
（二）在算理表達(dá)中“說數(shù)學(xué)”
理解算理是正確計(jì)算的重要保證。低段學(xué)生機(jī)械模仿能力較強(qiáng)，但不善于思考問題。計(jì)算教學(xué)時(shí)通過“說”的訓(xùn)練和“說”指導(dǎo)，重視說想的過程，能加深對算理的深刻理解，鞏固算法，提高計(jì)算能力，培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)能力，發(fā)展思維。
如學(xué)習(xí)人教版二上“兩位數(shù)進(jìn)位加法”，動手操作建立了35+37=72的表象后，強(qiáng)化說算理的過程。
片段描述：
1.【根據(jù)情境列出算式35+37】
提問：35+37等于多少？請你用手中的小棒或小正方體擺一擺，也可以用計(jì)數(shù)器撥一撥，算一算。
匯報(bào)交流：①把個(gè)位上的小棒捆成1捆。②把個(gè)位上滿10的珠向十位進(jìn)1。
追問：為什么兩種不同的學(xué)具操作時(shí)都要把個(gè)位上的一個(gè)10給十位？
學(xué)生一邊操作，一邊解釋“進(jìn)1”的原因。
在低年級數(shù)學(xué)課堂上只有手腦并用，引導(dǎo)學(xué)生邊動手操作、動眼觀察、動腦思考、邊口述操作過程，借助語言，把思維過程明確、清晰地表達(dá)出來。把想與說，看與說，做與說有機(jī)地結(jié)合起來，在充分感知的基礎(chǔ)上，并通過語言將操作過程“內(nèi)化”為思維。
2.【學(xué)生嘗試列豎式計(jì)算】
生：個(gè)位上5加7得12，個(gè)位寫2。然后在十位上記下1，十位上3加3得6，再加上記下的1是7。
師：你為什么要記下這個(gè)1呢？
生：進(jìn)位呀！
師：什么時(shí)候進(jìn)位？怎么進(jìn)位？
生：滿十就要進(jìn)位，從個(gè)位向十位進(jìn)位！
根據(jù)學(xué)生的回答，完整地出示計(jì)算過程。
個(gè)位：5+7=12，它里面有1個(gè)十和2個(gè)一。
在個(gè)位上寫2，向十位進(jìn)1。
十位：3+3+1=7表示7個(gè)十。
著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之變，生物之迷，日用之繁”無一能離開數(shù)學(xué)。對數(shù)學(xué)地位如此精辟的概述，可見數(shù)學(xué)傳遞給世界的，除了邏輯推理知識以外，也有其獨(dú)特的藝術(shù)魅力。農(nóng)村小學(xué)生參與到家務(wù)工作中去的時(shí)間較多，在基礎(chǔ)理論方面的把握和理解上相對薄弱，因此，需要從數(shù)學(xué)符號本身傳達(dá)的實(shí)質(zhì)含義、生活化含義入手，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的閱讀興趣，使學(xué)生在閱讀數(shù)學(xué)符號的同時(shí)能夠感受到數(shù)學(xué)邏輯思維帶給他們的愉悅的情感體驗(yàn)。
一、從數(shù)學(xué)符號開始閱讀
“×÷■±≠=≮≯∑”是運(yùn)算符號；“∠⌒≌°|a|∽”是幾何符號；“∪∩∈Φ？埭”是集合符號；“@ # ￥”是特殊符號；“ ”是推理符號。數(shù)學(xué)符號作為一種語言象征獨(dú)立于其他類別的語言符號而存在，它們的出現(xiàn)比數(shù)字出現(xiàn)要晚得多，人類創(chuàng)造了數(shù)字并付諸實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)單純的數(shù)字呈現(xiàn)并不能完整意義地說明數(shù)量之間的邏輯關(guān)系。因此，在早期貨物交換過程中，為了表達(dá)數(shù)量之間的邏輯關(guān)系，人們不得不再進(jìn)行口語化解釋。后來口語現(xiàn)場解釋解決不了異地、非面對面的交易問題，因此，數(shù)學(xué)符號隨著書面文字的發(fā)展就應(yīng)運(yùn)而生了。如，“+”來源于十六世紀(jì)意大利科學(xué)家塔塔里亞的數(shù)理運(yùn)算，它用意大利文“plu”的首個(gè)字母來表示“加”。隨著時(shí)代的遷移最終演變?yōu)椤?”的形態(tài)并沿用至今。
農(nóng)村小學(xué)生基礎(chǔ)數(shù)理知識的學(xué)習(xí)，要從符號抓起。而讓他們愛上數(shù)學(xué)要從愛上閱讀數(shù)學(xué)符號開始，而愛上數(shù)學(xué)符號又要從解讀數(shù)學(xué)符號的真實(shí)含義開始。
二、融入生活中的數(shù)學(xué)閱讀
數(shù)學(xué)教師用自己的符號語言在黑板上做了如下表述：2x+3y+z=13，不出現(xiàn)一個(gè)漢字。學(xué)生問老師：“這些符號是什么意思呢？”學(xué)生A回答說：這是個(gè)和蘋果有關(guān)的故事，甲小孩拿了2個(gè)蘋果，乙小孩拿了3個(gè)蘋果，丙小孩拿了1個(gè)蘋果，一共拿走了13個(gè)蘋果。學(xué)生B回答說：這是一個(gè)三元一次方程式，已知數(shù)是“2、3、1和13”，x、y、z是這個(gè)不定式方程的求解未知數(shù)。學(xué)生C回答說：將x乘以2，將y乘以3，將z乘以1，三者相加的結(jié)果是13，問x、y、z各是多少？
老師笑了笑說：這些符號語言，就是我們用來進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的工具――數(shù)學(xué)符號。里面的2、3、1、+、=都是符號化的數(shù)學(xué)語言。但是三個(gè)學(xué)生的理解是有偏差的，A同學(xué)看到的是語言情境，B同學(xué)看到的是語言形式，只有C同學(xué)看到的才是符號本來的含義。從句式結(jié)構(gòu)上講，同學(xué)B口中的三元一次方程式既不能是陳述句，又不會是感嘆句，而應(yīng)該是疑問句。方程式在沒有正式解答之前都是疑問句。
數(shù)學(xué)符號的實(shí)質(zhì)含義都是一種沒有答案的邏輯推理，將文字語言和數(shù)學(xué)符號相互轉(zhuǎn)換能夠最大限度地激發(fā)學(xué)生對符號的學(xué)習(xí)積極性，從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)題目的生活化閱讀能力。
三、感受數(shù)學(xué)符號化語言帶來的閱讀體驗(yàn)
數(shù)學(xué)符號就像是積木，每一個(gè)小小游樂園里的建筑物都是由不同形狀、不同顏色的積木塊搭建而成，而這些積木構(gòu)造中又蘊(yùn)含了建筑知識的所有信息，需要搭建者去認(rèn)知、領(lǐng)悟、理解和應(yīng)用。學(xué)生除了要知道積木的“形狀、顏色、構(gòu)造”等本質(zhì)特征以外，還需要進(jìn)步掌握A積木與B積木或者C積木之間的建構(gòu)關(guān)系，在積木搭建過程中應(yīng)用好這些積木之間的邏輯關(guān)系，從而搭建出理想中城堡的樣子。
符號串聯(lián)融入習(xí)題的教學(xué)方法給學(xué)生帶來了一種不一樣的思維模式，傳統(tǒng)課堂上學(xué)生只知道數(shù)學(xué)符號是解題的線索和答題的工具，并不完全了解數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)發(fā)展史中舉足輕重的地位。而符號融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，最大限度地將數(shù)學(xué)符號的原始面貌呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生“腦洞大開”，思維上受到不一樣的洗禮，長遠(yuǎn)來看，是非常具有數(shù)學(xué)意義的。
概念口語訓(xùn)練的主要內(nèi)容有數(shù)和形的含義、數(shù)的組成的讀法和寫法。訓(xùn)練重點(diǎn)應(yīng)放在概念含義的形成過程和應(yīng)用過程的表述上。教師可以在學(xué)生有一定感知基礎(chǔ)上，由扶到放，達(dá)到理解概念的含義。例如第一冊加法意義的教學(xué)。教師創(chuàng)設(shè)情境，借助生活讓學(xué)生懂得如何說，如2+1，可以設(shè)計(jì)成2只兔子在一塊圓形的草地上吃蘿卜，教師用圓圈將草地圈上，再出現(xiàn)1只兔子跑進(jìn)來也要吃蘿卜，外面再來一個(gè)大圈。這時(shí)，教師問學(xué)生共有多少只兔子要吃蘿卜（讓學(xué)生體會共有多少個(gè)就是把它們合并起來）。這樣的引導(dǎo)，一年級的學(xué)生就能很快復(fù)述把2只兔子和1只兔子合并在一起，求一共是多少只，用加法計(jì)算?！?”號表示合并的意思。低年級的學(xué)生抽象形象比較差，生活情境可以讓他們明白加法概念的含義，雖然教師沒有明白說這是概念的含義，但學(xué)生可以根據(jù)情境來復(fù)述加法計(jì)算的過程，如果學(xué)生在復(fù)述時(shí)表達(dá)不清，教師只要適當(dāng)點(diǎn)撥就行。
數(shù)的含義和運(yùn)算意義的應(yīng)用過程，要訓(xùn)練學(xué)生看到一個(gè)數(shù)或一個(gè)運(yùn)算式子，能夠在頭腦里把抽象概括出來的一般概念與理論，與具體事物聯(lián)系起來，這是認(rèn)識過程的第二次飛躍。如看到一個(gè)小數(shù)或算式，就能講出它的含義。
二、計(jì)算訓(xùn)練重在算理
計(jì)算口語訓(xùn)練的主要內(nèi)容有口算的思維過程和筆算的算理算法。每個(gè)學(xué)生在口算時(shí)都有自己的一個(gè)策略，但這個(gè)策略有一定的算理在里面，離開了算理，學(xué)生口算就會出現(xiàn)錯(cuò)誤，教師要重視算理的傳授，鼓勵學(xué)生將怎樣算的過程講出來。如7+5=（ ），這是一年級學(xué)生最常要算的口算題，它的算理是湊十法，如何讓學(xué)生快速湊十，教師要引導(dǎo)學(xué)生口述計(jì)算過程：7和幾湊成10（7和3湊成10），把5分成3和2，7加3得10， 10再加2得12，所以7加5等于12。訓(xùn)練時(shí)應(yīng)注意：1.先理后法，即先理解算理，后概括口算方法。2.先詳后略，即先講詳盡的思維過程，再簡要說明過程。如上面湊十法的口算過程，當(dāng)學(xué)生說得較熟練時(shí)，可以讓學(xué)生簡單說：7+3=10，10+2=12。最后直接說出得數(shù)。3.先要求口算達(dá)到正確，再要求口算達(dá)到迅速。
三、應(yīng)用題訓(xùn)練重在思路
應(yīng)用題口語訓(xùn)練的內(nèi)容有“四講”。
1.講題意。先是讀題訓(xùn)練?！白x”是思維的第一步，是獲取信息的階段。要求學(xué)生讀得正確、清楚，不漏字、不加字、不讀破句子。再是講題意訓(xùn)練，訓(xùn)練學(xué)生用自己的話來復(fù)述題意。
2.講分析數(shù)量關(guān)系的過程。這是口語訓(xùn)練的重點(diǎn)。數(shù)量關(guān)系是應(yīng)用題的難點(diǎn)，只有讓學(xué)生明白已知條件和問題之間的關(guān)系，學(xué)生解答時(shí)才能變得簡單，再難的應(yīng)用題也是由簡單的組合而成的。應(yīng)用題的算理訓(xùn)練的重點(diǎn)放在兩個(gè)轉(zhuǎn)化上，一個(gè)是把應(yīng)用題中的日常語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言；二是把數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子。如分析“王老師買了32支鉛筆，要平均獎給8個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)可以得到幾支”。學(xué)生剛接觸這類題目時(shí)，教師在引導(dǎo)時(shí)要啟發(fā)學(xué)生：把32平均分成8份，每份是幾，就是每個(gè)同學(xué)得到的支數(shù)。根據(jù)“要分的總數(shù)作被除數(shù)，平均分的份數(shù)作除數(shù)”，列式成32÷8。復(fù)合應(yīng)用題分析數(shù)量關(guān)系的重點(diǎn)放在講思路上。常用的解題思路有綜合法、分析法和分析綜合法三種。綜合法是從條件想起，常用的思路提示語是“知道了……和……可以求出……”；分析法是從問題想起，常用的思路提示語是“要求……，必須知道……和……”；分析綜合法常用的思路提示語是“最后問題的數(shù)量關(guān)系式是什么”、“這個(gè)關(guān)系式中哪個(gè)數(shù)量是已知的，哪個(gè)是未知的”、“根據(jù)已知條件什么和什么，可以求出未知數(shù)量什么”。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，是兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷自我構(gòu)建、重組、修改、完善的過程。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識，形成數(shù)學(xué)技能，更為重要的是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)根本價(jià)值追求在于：通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生思維力，激活學(xué)生想象力，提升學(xué)生學(xué)習(xí)力。教學(xué)中，教師要潛泳到兒童數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”的天然地帶，幫助兒童積淀基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)文化、精神與品格。
一、培養(yǎng)兒童數(shù)意識，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維走向遠(yuǎn)方
“數(shù)意識”即“數(shù)感”，是兒童數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面。數(shù)意識不僅是兒童對數(shù)的感知覺，更是兒童對數(shù)與數(shù)、數(shù)與式、式與式等之間關(guān)聯(lián)的意識和靈動運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要讓兒童“眼中有數(shù)”，更要讓兒童“心中有數(shù)”。例如教學(xué)《“0”的認(rèn)識》（蘇教版小數(shù)教材第1冊），筆者在引導(dǎo)兒童認(rèn)識“0”時(shí)，讓孩子們找生活中的“0”，從而巧妙地滲透數(shù)學(xué)中“0”的不同含義。課堂交流中，有孩子在牛奶瓶上找到了“0”，這里的“0”表示牛奶喝完了。筆者由此相機(jī)揭示“0”的第一層含義――“0”表示沒有；有孩子在直尺上找到了“0”，筆者則順勢揭示“0”的第二層含義――“0”表示起點(diǎn)：有孩子在溫度計(jì)上找到“0”，筆者由此揭示“0”的第三層含義――“0”表示分界，等等。通過生活與數(shù)學(xué)之間的意義關(guān)聯(lián)，豐富學(xué)生數(shù)的理解，從而在兒童心中建立起“0”的心理鏡像。
兒童數(shù)意識的培養(yǎng)，是我們數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重要組成部分。這里，筆者通過正遷移的方式，從兒童的自我發(fā)現(xiàn)中及時(shí)歸納、總結(jié)，讓“0”這個(gè)普通的數(shù)字的三層含義――沒有、起點(diǎn)、分界，極其感性地呈現(xiàn)于他們面前，是他們驚嘆于數(shù)字的豐富內(nèi)涵。我們帶領(lǐng)兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)，就是促進(jìn)他們在數(shù)學(xué)上得到屬于自己的最大可能的不同發(fā)展。我們?nèi)绻軌蛟凇氨５住钡那疤嵯屡Υ龠M(jìn)兒童擁有良好的數(shù)意識，那么，他們的數(shù)學(xué)思維才能走向遠(yuǎn)方。
二、發(fā)展兒童思維力，真正提升兒童數(shù)學(xué)理解
數(shù)學(xué)理解是以概念、判斷和推理為基礎(chǔ)的理性理解。教學(xué)中，由于每一個(gè)兒童的知識經(jīng)驗(yàn)、生活經(jīng)驗(yàn)不同以及認(rèn)知特質(zhì)和認(rèn)知狀態(tài)差異使得每一個(gè)兒童的思維方式各不相同，有學(xué)生擅長操作思維、有學(xué)生擅長圖形思維、有學(xué)生擅長符號思維等。教學(xué)中教師要依托兒童的思維特質(zhì)，提升兒童數(shù)學(xué)理解。例如：教學(xué)《認(rèn)識長方形和正方形》（蘇教版小數(shù)教材第5冊），不同學(xué)生運(yùn)用不同方式探究長方形和正方形的特征，有孩子用“測量法”測量邊的長度、角的度數(shù)：有孩子用“對折法”探究對邊特征、對角特征；有孩子用“拼搭法”做長方形和正方形，從“做”中探究特征；有孩子用“畫平行線和垂線”的方法尋找長方形和正方形特征……
在數(shù)學(xué)探究中，學(xué)生充分運(yùn)用自己的前經(jīng)驗(yàn)、前理解、前認(rèn)知嘗試解決新問題，在這樣的靈動思維中，舊知得到充分的回顧和靈活運(yùn)用，新知有了去陌生化的奠基，從而，新舊認(rèn)知得到最合理的橋接。像這里，學(xué)生在實(shí)踐、交流、討論、思維碰撞中，真切認(rèn)識到長方形、正方形的基本特征，如四個(gè)直角、對邊相等、四邊相等……在此基礎(chǔ)上，教師再通過對長方形的旋轉(zhuǎn)、放大、縮小等變化，讓學(xué)生依據(jù)特征形成長方形的理性判斷，可以再度深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)理解。
三、開發(fā)兒童想象力，更好地建構(gòu)起數(shù)學(xué)知識
數(shù)學(xué)想象是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基石。愛因斯坦說：“想象力比知識更重要，因?yàn)橹R是有限的，而想象力卻概括著世界上的一切，并且推動著科學(xué)進(jìn)步。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識地創(chuàng)設(shè)生長兒童想象力的情境、空間，激活兒童的數(shù)學(xué)想象，讓兒童依托想象更好地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識。例如：教學(xué)《長方體和正方體的認(rèn)識》（蘇教版小數(shù)教材第9冊），筆者在學(xué)生初步掌握了長方體和正方體的名稱、特征以及關(guān)系后，便嘗試引導(dǎo)學(xué)生展開動態(tài)想象：教師先擦去一條棱，讓學(xué)生想象長方體：再擦去一條棱，再想象完整的長方體……這樣，隨著棱的條數(shù)越來越少，實(shí)際呈現(xiàn)的長方體完全敞開，在這不再封閉的圖形變化中，孩子們發(fā)現(xiàn)：只要具備相交于同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱，就能通過動態(tài)想象還原、重建出長方體的框架。教師由此自然揭示長方體的長、寬、高。這樣的動態(tài)想象，一方面鞏固了長方體特征知識：另一方面幫助學(xué)生建立了三S思考、想象的空間，豐厚了學(xué)生的想象經(jīng)驗(yàn)。
數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)化了的自然語言，是表達(dá)科學(xué)思想的通用語言和數(shù)學(xué)思維的最佳載體。它包含符號語言、文字語言和圖表語言，具有簡練、抽象、清楚以及形式多樣的特點(diǎn)。無論是符號語言還是圖表語言，最終讓學(xué)生理解其含義都要通過文字語言的表述，所以，這里重點(diǎn)闡述數(shù)學(xué)的文字語言。
一、數(shù)學(xué)文字語言的特點(diǎn)
1.準(zhǔn)確性。
自然語言具有多義性，含糊不清，而數(shù)學(xué)語言必須準(zhǔn)確、嚴(yán)密、清楚，不存在歧義，它是表達(dá)數(shù)學(xué)概念、判斷、推理、定理的邏輯思維語言，與富有彈性的文學(xué)語言相比，數(shù)學(xué)語言有一副“鐵板的面孔”。它的每個(gè)字、詞都有確切的含義，不容混淆?！耙辉淮畏匠獭迸c“一元二次方程”、“直線和射線”、“鈍角和銳角”等，一字之差，表示完全不同的兩個(gè)概念；詞序顛倒，也會表達(dá)兩種不同的意思，如“全不為零”與“不全為零”、“方程解”與“解方程”等。數(shù)學(xué)語言中，句子的附加成分常常作為條件，如定義“底面是正多邊形的直棱柱”中的定語，定理“平行四邊形中，對角線互相平分”中的狀語，都是不可增刪的條件，這就是數(shù)學(xué)特有的性質(zhì)——數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確性。
2.嚴(yán)謹(jǐn)性。
數(shù)學(xué)還有一副鋼制的骨架——嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿?。特殊不能代替一般，部分不能代替整體，不能臆斷、不能循環(huán)論證等。這些特點(diǎn)決定數(shù)學(xué)概念要表述準(zhǔn)確，判斷和推理要嚴(yán)密，敘述要合乎邏輯。所以，教學(xué)中教師要做到：講概念，抓住實(shí)質(zhì)，準(zhǔn)確無誤；做推理，步步有據(jù)，完整周詳；得規(guī)律，字斟句酌，無懈可擊。不僅如此，還要對概念的定義進(jìn)行解剖，對定理、法則中的關(guān)鍵詞語下一番咬文嚼字的功夫，并適當(dāng)輔以反例，以明確概念的內(nèi)涵。如，一位教師在教學(xué)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識時(shí)，指著一張紙的四分之一處說：這是四分之一。這句話準(zhǔn)確嗎?是不是缺少一些修飾語呢?數(shù)字只是一種“表示”符號。注意我這里強(qiáng)調(diào)的是一種“表示”，決不能說它“是”什么。如不能指著你的手說這是“5”，而應(yīng)說這是5個(gè)手指頭，再如有3棵樹，不能指著樹說：這是3，而應(yīng)說這是3棵樹。所以，剛才提到的分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識的四分之一正確的說法是：可以用四分之一來表示，或者占這張紙的四分之一，是這張紙的四分之一等。這樣的數(shù)學(xué)語言才準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范。再如，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)的分子和分母同乘或除以一個(gè)相同的數(shù)(零除外)，分?jǐn)?shù)的大小不變。這句話里的“同時(shí)”、“相同”、“零除外”這些詞概括得非常準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)，缺一不可，如果沒有這些詞分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)就不成立了。
3.簡潔性。
數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、高度抽象必然帶來數(shù)學(xué)語言的精練。用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)事實(shí)，要特別注意詳略得當(dāng)，簡潔明了，凡重復(fù)的或多余的敘述應(yīng)力求避免，而必須交代的事項(xiàng)則一定要闡述清楚，不可省略。例如加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置和不變。簡短的一句話包含了三層意思：研究范圍是兩個(gè)加數(shù)，交換加數(shù)的位置，和不變。應(yīng)該說不能再少一個(gè)字了。再如三角形的定義，由三條線段圍成的圖形。只有10個(gè)字，“三條”、“線段”、“圍成”、“圖形”再加上連接詞“由”和“的”，概括得嚴(yán)密準(zhǔn)確，惜字如金，沒有任何多余成份。
二、如何教學(xué)數(shù)學(xué)的文字語言
1.找準(zhǔn)每節(jié)課的核心數(shù)學(xué)語言或關(guān)鍵詞。
數(shù)學(xué)內(nèi)容是由數(shù)學(xué)語言構(gòu)成的，數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)。教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)時(shí)要盡量把每一節(jié)課的數(shù)學(xué)知識提煉成一兩句數(shù)學(xué)語言或一兩個(gè)關(guān)鍵詞，緊扣數(shù)學(xué)語言或關(guān)鍵詞展開教學(xué)。這樣，學(xué)生不僅能理解數(shù)學(xué)知識，更能夠發(fā)展思維，增長智慧。
如，教學(xué)長、正方形的周長，關(guān)于周長的描述，“圍成物體一周的總長，叫做這個(gè)物體的周長”，“圍成圖形一周的總長，就是這個(gè)圖形的周長”，這里要凸顯“一周”、“總長”。
又如，教學(xué)“面積”時(shí)，“物體表面的大小或封閉圖形的大小叫做面積”。這里要突出“表面”和“封閉圖形”，教師在教學(xué)時(shí)表述要準(zhǔn)確、清楚，如黑板面的大小、課桌面的大小、數(shù)學(xué)書封面的大小、墻壁面的大小等。
再如，在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”一課中，把一個(gè)物體平均分成(
)份，其中的一份是這個(gè)物體的(
)，這句話要讓學(xué)生結(jié)合具體物體才能夠完整地表述出來，就是說，不要求學(xué)生用語言概括出分?jǐn)?shù)的意義，但要能夠結(jié)合具體物體把某一具體分?jǐn)?shù)的含義表述完整，這樣才能說明學(xué)生真正理解了某一分?jǐn)?shù)表示的含義，否則就是一本糊涂賬。通過這種數(shù)學(xué)語言的教學(xué)，學(xué)生才能真正理解數(shù)學(xué)知識的含義，發(fā)展思維，增長智慧。
2.數(shù)學(xué)語言的抽象過程要清晰。
數(shù)學(xué)語言的抽象就是從眾多的生活事實(shí)中舍棄非數(shù)學(xué)的，提取出共性的、共同的、數(shù)學(xué)特有的東西。提取的時(shí)候要分成兩步，首先，相關(guān)的生活事實(shí)要豐富，其次，進(jìn)行去粗取精，去偽存真，提煉出數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西。如教學(xué)長方形、正方形的周長，教師可以先用鏡框的邊線進(jìn)行引入：“圍成這個(gè)鏡框一周木線條的總長，就叫做這個(gè)鏡框的周長?！苯處熞贿呎f一邊用手比劃，接著問：“什么是黑板的周長?”同樣讓學(xué)生一邊用手比劃，一邊用語言描述。再接著讓學(xué)生描述什么是講桌的周長、教室里墻壁上畫框的周長、窗戶玻璃的周長等。最后讓學(xué)生撇開這些具體的實(shí)物，用一句話來概括到底什么叫物體的周長?引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：圍成物體一周的總長度，叫做物體的周長。即先結(jié)合具體實(shí)物用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述，接著再引導(dǎo)學(xué)生撇開具體實(shí)物概括出純數(shù)學(xué)語言。
3.概括時(shí)要突凸顯數(shù)學(xué)語言的核心詞。
語文教學(xué)中要抓住關(guān)鍵詞、關(guān)鍵句進(jìn)行教學(xué)，同樣數(shù)學(xué)教學(xué)中也要抓住關(guān)鍵詞、句進(jìn)行教學(xué)。如上述的物體的周長描述中的“圍成”、“一周”、“總長”，就是周長定義的關(guān)鍵詞，學(xué)生進(jìn)行總結(jié)的時(shí)候，教師要引導(dǎo)學(xué)生把這些關(guān)鍵性的詞語凸顯處理。那么，如何才能凸顯這些關(guān)鍵詞呢?
首先，舉反例引出關(guān)鍵詞，如孩子在概括周長的時(shí)候，如果沒有加上“圍成”這個(gè)詞，教師可以在黑板上隨手畫上一片樹葉，并用紅筆描出大半個(gè)周長，質(zhì)疑學(xué)生這是這片樹葉的周長嗎?引出“圍成”這個(gè)詞，說明“圍成”是要首尾相連和封閉的。
一談及閱讀，人們聯(lián)想的往往是語文閱讀，然而，隨著社會的發(fā)展、科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步及“社會的數(shù)學(xué)化”，僅具語文閱讀能力的社會人已明顯地顯露出其能力的不足，如他們看不懂某些產(chǎn)品使用說明書，看不懂股市走勢圖，等等。此即表明，現(xiàn)代及未來社會要求人們具有的閱讀能力已不再只是語文閱讀能力，而是一種以語文閱讀能力為基礎(chǔ)，包括外語閱讀能力、數(shù)學(xué)閱讀能力、科技閱讀能力在內(nèi)的綜合閱讀能力。因此，在只重視語文閱讀能力培養(yǎng)的當(dāng)今學(xué)校教育中，加強(qiáng)學(xué)科閱讀教育研究，探索學(xué)科閱讀教學(xué)的特殊性及教育功能，認(rèn)識學(xué)科閱讀能力培養(yǎng)的重要性，就顯得尤為重要。這里就數(shù)學(xué)閱讀的特殊性談?wù)効捶ā?/p>
數(shù)學(xué)閱讀的特殊性：
數(shù)學(xué)是一種語言，“以前，人們認(rèn)為數(shù)學(xué)只是自然科學(xué)的語言和工具，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已成了所有科學(xué)――自然科學(xué)、社會科學(xué)、管理科學(xué)等的工具和語言”。不過，這種語言與日常語言不同，“日常語言是習(xí)俗的產(chǎn)物，也是社會和政治運(yùn)動的產(chǎn)物，而數(shù)學(xué)語言則是慎重地、有意地而且經(jīng)常是精心設(shè)計(jì)的”。因此，美國著名心理學(xué)家布龍菲爾德說：“數(shù)學(xué)不過是語言所能達(dá)到的最高境界”。更有前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾言：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”。而語言的學(xué)習(xí)是離不開閱讀的，所以，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不能離開閱讀，這便是數(shù)學(xué)閱讀之由來。
數(shù)學(xué)閱讀過程同一般閱讀過程一樣，是一個(gè)完整的心理活動過程，包含語言符號（文字、數(shù)學(xué)符號、術(shù)語、公式、圖表等）的感知和認(rèn)讀、新概念的同化和順應(yīng)、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素。同時(shí)，它也是一個(gè)不斷假設(shè)、證明、想象、推理的積極能動的認(rèn)知過程。但由于數(shù)學(xué)語言的符號化、邏輯化及嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性等特點(diǎn)，數(shù)學(xué)閱讀又有不同于一般閱讀的特殊性，認(rèn)識這些特殊性，對指導(dǎo)數(shù)學(xué)閱讀有重要意義。
首先，由于數(shù)學(xué)語言的高度抽象性，數(shù)學(xué)閱讀需要較強(qiáng)的邏輯思維能力。在閱讀過程中，讀者必須認(rèn)讀感知閱讀材料中有關(guān)的數(shù)學(xué)術(shù)語和符號，理解每個(gè)術(shù)語和符號，并能正確依據(jù)數(shù)學(xué)原理分析它們之間的邏輯關(guān)系，最后達(dá)到對材料的本真理解，形成知識結(jié)構(gòu)，這中間用到的邏輯推理思維特別多。而一般閱讀“理解和感知好像融合為一體，因?yàn)檫@種情況下的閱讀，主要的是運(yùn)用已有的知識，把它與新的印象聯(lián)系起來，從而掌握閱讀的對象”，較少運(yùn)用邏輯推理思維。
其次，數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)也在于它的精確性，每個(gè)數(shù)學(xué)概念、符號、術(shù)語都有其精確的含義，沒有含糊不清或易產(chǎn)生歧義的詞匯，數(shù)學(xué)中的結(jié)論錯(cuò)對分明，不存在似是而非模棱兩可的斷言，當(dāng)一個(gè)學(xué)生試圖閱讀、理解一段數(shù)學(xué)材料或一個(gè)概念、定理或其證明時(shí)，他必須了解其中出現(xiàn)的每個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語和每個(gè)數(shù)學(xué)符號的精確含義，不能忽視或略去任何一個(gè)不理解的詞匯。因此，瀏覽、快速閱讀等閱讀方式不太適合數(shù)學(xué)閱讀學(xué)習(xí)。
數(shù)學(xué)閱讀過程同一般閱讀過程一樣，是一個(gè)完整的心理活動過程，包含語言符號（文字、數(shù)學(xué)符號、術(shù)語、公式、圖表等）的感知和認(rèn)讀、新概念的同化和順應(yīng)、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素。同時(shí)，它也是一個(gè)不斷假設(shè)、證明、想象、推理的積極能動的認(rèn)知過程。但由于數(shù)學(xué)語言的符號化、邏輯化及嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性等特點(diǎn)，數(shù)學(xué)閱讀又有不同于一般閱讀的特殊性，認(rèn)識這些特殊性，對指導(dǎo)數(shù)學(xué)閱讀有重要意義。
首先，由于數(shù)學(xué)語言的高度抽象性，數(shù)學(xué)閱讀需要較強(qiáng)的邏輯思維能力。在閱讀過程中，讀者必須認(rèn)讀感知閱讀材料中有關(guān)的數(shù)學(xué)術(shù)語和符號，理解每個(gè)術(shù)語和符號，并能正確依據(jù)數(shù)學(xué)原理分析它們之間的邏輯關(guān)系，最后達(dá)到對材料的本真理解，形成知識結(jié)構(gòu)，這中間用到的邏輯推理思維特別多。而一般閱讀“理解和感知好像融合為一體，因?yàn)檫@種情況下的閱讀，主要的是運(yùn)用已有的知識，把它與新的印象聯(lián)系起來，從而掌握閱讀的對象”，較少運(yùn)用邏輯推理思維。
其次，數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)也在于它的精確性，每個(gè)數(shù)學(xué)概念、符號、術(shù)語都有其精確的含義，沒有含糊不清或易產(chǎn)生歧義的詞匯，數(shù)學(xué)中的結(jié)論錯(cuò)對分明，不存在似是而非模棱兩可的斷言，當(dāng)一個(gè)學(xué)生試圖閱讀、理解一段數(shù)學(xué)材料或一個(gè)概念、定理或其證明時(shí)，他必須了解其中出現(xiàn)的每個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語和每個(gè)數(shù)學(xué)符號的精確含義，不能忽視或略去任何一個(gè)不理解的詞匯。因此，瀏覽、快速閱讀等閱讀方式不太適合數(shù)學(xué)閱讀學(xué)習(xí)。
第三，數(shù)學(xué)閱讀要求認(rèn)真細(xì)致。閱讀一本小說或故事書時(shí)，可以不注意細(xì)節(jié)，進(jìn)行跳閱或?yàn)g覽無趣味的段落，但數(shù)學(xué)閱讀由于數(shù)學(xué)教科書編寫的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性及數(shù)學(xué)“言必有據(jù)”的特點(diǎn)，要求對每個(gè)句子、每個(gè)名詞術(shù)語、每個(gè)圖表都應(yīng)細(xì)致地閱讀分析，領(lǐng)會其內(nèi)容、含義。對新出現(xiàn)的數(shù)學(xué)定義、定理一般不能一遍過，要反復(fù)仔細(xì)閱讀，并進(jìn)行認(rèn)真分析直至弄懂含義。數(shù)學(xué)閱讀常出現(xiàn)這種情況，認(rèn)識一段數(shù)學(xué)材料中每一個(gè)字、詞或句子，卻不能理解其中的推理和數(shù)學(xué)含義，更難體會到其中的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)語言形式表述與數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的這一矛盾決定了數(shù)學(xué)閱讀必須勤思多想。
在閱讀過程中，讀者必須認(rèn)讀感知閱讀材料中有關(guān)的數(shù)學(xué)術(shù)語和符號，理解每個(gè)術(shù)語和符號，并能正確依據(jù)數(shù)學(xué)原理分析它們之間的邏輯關(guān)系，最后達(dá)到對材料的本真理解，形成知識結(jié)構(gòu)，這中間用到的邏輯推理思維特別多。而一般閱讀“理解和感知好像融合為一體，因?yàn)檫@種情況下的閱讀，主要的是運(yùn)用已有的知識，把它與新的印象聯(lián)系起來，從而掌握閱讀的對象”，較少運(yùn)用邏輯推理思維。
二、數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)也在于它的精確性
每個(gè)數(shù)學(xué)概念、符號、術(shù)語都有其精確的含義，沒有含糊不清或易產(chǎn)生歧義的詞匯，數(shù)學(xué)中的結(jié)論錯(cuò)對分明，不存在似是而非模棱兩可的斷言，當(dāng)一個(gè)學(xué)生試圖閱讀、理解一段數(shù)學(xué)材料或一個(gè)概念、定理或其證明時(shí)，他必須了解其中出現(xiàn)的每個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語和每個(gè)數(shù)學(xué)符號的精確含義，不能忽視或略去任何一個(gè)不理解的詞匯。因此，瀏覽、快速閱讀等閱讀方式不太適合數(shù)學(xué)閱讀學(xué)習(xí)。
三、數(shù)學(xué)閱讀要求認(rèn)真細(xì)致
閱讀一本小說或故事書時(shí)，可以不注意細(xì)節(jié)，進(jìn)行跳閱或?yàn)g覽無趣味的段落，但數(shù)學(xué)閱讀由于數(shù)學(xué)教科書編寫的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性及數(shù)學(xué) “言必有據(jù)”的特點(diǎn)，要求對每個(gè)句子、每個(gè)名詞術(shù)語、每個(gè)圖表都應(yīng)細(xì)致地閱讀分析，領(lǐng)會其內(nèi)容、含義。對新出現(xiàn)的數(shù)學(xué)定義、定理一般不能一遍過，要反復(fù)仔細(xì)閱讀，并進(jìn)行認(rèn)真分析直至弄懂含義。數(shù)學(xué)閱讀常出現(xiàn)這種情況，認(rèn)識一段數(shù)學(xué)材料中每一個(gè)字、詞或句子，卻不能理解其中的推理和數(shù)學(xué)含義，更難體會到其中的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)語言形式表述與數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的這一矛盾決定了數(shù)學(xué)閱讀必須勤思多想。
四、數(shù)學(xué)閱讀過程往往是讀寫結(jié)合過程
一方面，數(shù)學(xué)閱讀要求記憶重要概念、原理、公式，而書寫可以加快、加強(qiáng)記憶，數(shù)學(xué)閱讀時(shí)，對重要的內(nèi)容常通過書寫或作筆記來加強(qiáng)記憶；另一方面，教材編寫為了簡約，數(shù)學(xué)推理的理由常省略，運(yùn)算證明過程也常簡略，閱讀時(shí)，如果從上一步到下一步跨度較大，常需紙筆演算推理來“架橋鋪路”，以便順利閱讀；還有，數(shù)學(xué)閱讀時(shí)常要求從課文中概括歸納出一些東西，如解題格式、證明思想、知識結(jié)構(gòu)框圖，或舉一些反例、變式來加深理解，這些往往要求讀者以注腳的形式寫在頁邊上，以便以后復(fù)習(xí)鞏固。
