時間：2023-03-02 15:06:52
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指導(dǎo)老師：王建明
姓 名：張國生
學 號：XX0233
學 院：信息與計算科學學院
班 級：05信計2班
重力加速度的測定
一、實驗任務(wù)
精確測定銀川地區(qū)的重力加速度
二、實驗要求
測量結(jié)果的相對不確定度不超過5%
三、物理模型的建立及比較
初步確定有以下六種模型方案：
方法一、用打點計時器測量
所用儀器為：打點計時器、直尺、帶錢夾的鐵架臺、紙帶、夾子、重物、學生電源等.
利用自由落體原理使重物做自由落體運動.選擇理想紙帶，找出起始點0，數(shù)出時間為t的p點，用米尺測出op的距離為h，其中t=0.02秒×兩點間隔數(shù).由公式h=gt2/2得g=2h/t2，將所測代入即可求得g.
方法二、用滴水法測重力加速度
調(diào)節(jié)水龍頭閥門，使水滴按相等時間滴下，用秒表測出n個（n取50—100）水滴所用時間t，則每兩水滴相隔時間為t′=t/n，用米尺測出水滴下落距離h，由公式h=gt′2/2可得g=2hn2/t2.
方法三、取半徑為r的玻璃杯，內(nèi)裝適當?shù)囊后w，固定在旋轉(zhuǎn)臺上.旋轉(zhuǎn)臺繞其對稱軸以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，這時液體相對于玻璃杯的形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面
重力加速度的計算公式推導(dǎo)如下：
取液面上任一液元a，它距轉(zhuǎn)軸為x，質(zhì)量為m，受重力mg、彈力n.由動力學知：
ncosα-mg=0 （1）
nsinα＝mω2x （2）
兩式相比得tgα=ω2x/g，又 tgα=dy/dx，dy=ω2xdx/g，
y/x=ω2x/2g. g=ω2x2/2y.
.將某點對于對稱軸和垂直于對稱軸最低點的直角坐標系的坐標x、y測出，將轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)速ω代入即可求得g.
方法四、光電控制計時法
調(diào)節(jié)水龍頭閥門，使水滴按相等時間滴下，用秒表測出n個（n取50—100）水滴所用時間t，則每兩水滴相隔時間為t′=t/n，用米尺測出水滴下落距離h，由公式h=gt′2/2可得g=2hn2/t2.
方法五、用圓錐擺測量
所用儀器為：米尺、秒表、單擺.
使單擺的擺錘在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，用直尺測量出h（見圖1），用秒表測出擺錐n轉(zhuǎn)所用的時間t，則擺錐角速度ω=2πn/t
擺錐作勻速圓周運動的向心力f=mgtgθ，而tgθ=r/h所以mgtgθ=mω2r由以上幾式得：
g=4π2n2h/t2.
將所測的n、t、h代入即可求得g值.
方法六、單擺法測量重力加速度
在擺角很小時，擺動周期為：
則
通過對以上六種方法的比較，本想嘗試利用光電控制計時法來測量，但因為實驗室器材不全，故該方法無法進行；對其他幾種方法反復(fù)比較，用單擺法測量重力加速度原理、方法都比較簡單且最熟悉，儀器在實驗室也很齊全，故利用該方法來測最為順利，從而可以得到更為精確的值。
四、采用模型六利用單擺法測量重力加速度
摘要：
重力加速度是物理學中一個重要參量。地球上各個地區(qū)重力加速度的數(shù)值，隨該地區(qū)的地理緯度和相對海平面的高度而稍有差異。一般說，在赤道附近重力加速度值最小，越靠近南北兩極，重力加速度的值越大，最大值與最小值之差約為1/300。研究重力加速度的分布情況，在地球物理學中具有重要意義。利用專門儀器，仔細測繪各地區(qū)重力加速度的分布情況，還可以對地下資源進行探測。
伽利略在比薩大教堂內(nèi)觀察一個圣燈的緩慢擺動，用他的脈搏跳動作為計時器計算圣燈擺動的時間，他發(fā)現(xiàn)連續(xù)擺動的圣燈，其每次擺動的時間間隔是相等的，與圣燈擺動的幅度無關(guān)，并進一步用實驗證實了觀察的結(jié)果，為單擺作為計時裝置奠定了基礎(chǔ)。這就是單擺的等時性原理。
應(yīng)用單擺來測量重力加速度簡單方便，因為單擺的振動周期是決定于振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)，即決定于重力加速度g和擺長l，只需要量出擺長，并測定擺動的周期，就可以算出g值。
實驗器材：
單擺裝置（自由落體測定儀），鋼卷尺，游標卡尺、電腦通用計數(shù)器、光電門、單擺線
實驗原理：
單擺是由一根不能伸長的輕質(zhì)細線和懸在此線下端體積很小的重球所構(gòu)成。在擺長遠大于球的直徑，擺錐質(zhì)量遠大于線的質(zhì)量的條件下，將懸掛的小球自平衡位置拉至一邊（很小距離，擺角小于5°），然后釋放，擺錐即在平衡位置左右作周期性的往返擺動，如圖2-1所示。
f =p sinθ
f
θ
t=p cosθ
p = mg
l
圖2-1 單擺原理圖
擺錐所受的力f是重力和繩子張力的合力，f指向平衡位置。當擺角很小時（θ<5°），圓弧可近似地看成直線，f也可近似地看作沿著這一直線。設(shè)擺長為l，小球位移為x，質(zhì)量為m，則
sinθ=
f=psinθ=-mg =-m x （2-1）
由f=ma，可知a=- x
式中負號表示f與位移x方向相反。
單擺在擺角很小時的運動，可近似為簡諧振動，比較諧振動公式：a= =-ω2x
可得ω=
于是得單擺運動周期為：
t=2π/ω=2π （2-2）
t2= l （2-3）
或 g=4π2 （2-4）
利用單擺實驗測重力加速度時，一般采用某一個固定擺長l，在多次精密地測量出單擺的周期t后，代入（2-4）式，即可求得當?shù)氐闹亓铀俣萭。
由式（2-3）可知，t2和l之間具有線性關(guān)系， 為其斜率，如對于各種不同的擺長測出各自對應(yīng)的周期，則可利用t2—l圖線的斜率求出重力加速度g。
試驗條件及誤差分析：
上述單擺測量g的方法依據(jù)的公式是(2-2)式,這個公式的成立是有條件的，否則將使測量產(chǎn)生如下系統(tǒng)誤差:
1. 單擺的擺動周期與擺角的關(guān)系，可通過測量θ<5°時兩次不同擺角θ1、θ2的周期值進行比較。在本實驗的測量精度范圍內(nèi)，驗證出單擺的t與θ無關(guān)。
實際上，單擺的周期t隨擺角θ增加而增加。根據(jù)振動理論，周期不僅與擺長l有關(guān)，而且與擺動的角振幅有關(guān)，其公式為：
t=t0[1+( )2sin2 +( )2sin2 +……]
式中t0為θ接近于0o時的周期，即t0=2π
2．懸線質(zhì)量m0應(yīng)遠小于擺錐的質(zhì)量m，擺錐的半徑r應(yīng)遠小于擺長l，實際上任何一個單擺都不是理想的，由理論可以證明，此時考慮上述因素的影響，其擺動周期為：
3．如果考慮空氣的浮力，則周期應(yīng)為：
2．掌握文檔中文字的快速輸入并設(shè)置：文字的字號、字體、字顏色、行間距、字間距等格式。
3．掌握文檔中段落的分欄、首字下沉、底紋、邊框、頁眉頁腳等的設(shè)置方法。
4．掌握文檔中插入藝術(shù)字、剪貼畫、圖片及公式的方法、并設(shè)置其版式及圖片文字說明。 5．掌握規(guī)則、非規(guī)則表格的設(shè)計。
5.掌握使用Word軟件對論文、科技文章進行排版。
6.掌握文檔中頁面設(shè)置、文字的字體字號、顏色、行間距、字間距的設(shè)置。 8.掌握分頁、分節(jié)要點，按不同章節(jié)的要求，設(shè)置不同的頁眉、頁腳。
7．掌握正文及三級標題的設(shè)置，并自動生成目錄（或有修改后同步該目錄）。 10．掌握論文封面的設(shè)計。
二、實驗內(nèi)容
1.單文檔圖文混排。
2.長文檔排版。
三、實驗過程及結(jié)果
氣溫: 21.7 ℃ 大氣壓: 101.7 kpa
實驗一 恒溫水浴的組裝及其性能測試
1目的要求
了解恒溫水浴的構(gòu)造及其構(gòu)造原理，學會恒溫水浴的裝配技術(shù)； 測繪恒溫水浴的靈敏度曲線； 掌握貝克曼溫度計的調(diào)節(jié)技術(shù)和正確使用方法。
2儀器與試劑
5升大燒杯 貝克曼溫度計 精密溫度計 加熱器
水銀接觸溫度計 繼電器 攪拌器 調(diào)壓變壓器
3數(shù)據(jù)處理:
實驗時間
4/17/2000
室溫 ℃
21.7
大氣壓pa
101.7*10^3
1
2.950
2.840
2.770
2.640
2.510
2.650
2.620
2.530
2.420
2.310
2.560
2.510
2.420
2.310
2.200
2
3.130
2.980
2.950
3.110
2.930
3.730
3.090
2.930
3.600
3.050
2.880
3.220
2.970
3.150
3.170
3
2.860
2.950
3.210
2.860
2.940
3.150
2.840
2.920
3.040
2.930
2.910
3.040
2.910
2.860
2.970
曲線圖:
關(guān)鍵詞：熱敏電阻、非平衡直流電橋、電阻溫度特性
1、引言
熱敏電阻是根據(jù)半導(dǎo)體材料的電導(dǎo)率與溫度有很強的依賴關(guān)系而制成的一種器件，其電阻溫度系數(shù)一般為(-0.003~+0.6)℃-1。因此，熱敏電阻一般可以分為:
Ⅰ、負電阻溫度系數(shù)(簡稱NTC)的熱敏電阻元件
常由一些過渡金屬氧化物(主要用銅、鎳、鈷、鎘等氧化物)在一定的燒結(jié)條件下形成的半導(dǎo)體金屬氧化物作為基本材料制成的，近年還有單晶半導(dǎo)體等材料制成。國產(chǎn)的主要是指MF91~MF96型半導(dǎo)體熱敏電阻。由于組成這類熱敏電阻的上述過渡金屬氧化物在室溫范圍內(nèi)基本已全部電離，即載流子濃度基本上與溫度無關(guān)，因此這類熱敏電阻的電阻率隨溫度變化主要考慮遷移率與溫度的關(guān)系，隨著溫度的升高，遷移率增加，電阻率下降。大多應(yīng)用于測溫控溫技術(shù)，還可以制成流量計、功率計等。
Ⅱ、正電阻溫度系數(shù)(簡稱PTC)的熱敏電阻元件
常用鈦酸鋇材料添加微量的鈦、鋇等或稀土元素采用陶瓷工藝，高溫燒制而成。這類熱敏電阻的電阻率隨溫度變化主要依賴于載流子濃度，而遷移率隨溫度的變化相對可以忽略。載流子數(shù)目隨溫度的升高呈指數(shù)增加，載流子數(shù)目越多，電阻率越小。應(yīng)用廣泛，除測溫、控溫，在電子線路中作溫度補償外，還制成各類加熱器，如電吹風等。
2、實驗裝置及原理
【實驗裝置】
FQJ—Ⅱ型教學用非平衡直流電橋，F(xiàn)QJ非平衡電橋加熱實驗裝置(加熱爐內(nèi)置MF51型半導(dǎo)體熱敏電阻(2.7kΩ)以及控溫用的溫度傳感器)，連接線若干。
【實驗原理】
根據(jù)半導(dǎo)體理論，一般半導(dǎo)體材料的電阻率 和絕對溫度 之間的關(guān)系為式中a與b對于同一種半導(dǎo)體材料為常量，其數(shù)值與材料的物理性質(zhì)有關(guān)。因而熱敏電阻的電阻值 可以根據(jù)電阻定律寫為式中 為兩電極間距離， 為熱敏電阻的橫截面。
對某一特定電阻而言， 與b均為常數(shù)，用實驗方法可以測定。為了便于數(shù)據(jù)處理，將上式兩邊取對數(shù)，則有上式表明 與 呈線，在實驗中只要測得各個溫度 以及對應(yīng)的電阻 的值，以 為橫坐標， 為縱坐標作圖，則得到的圖線應(yīng)為直線，可用圖解法、計算法或最小二乘法求出參數(shù) a、b的值。熱敏電阻的電阻溫度系數(shù) 下式給出。
從上述方法求得的b值和室溫代入式(1—4)，就可以算出室溫時的電阻溫度系數(shù)。
熱敏電阻 在不同溫度時的電阻值，可由非平衡直流電橋測得。非平衡直流電橋原理圖如右圖所示，B、D之間為一負載電阻 ，只要測出 ，就可以得到 值。
當負載電阻 ，即電橋輸出處于開路狀態(tài)時， =0，僅有電壓輸出，用 表示，當 時，電橋輸出 =0，即電橋處于平衡狀態(tài)。為了測量的準確性，在測量之前，電橋必須預(yù)調(diào)平衡，這樣可使輸出電壓只與某一臂的電阻變化有關(guān)。
若R1、R2、R3固定，R4為待測電阻，R4 = RX，則當R4R4+R時，因電橋不平衡而產(chǎn)生的電壓輸出為：(1—5)
在測量MF51型熱敏電阻時，非平衡直流電橋所采用的是立式電橋 ， 且 ，則(1—6)
式中R和 均為預(yù)調(diào)平衡后的電阻值，測得電壓輸出后，通過式(1—6)運算可得R，從而求的 =R4+R。
3、熱敏電阻的電阻溫度特性研究
根據(jù)表一中MF51型半導(dǎo)體熱敏電阻(2.7kΩ)之電阻~溫度特性研究橋式電路，并設(shè)計各臂電阻R和 的值，以確保電壓輸出不會溢出(本實驗 =1000.0Ω， =4323.0Ω)。
根據(jù)橋式，預(yù)調(diào)平衡，將“功能轉(zhuǎn)換”開關(guān)旋至“電壓“位置，按下G、B開關(guān)，打開實驗加熱裝置升溫，每隔2℃測1個值，并將測量數(shù)據(jù)列表(表二)。
MF51型半導(dǎo)體熱敏電阻(2.7kΩ)之電阻～溫度特性
溫度℃ 25 30 35 40 45 50 55 60 65
電阻Ω 2700 2225 1870 1573 1341 1160 1000 868 748
非平衡電橋電壓輸出形式(立式)測量MF51型熱敏電阻的數(shù)據(jù)
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
溫度t℃ 10.4 12.4 14.4 16.4 18.4 20.4 22.4 24.4 26.4 28.4
熱力學T K 283.4 285.4 287.4 289.4 291.4 293.4 295.4 297.4 299.4 301.4
0.0 -12.5 -27.0 -42.5 -58.4 -74.8 -91.6 -107.8 -126.4 -144.4
0.0 -259.2 -529.9 -789 -1027.2 -124.8 -1451.9 -1630.1 -1815.4 -1977.9
4323.0 4063.8 3793.1 3534.0 3295.8 3074.9 2871.1 2692.9 2507.6 2345.1
根據(jù)表二所得的數(shù)據(jù)作出 ～ 圖，如右圖所示。運用最小二乘法計算所得的線性方程為 ，即MF51型半導(dǎo)體熱敏電阻(2.7kΩ)的電阻～溫度特性的數(shù)學表達式為 。
4、實驗結(jié)果誤差
通過實驗所得的MF51型半導(dǎo)體熱敏電阻的電阻—溫度特性的數(shù)學表達式為 。根據(jù)所得表達式計算出熱敏電阻的電阻～溫度特性的測量值，與表一所給出的參考值有較好的一致性，如下表所示：
表三 實驗結(jié)果比較
溫度℃ 25 30 35 40 45 50 55 60 65
參考值RT Ω 2700 2225 1870 1573 1341 1160 1000 868 748
測量值RT Ω 2720 2238 1900 1587 1408 1232 1074 939 823
相對誤差 % 0.74 0.58 1.60 0.89 4.99 6.20 7.40 8.18 10.00
從上述結(jié)果來看，基本在實驗誤差范圍之內(nèi)。但我們可以清楚的發(fā)現(xiàn)，隨著溫度的升高，電阻值變小，但是相對誤差卻在變大，這主要是由內(nèi)熱效應(yīng)而引起的。
5、內(nèi)熱效應(yīng)的影響
1、引言
熱敏電阻是根據(jù)半導(dǎo)體材料的電導(dǎo)率與溫度有很強的依賴關(guān)系而制成的一種器件，其電阻溫度系數(shù)一般為（-0.003~+0.6）℃-1。因此，熱敏電阻一般可以分為:
Ⅰ、負電阻溫度系數(shù)（簡稱NTC）的熱敏電阻元件
常由一些過渡金屬氧化物（主要用銅、鎳、鈷、鎘等氧化物）在一定的燒結(jié)條件下形成的半導(dǎo)體金屬氧化物作為基本材料制成的，近年還有單晶半導(dǎo)體等材料制成。國產(chǎn)的主要是指MF91~MF96型半導(dǎo)體熱敏電阻。由于組成這類熱敏電阻的上述過渡金屬氧化物在室溫范圍內(nèi)基本已全部電離，即載流子濃度基本上與溫度無關(guān)，因此這類熱敏電阻的電阻率隨溫度變化主要考慮遷移率與溫度的關(guān)系，隨著溫度的升高，遷移率增加，電阻率下降。大多應(yīng)用于測溫控溫技術(shù)，還可以制成流量計、功率計等。
Ⅱ、正電阻溫度系數(shù)（簡稱PTC）的熱敏電阻元件
常用鈦酸鋇材料添加微量的鈦、鋇等或稀土元素采用陶瓷工藝，高溫燒制而成。這類熱敏電阻的電阻率隨溫度變化主要依賴于載流子濃度，而遷移率隨溫度的變化相對可以忽略。載流子數(shù)目隨溫度的升高呈指數(shù)增加，載流子數(shù)目越多，電阻率越校應(yīng)用廣泛，除測溫、控溫，在電子線路中作溫度補償外，還制成各類加熱器，如電吹風等。
2、實驗裝置及原理
【實驗裝置】
FQJ—Ⅱ型教學用非平衡直流電橋，F(xiàn)QJ非平衡電橋加熱實驗裝置（加熱爐內(nèi)置MF51型半導(dǎo)體熱敏電阻（2.7kΩ）以及控溫用的溫度傳感器），連接線若干。
【實驗原理】
根據(jù)半導(dǎo)體理論，一般半導(dǎo)體材料的電阻率 和絕對溫度 之間的關(guān)系為
（1—1）
式中a與b對于同一種半導(dǎo)體材料為常量，其數(shù)值與材料的物理性質(zhì)有關(guān)。因而熱敏電阻的電阻值 可以根據(jù)電阻定律寫為
（1—2）
式中 為兩電極間距離， 為熱敏電阻的橫截面， 。
對某一特定電阻而言， 與b均為常數(shù)，用實驗方法可以測定。為了便于數(shù)據(jù)處理，將上式兩邊取對數(shù)，則有
（1—3）
上式表明 與 呈線性關(guān)系，在實驗中只要測得各個溫度 以及對應(yīng)的電阻 的值，
以 為橫坐標， 為縱坐標作圖，則得到的圖線應(yīng)為直線，可用圖解法、計算法或最小二乘法求出參數(shù) a、b的值。
熱敏電阻的電阻溫度系數(shù) 下式給出
（1—4）
從上述方法求得的b值和室溫代入式（1—4），就可以算出室溫時的電阻溫度系數(shù)。
熱敏電阻 在不同溫度時的電阻值，可由非平衡直流電橋測得。非平衡直流電橋原理圖如右圖所示，B、D之間為一負載電阻 ，只要測出 ，就可以得到 值。
當負載電阻 ，即電橋輸出處于開
路狀態(tài)時， =0，僅有電壓輸出，用 表示，當 時，電橋輸出 =0，即電橋處于平衡狀態(tài)。為了測量的準確性，在測量之前，電橋必須預(yù)調(diào)平衡，這樣可使輸出電壓只與某一臂的電阻變化有關(guān)。
若R1、R2、R3固定，R4為待測電阻，R4 = RX，則當R4R4+R時，因電橋不平衡而產(chǎn)生的電壓輸出為：
（1—5）
在測量MF51型熱敏電阻時，非平衡直流電橋所采用的是立式電橋 ， ，且 ，則
（1—6）
式中R和 均為預(yù)調(diào)平衡后的電阻值，測得電壓輸出后，通過式（1—6）運算可得R，從而求的 =R4+R。
3、熱敏電阻的電阻溫度特性研究
根據(jù)表一中MF51型半導(dǎo)體熱敏電阻（2.7kΩ）之電阻~溫度特性研究橋式電路，并設(shè)計各臂電阻R和 的值，以確保電壓輸出不會溢出（本實驗 =1000.0Ω， =4323.0Ω）。
根據(jù)橋式，預(yù)調(diào)平衡，將“功能轉(zhuǎn)換”開關(guān)旋至“電壓“位置，按下G、B開關(guān)，打開實驗加熱裝置升溫，每隔2℃測1個值，并將測量數(shù)據(jù)列表（表二）。
表一 MF51型半導(dǎo)體熱敏電阻（2.7kΩ）之電阻～溫度特性
溫度℃ 25 30 35 40 45 50 55 60 65
電阻Ω 2700 2225 1870 1573 1341 1160 1000 868 748
表二 非平衡電橋電壓輸出形式（立式）測量MF51型熱敏電阻的數(shù)據(jù)
i 9 10
溫度t℃ 10.4 12.4 14.4 16.4 18.4 20.4 22.4 24.4 26.4 28.4
熱力學T K 283.4 285.4 287.4 289.4 291.4 293.4 295.4 297.4 299.4 301.4
0.0 -12.5 -27.0 -42.5 -58.4 -74.8 -91.6 -107.8 -126.4 -144.4
0.0 -259.2 -529.9 -789 -1027.2 -124.8 -1451.9 -1630.1 -1815.4 -1977.9
4323.0 4063.8 3793.1 3534.0 3295.8 3074.9 2871.692.9 2507.6 2345.1
根據(jù)表二所得的數(shù)據(jù)作出 ～ 圖，如右圖所示。運用最小二乘法計算所得的線性方程為 ，即MF51型半導(dǎo)體熱敏電阻（2.7kΩ）的電阻～溫度特性的數(shù)學表達式為 。
4、實驗結(jié)果誤差
通過實驗所得的MF51型半導(dǎo)體熱敏電阻的電阻—溫度特性的數(shù)學表達式為 。根據(jù)所得表達式計算出熱敏電阻的電阻～溫度特性的測量值，與表一所給出的參考值有較好的一致性，如下表所示：
表三 實驗結(jié)果比較
溫度℃ 25 30 35 40 45 50 55 60 65
參考值RT Ω 2700 2225 1870 1573 1341 1160 1000 868 748
測量值RT Ω 2720 2238 1900 1587 1408 1232 1074 939 823
相對誤差 % 0.74 0.58 1.60 0.89 4.99 6.20 7.40 8.18 10.00
從上述結(jié)果來看，基本在實驗誤差范圍之內(nèi)。但我們可以清楚的發(fā)現(xiàn)，隨著溫度的升高，電阻值變小，但是相對誤差卻在變大，這主要是由內(nèi)熱效應(yīng)而引起的。
5、內(nèi)熱效應(yīng)的影響
在實驗過程中，由于利用非平衡電橋測量熱敏電阻時總有一定的工作電流通過，熱敏電阻的電阻值大，體積小，熱容量小，因此焦耳熱將迅速使熱敏電阻產(chǎn)生穩(wěn)定的高于外界溫度的附加內(nèi)熱溫升，這就是所謂的內(nèi)熱效應(yīng)。在準確測量熱敏電阻的溫度特性時，必須考慮內(nèi)熱效應(yīng)的影響。本實驗不作進一步的研究和探討。
6、實驗小結(jié)
通過實驗，我們很明顯的可以發(fā)現(xiàn)熱敏電阻的阻值對溫度的變化是非常敏感的，而且隨著溫度上升，其電阻值呈指數(shù)關(guān)系下降。因而可以利用電阻—溫度特性制成各類傳感器，可使微小的溫度變化轉(zhuǎn)變?yōu)殡娮璧淖兓纬纱蟮男盘栞敵?，特別適于高精度測量。又由于元件的體積小，形狀和封裝材料選擇性廣，特別適于高溫、高濕、振動及熱沖擊等環(huán)境下作溫濕度傳感器，可應(yīng)用與各種生產(chǎn)作業(yè)，開發(fā)潛力非常大。
參考文獻：
[1] 竺江峰，蘆立娟，魯曉東。 大學物理實驗[M]
題目：
考慮線性方程組，，，編制一個能自動選取主元，又能手動選取主元的求解線性代數(shù)方程組的Gauss消去過程。
（1）取矩陣，，則方程有解。取計算矩陣的條件數(shù)。分別用順序Gauss消元、列主元Gauss消元和完全選主元Gauss消元方法求解，結(jié)果如何？
（2）現(xiàn)選擇程序中手動選取主元的功能，每步消去過程都選取模最小或按模盡可能小的元素作為主元進行消元，觀察并記錄計算結(jié)果，若每步消去過程總選取按模最大的元素作為主元，結(jié)果又如何？分析實驗的結(jié)果。
（3）取矩陣階數(shù)n=20或者更大，重復(fù)上述實驗過程，觀察記錄并分析不同的問題及消去過程中選擇不同的主元時計算結(jié)果的差異，說明主元素的選取在消去過程中的作用。
（4）選取其他你感興趣的問題或者隨機生成的矩陣，計算其條件數(shù)，重復(fù)上述實驗，觀察記錄并分析實驗的結(jié)果。
1.
算法介紹
首先，分析各種算法消去過程的計算公式，
順序高斯消去法：
第k步消去中，設(shè)增廣矩陣中的元素（若等于零則可以判定系數(shù)矩陣為奇異矩陣，停止計算），則對k行以下各行計算，分別用乘以增廣矩陣的第行并加到第行，則可將增廣矩陣中第列中以下的元素消為零；重復(fù)此方法，從第1步進行到第n-1步，則可以得到最終的增廣矩陣，即；
列主元高斯消去法：
第k步消去中，在增廣矩陣中的子方陣中，選取使得，當時，對中第行與第行交換，然后按照和順序消去法相同的步驟進行。重復(fù)此方法，從第1步進行第n-1步，就可以得到最終的增廣矩陣，即；
完全主元高斯消去法：
第k步消去中，在增廣矩陣中對應(yīng)的子方陣中，選取使得，若或，則對中第行與第行、第列與第列交換，然后按照和順序消去法相同的步驟進行即可。重復(fù)此方法，從第1步進行到第n-1步，就可以得到最終的增廣矩陣，即；
接下來，分析回代過程求解的公式，容易看出，對上述任一種消元法，均有以下計算公式：
2.
實驗程序的設(shè)計
一、輸入實驗要求及初始條件；
二、計算系數(shù)矩陣A的條件數(shù)及方程組的理論解；
三、對各不同方法編程計算，并輸出最終計算結(jié)果。
3.
計算結(jié)果及分析
（1）
先計算系數(shù)矩陣的條件數(shù)，結(jié)果如下，
可知系數(shù)矩陣的條件數(shù)較大，故此問題屬于病態(tài)問題，
b或A的擾動都可能引起解的較大誤差；
采用順序高斯消去法，計算結(jié)果為：
最終解為x=(1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000001,
0.999999999999998,
1.000000000000004,
0.999999999999993,
1.000000000000012,
0.999999999999979,
1.000000000000028)T
使用無窮范數(shù)衡量誤差，得到=2.842170943040401e-14，可以發(fā)現(xiàn)，采用順序高斯消元法求得的解與精確解之間誤差較小。通過進一步觀察，可以發(fā)現(xiàn)，按照順序高斯消去法計算時，其選取的主元值和矩陣中其他元素大小相近，因此順序高斯消去法方式并沒有對結(jié)果造成特別大的影響。
若采用列主元高斯消元法，則結(jié)果為：
最終解為x=(1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000)T
同樣使用無窮范數(shù)衡量誤差，有=0；
若使用完全主元高斯消元法，則結(jié)果為
最終解x=(1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000,
1.000000000000000)T
同樣使用無窮范數(shù)衡量誤差，有=0；
（2）
若每步都選取模最小或盡可能小的元素為主元，則計算結(jié)果為
最終解x=(1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000001
0.999999999999998
1.000000000000004
0.999999999999993
1.000000000000012
0.999999999999979
1.000000000000028)T
使用無窮范數(shù)衡量誤差，有為2.842170943040401e-14；而完全主元消去法的誤差為=0。
從（1）和（2）的實驗結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，列主元消去法和完全主元消去法都得到了精確解，而順序高斯消去法和以模盡量小的元素為主元的消去法沒有得到精確解。在后兩種消去法中，由于程序計算時的舍入誤差，對最終結(jié)果產(chǎn)生了一定的影響，但由于方程組的維度較低，并且元素之間相差不大，所以誤差仍比較小。
為進一步分析，計算上述4種方法每步選取的主元數(shù)值，并列表進行比較，結(jié)果如下：
第n次消元
順序
列主元
完全主元
模最小
1
6.000000000000000
8
8
6.000000000000000
2
4.666666666666667
8
8
4.666666666666667
3
4.285714285714286
8
8
4.285714285714286
4
4.133333333333333
8
8
4.133333333333333
5
4.064516129032258
8
8
4.064516129032258
6
4.031746031746032
8
8
4.031746031746032
7
4.015748031496063
8
8
4.015748031496063
8
4.007843137254902
8
8
4.007843137254902
9
4.003913894324853
8
8
4.003913894324853
10
4.001955034213099
0.015617370605469
0.015617370605469
4.001955034213099
從上表可以發(fā)現(xiàn)，對這個方程組而言，順序高斯消去選取的主元恰好事模盡量小的元素，而由于列主元和完全主元選取的元素為8，與4在數(shù)量級上差別小，所以計算過程中的累積誤差也較小，最終4種方法的輸出結(jié)果均較為精確。
在這里，具體解釋一下順序法與模最小法的計算結(jié)果完全一致的原因。該矩陣在消元過程中，每次選取主元的一列只有兩個非零元素，對角線上的元素為4左右，而其正下方的元素為8，該列其余位置的元素均為0。在這樣的情況下，默認的主元也就是該列最小的主元，因此兩種方法所得到的計算結(jié)果是一致的。
理論上說，完全高斯消去法的誤差最小，其次是列主元高斯消去法，而選取模最小的元素作為主元時的誤差最大，但是由于方程組的特殊性（元素相差不大并且維度不高），這個理論現(xiàn)象在這里并沒有充分體現(xiàn)出來。
（3）
時，重復(fù)上述實驗過程，各種方法的計算結(jié)果如下所示，在這里，仍采用無窮范數(shù)衡量絕對誤差。
順序高斯消去法
列主元高斯消去
完全主元高斯消去
選取模最小或盡可能小元素作為主元消去
X
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000001
0.999999999999998
1.000000000000004
0.999999999999993
1.000000000000014
0.999999999999972
1.000000000000057
0.999999999999886
1.000000000000227
0.999999999999547
1.000000000000902
0.999999999998209
1.000000000003524
0.999999999993179
1.000000000012732
0.999999999978173
1.000000000029102
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000000
1.000000000000001
0.999999999999998
1.000000000000004
0.999999999999993
1.000000000000014
0.999999999999972
1.000000000000057
0.999999999999886
1.000000000000227
0.999999999999547
1.000000000000902
0.999999999998209
1.000000000003524
0.999999999993179
1.000000000012732
0.999999999978173
1.000000000029102
2.910205409989430e-11
2.910205409989430e-11
可以看出，此時列主元和完全主元的計算結(jié)果仍為精確值，而順序高斯消去和模盡可能小方法仍然產(chǎn)生了一定的誤差，并且兩者的誤差一致。與n=10時候的誤差比相比，n=20時的誤差增長了大約1000倍，這是由于計算過程中舍入誤差的不斷累積所致。所以，如果進一步增加矩陣的維數(shù)，應(yīng)該可以看出更明顯的現(xiàn)象。
（4）
不同矩陣維度下的誤差如下，在這里，為方便起見，選取2-條件數(shù)對不同維度的系數(shù)矩陣進行比較。
維度
條件數(shù)
順序消去
列主元
完全主元
模盡量小
1.7e+3
2.84e-14
2.84e-14
1.8e+6
2.91e-11
2.91e-11
5.7e+7
9.31e-10
9.31e-10
1.8e+9
2.98e-08
2.98e-08
1.9e+12
3.05e-05
3.05e-05
3.8e+16
3.28e+04
3.88e-12
3.88e-12
3.28e+04
8.5e+16
3.52e+13
4.2e-3
4.2e-3
3.52e+13
從上表可以看出，隨著維度的增加，不同方法對計算誤差的影響逐漸體現(xiàn)，并且增長較快，這是由于舍入誤差逐步累計而造成的。不過，方法二與方法三在維度小于40的情況下都得到了精確解，這兩種方法的累計誤差遠比方法一和方法四慢；同樣地，出于與前面相同的原因，方法一與方法四的計算結(jié)果保持一致，方法二與方法三的計算結(jié)果保持一致。
4.
結(jié)論
本文矩陣中的元素差別不大，模最大和模最小的元素并沒有數(shù)量級上的差異，因此，不同的主元選取方式對計算結(jié)果的影響在維度較低的情況下并不明顯，四種方法都足夠精確。
對比四種方法，可以發(fā)現(xiàn)采用列主元高斯消去或者完全主元高斯消去法，可以盡量抑制誤差，算法最為精確。不過，對于低階的矩陣來說，四種方法求解出來的結(jié)果誤差均較小。
另外，由于完全選主元方法在選主元的過程中計算量較大，而且可以發(fā)現(xiàn)列主元法已經(jīng)可以達到很高的精確程度，因而在實際計算中可以選用列主元法進行計算。
附錄：程序代碼
clear
clc;
format
long;
%方法選擇
n=input(＇矩陣A階數(shù):n=＇);
disp(＇選取求解方式＇);
disp(＇1
順序Gauss消元法，2
列主元Gauss消元法，3
完全選主元Gauss消元法，4
模最小或近可能小的元素作為主元＇);
a=input(＇求解方式序號：＇);
%賦值A(chǔ)和b
A=zeros(n,n);
b=zeros(n,1);
for
i=1:n
A(i,i)=6;
if
i>1
A(i,i-1)=8;
end
if
i
A(i,i+1)=1;
end
end
for
i=1:n
for
j=1:n
b(i)=b(i)+A(i,j);
end
end
disp(＇給定系數(shù)矩陣為：＇);
A
disp(＇右端向量為：＇);
b
%求條件數(shù)及理論解
disp(＇線性方程組的精確解：＇);
X=(A＼b)＇
fprintf(＇矩陣A的1-條件數(shù):
%f
＼n＇,cond(A,1));
fprintf(＇矩陣A的2-條件數(shù):
%f
＼n＇,cond(A));
fprintf(＇矩陣A的無窮-條件數(shù):
%f
＼n＇,cond(A,inf));
%順序Gauss消元法
if
a==1
A1=A;b1=b;
for
k=1:n
if
A1(k,k)==0
disp(＇主元為零，順序Gauss消元法無法進行＇);
break
end
fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A1(k,k))
%disp(＇此次消元后系數(shù)矩陣為：＇);
%A1
for
p=k+1:n
l=A1(p,k)/A1(k,k);
A1(p,k:n)=A1(p,k:n)-l*A1(k,k:n);
b1(p)=b1(p)-l*b1(k);
end
end
x1(n)=b1(n)/A1(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
w=k+1:n
b1(k)=b1(k)-A1(k,w)*x1(w);
end
x1(k)=b1(k)/A1(k,k);
end
disp(＇順序Gauss消元法解為:＇);
disp(x1);
disp(＇所求解與精確解之差的無窮-范數(shù)為＇);
norm(x1-X,inf)
end
%列主元Gauss消元法
if
a==2
A2=A;b2=b;
for
k=1:n
[max_i,max_j]=find(A2(:,k)==max(abs(A2(k:n,k))));
if
max_i~=k
A2_change=A2(k,:);
A2(k,:)=A2(max_i,:);
A2(max_i,:)=A2_change;
b2_change=b2(k);
b2(k)=b2(max_i);
b2(max_i)=b2_change;
end
if
A2(k,k)==0
disp(＇主元為零，列主元Gauss消元法無法進行＇);
break
end
fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A2(k,k))
%disp(＇此次消元后系數(shù)矩陣為：＇);
%A2
for
p=k+1:n
l=A2(p,k)/A2(k,k);
A2(p,k:n)=A2(p,k:n)-l*A2(k,k:n);
b2(p)=b2(p)-l*b2(k);
end
end
x2(n)=b2(n)/A2(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
w=k+1:n
b2(k)=b2(k)-A2(k,w)*x2(w);
end
x2(k)=b2(k)/A2(k,k);
end
disp(＇列主元Gauss消元法解為:＇);
disp(x2);
disp(＇所求解與精確解之差的無窮-范數(shù)為＇);
norm(x2-X,inf)
end
%完全選主元Gauss消元法
if
a==3
A3=A;b3=b;
for
k=1:n
VV=eye(n);
[max_i,max_j]=find(A3(k:n,k:n)==max(max(abs(A3(k:n,k:n)))));
if
numel(max_i)==0
[max_i,max_j]=find(A3(k:n,k:n)==-max(max(abs(A3(k:n,k:n)))));
end
W=eye(n);
W(max_i(1)+k-1,max_i(1)+k-1)=0;
W(k,k)=0;
W(max_i(1)+k-1,k)=1;
W(k,max_i(1)+k-1)=1;
V=eye(n);
V(k,k)=0;
V(max_j(1)+k-1,max_j(1)+k-1)=0;
V(k,max_j(1)+k-1)=1;
V(max_j(1)+k-1,k)=1;
A3=W*A3*V;
b3=W*b3;
VV=VV*V;
if
A3(k,k)==0
disp(＇主元為零，完全選主元Gauss消元法無法進行＇);
break
end
fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A3(k,k))
%disp(＇此次消元后系數(shù)矩陣為：＇);
%A3
for
p=k+1:n
l=A3(p,k)/A3(k,k);
A3(p,k:n)=A3(p,k:n)-l*A3(k,k:n);
b3(p)=b3(p)-l*b3(k);
end
end
x3(n)=b3(n)/A3(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
w=k+1:n
b3(k)=b3(k)-A3(k,w)*x3(w);
end
x3(k)=b3(k)/A3(k,k);
end
disp(＇完全選主元Gauss消元法解為:＇);
disp(x3);
disp(＇所求解與精確解之差的無窮-范數(shù)為＇);
norm(x3-X,inf)
end
%模最小或近可能小的元素作為主元
if
a==4
A4=A;b4=b;
for
k=1:n
AA=A4;
AA(AA==0)=NaN;
[min_i,j]=find(AA(k:n,k)==min(abs(AA(k:n,k))));
if
numel(min_i)==0
[min_i,j]=find(AA(k:n,k)==-min(abs(AA(k:n,k:n))));
end
W=eye(n);
W(min_i(1)+k-1,min_i(1)+k-1)=0;
W(k,k)=0;
W(min_i(1)+k-1,k)=1;
W(k,min_i(1)+k-1)=1;
A4=W*A4;
b4=W*b4;
if
A4(k,k)==0
disp(＇主元為零，模最小Gauss消元法無法進行＇);
break
end
fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A4(k,k))
%A4
for
p=k+1:n
l=A4(p,k)/A4(k,k);
A4(p,k:n)=A4(p,k:n)-l*A4(k,k:n);
b4(p)=b4(p)-l*b4(k);
end
end
x4(n)=b4(n)/A4(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
w=k+1:n
b4(k)=b4(k)-A4(k,w)*x4(w);
end
x4(k)=b4(k)/A4(k,k);
end
disp(＇模最小Gauss消元法解為:＇);
disp(x4);
disp(＇所求解與精確解之差的無窮-范數(shù)為＇);
norm(x4-X,inf)
end
二、實驗3.3
題目：
考慮方程組的解，其中系數(shù)矩陣H為Hilbert矩陣：
這是一個著名的病態(tài)問題。通過首先給定解（例如取為各個分量均為1）再計算出右端的辦法給出確定的問題。
（1）選擇問題的維數(shù)為6，分別用Gauss消去法（即LU分解）、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法求解方程組，其各自的結(jié)果如何？將計算結(jié)果與問題的解比較，結(jié)論如何。
（2）逐步增大問題的維數(shù)，仍用上述的方法來解它們，計算的結(jié)果如何？計算的結(jié)果說明的什么？
（3）討論病態(tài)問題求解的算法。
1.
算法設(shè)計
對任意線性方程組，分析各種方法的計算公式如下，
（1）Gauss消去法：
首先對系數(shù)矩陣進行LU分解，有，則原方程轉(zhuǎn)化為，令，則原方程可以分為兩步回代求解：
具體方法這里不再贅述。
（2）J迭代法：
首先分解，再構(gòu)造迭代矩陣，其中
，進行迭代計算，直到誤差滿足要求。
（3）GS迭代法：
首先分解，再構(gòu)造迭代矩陣
，其中
，進行迭代計算，直到誤差滿足要求。
（4）SOR迭代法：
首先分解，再構(gòu)造迭代矩陣
，其中，進行迭代計算，直到誤差滿足要求。
2.
實驗過程
一、根據(jù)維度n確定矩陣H的各個元素和b的各個分量值；
二、選擇計算方法（
Gauss消去法，J迭代法，GS迭代法，SOR迭代法），對迭代法設(shè)定初值，此外SOR方法還需要設(shè)定松弛因子；
三、進行計算，直至滿足誤差要求（對迭代法，設(shè)定相鄰兩次迭代結(jié)果之差的無窮范數(shù)小于0.0001；
對SOR方法，設(shè)定為輸出迭代100次之后的結(jié)果及誤差值），輸出實驗結(jié)果。
3.
計算結(jié)果及分析
（1）時，問題可以具體定義為
計算結(jié)果如下，
Gauss消去法
第1次消元所選取的主元是：1
第2次消元所選取的主元是：0.0833333
第3次消元所選取的主元是：0.00555556
第4次消元所選取的主元是：0.000357143
第5次消元所選取的主元是：2.26757e-05
第6次消元所選取的主元是：1.43155e-06
解得X=(0.999999999999228
1.000000000021937
0.999999999851792
1.000000000385369
0.999999999574584
1.000000000167680)T
使用無窮范數(shù)衡量誤差，可得=4.254160357319847e-10；
J迭代法
設(shè)定迭代初值為零，計算得到
J法的迭代矩陣B的譜半徑為4.30853＞1，所以J法不收斂；
GS迭代法
設(shè)定迭代初值為零，計算得到GS法的迭代矩陣G的譜半徑為：0.999998＜1，故GS法收斂，經(jīng)過541次迭代計算后，結(jié)果為X=(1.001178105812706
0.999144082651860
0.968929093984902
1.047045569989162
1.027323158370281
0.954352032784608)T
使用無窮范數(shù)衡量誤差，有=0.047045569989162；
SOR迭代法
設(shè)定迭代初值為零向量，并設(shè)定，計算得到SOR法迭代矩陣譜半徑為0.999999433815223，經(jīng)過100次迭代后的計算結(jié)果為
X=(1.003380614145078
0.962420297458423
1.031857023134559
1.061814901289881
1.014037815827164
0.917673642493527)T；
使用無窮范數(shù)衡量誤差，有=0.082326357506473；
對SOR方法，可變，改變值，計算結(jié)果可以列表如下
迭代次數(shù)
100
100
100
100
迭代矩陣的譜半徑
0.999999433815223
0.999998867083155
0.999996830135013
0.999982309342386
X
1.003653917714694
0.974666041209353
1.011814573842440
1.042837929171827
1.017190220902681
0.945462001336268
1.014676015634604
0.896636864424096
1.090444578936265
1.107070542628148
1.006315452225331
0.873244842279255
1.028022215505147
0.790604920509843
1.267167365524072
1.061689730857891
0.990084054872602
0.846005956774467
1.051857392323966
0.653408758549156
1.486449891152510
0.783650360698119
1.349665420488270
0.664202350634588
0.054537998663732
0.126755157720745
0.267167365524072
0.486449891152510
可以發(fā)現(xiàn)，松弛因子的取值對迭代速度造成了不同的影響，上述四種方法中，松弛因子=0.5時，收斂相對較快。
綜上，四種算法的結(jié)果列表如下：
算法
Gauss消去法
Jacobi法
GS法
SOR法（?。?/p>
迭代次數(shù)
--
不收斂
541
100
迭代矩陣的譜半徑
--
4.30853
0.999998
0.999999433815223
X
0.999999999999228
1.000000000021937
0.999999999851792
1.000000000385369
0.999999999574584
1.000000000167680
--
1.001178105812706
0.999144082651860
0.968929093984902
1.047045569989162
1.027323158370281
0.954352032784608
1.003380614145078
0.962420297458423
1.031857023134559
1.061814901289881
1.014037815827164
0.917673642493527
4.254160357319847e-10
--
0.047045569989162
0.082326357506473
計算可得，矩陣H的條件數(shù)為>>1，所以這是一個病態(tài)問題。由上表可以看出，四種方法的求解都存在一定的誤差。下面分析誤差的來源：
LU分解方法的誤差存在主要是由于Hilbert矩陣各元素由分數(shù)形式轉(zhuǎn)換為小數(shù)形式時，不能除盡情況下會出現(xiàn)舍入誤差，在進行LU分解時也存在這個問題，所以最后得到的結(jié)果不是方程的精確解
，但結(jié)果顯示該方法的誤差非常??；
Jacobi迭代矩陣的譜半徑為4.30853，故此迭代法不收斂；
GS迭代法在迭代次數(shù)為541次時得到了方程的近似解，其誤差約為0.05
，比較大。GS迭代矩陣的譜半徑為0.999998，很接近1，所以GS迭代法收斂速度較慢；
SOR迭代法在迭代次數(shù)為100次時誤差約為0.08，誤差較大。SOR迭代矩陣的譜半徑為0.999999，也很接近1，所以時SOR迭代法收斂速度不是很快，但是相比于GS法，在迭代速度方面已經(jīng)有了明顯的提高；另外，對不同的，SOR方法的迭代速度會相應(yīng)有變化，如果選用最佳松弛因子，可以實現(xiàn)更快的收斂；
（2）
考慮不同維度的情況，時，
算法
Gauss消去
J法
GS法
SOR法（w=0.5）
計算結(jié)果
0.999999999966269
1.000000001809060
0.999999976372676
1.000000127868103
0.999999655764116
1.000000487042164
0.999999653427125
1.000000097774747
--
0.997829221945349
1.037526203106839
0.896973261976015
1.020345136375036
1.069071166932576
1.051179995036612
0.996814757185364
0.926343237325536
1.012938972275634
0.939713836855171
0.988261805073081
1.064637090535154
1.083633345093974
1.045060177115514
0.970603024778469
0.880212649657655
迭代次數(shù)
--
--
356
100
譜半徑
--
6.04213
1
0.999999999208776
--
時，
算法
Gauss消去法
Jacobi法
GS法
SOR法（w=0.5）
計算結(jié)果
0.999999994751197
1.000000546746354
0.999985868343700
1.000157549468631
0.999063537004329
1.003286333127805
0.992855789229370
1.009726486881556
0.991930155925812
1.003729850349020
0.999263885025643
--
0.997442073306751
1.019069909358409
0.992278247786739
0.956441858313237
0.986420333361353
1.021301611956591
1.038701026806608
1.035942773498533
1.016693763149422
0.985716454946250
0.947181287500697
1.015776039786572
0.966429147064483
0.928674868157910
0.996931548482727
1.066737803913537
1.097792430596468
1.088030440855069
1.048110620811192
0.989919418572424
0.922840813704142
0.853252417221922
迭代次數(shù)
--
--
1019
100
譜半徑
--
8.64964
1
0.999999999999966
--
時
算法
Gauss消去法
Jacobi法
GS法
SOR法（w=0.5）
計算結(jié)果
0.999999968723799
1.000002417094896
0.999994922439769
0.998640261957706
1.025668111139297
0.781933485305194
2.066840925345890
-2.279036697492128
7.532393125791018
-7.355047567109081
7.380667063930484
-1.129041418095142
0.425748747257065
1.733284233971601
0.817952344733362
--
不收斂
1.004385740641590
1.046346067877554
0.907178347707729
0.905763455949053
0.972521802788457
1.043731445367903
1.091535169448764
1.110090020703944
1.103129684679768
1.077168651146056
1.038514736265176
0.992259990832041
0.942151390478003
0.890785366684065
0.839876442493220
迭代次數(shù)
--
--
262
100
譜半徑
--
6.04213
＞1
1.000000000000000
8.355047567109082
--
--
0.160123557506780
分析以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，隨著n值的增加，Gauss消去法誤差逐漸增大，而且誤差增大的速度很快，在維數(shù)小于等于10情況下，Gauss消去法得到的結(jié)果誤差較小；但當維數(shù)達到15時，計算結(jié)果誤差已經(jīng)達到精確解的很多倍；
J法迭代不收斂，無論n如何取值，其譜半徑始終大于1，因而J法不收斂，所以J迭代法不能用于Hilbert矩陣的求解；
對于GS迭代法和SOR迭代法，兩種方法均收斂，GS迭代法是SOR迭代法松弛因子取值為1的特例，SOR方法受到取值的影響，會有不同的收斂情況?？梢缘贸鯣S迭代矩陣的譜半徑小于1但是很接近1，收斂速度很慢。雖然隨著維數(shù)的增大，所需迭代的次數(shù)逐漸減少，但是當維數(shù)達到15的時候，GS法已經(jīng)不再收斂。因此可以得出結(jié)論，GS迭代方法在Hilbert矩陣維數(shù)較低時，能夠在一定程度上滿足迭代求解的需求，不過迭代的速度很慢。另外，隨著矩陣維數(shù)的增加，
SOR法的誤差水平基本穩(wěn)定，而且誤差在可以接受的范圍之內(nèi)。
經(jīng)過比較可以得出結(jié)論，如果求解較低維度的Hibert矩陣問題，Gauss消去法、GS迭代法和SOR迭代法均可使用，且Gauss消去法的結(jié)果精確度較高；如果需要求解較高維度的Hibert矩陣問題，只有采用SOR迭代法。
（3）
系數(shù)矩陣的條件數(shù)較大時，為病態(tài)方程。由實驗可知，Gauss法在解上述方程時，結(jié)果存在很大的誤差。而對于收斂的迭代法，可以通過選取最優(yōu)松弛因子的方法來求解，雖然迭代次數(shù)相對較多，但是結(jié)果較為精確。
總體來看，對于一般病態(tài)方程組的求解，可以采用以下方式：
1.
低維度下采用Gauss消去法直接求解是可行的；
Jacobi迭代方法不適宜于求解病態(tài)問題；
GS迭代方法可以解決維數(shù)較低的病態(tài)問題，但其譜半徑非常趨近于1，導(dǎo)致迭代算法收斂速度很慢，維數(shù)較大的時候，GS法也不再收斂；
SOR方法較適合于求解病態(tài)問題，特別是矩陣維數(shù)較高的時候，其優(yōu)勢更為明顯。
2.
采用高精度的運算，如選用雙倍或更多倍字長的運算，可以提高收斂速度；
3.
可以對原方程組作某些預(yù)處理，從而有效降低系數(shù)矩陣的條件數(shù)。
4.
實驗結(jié)論
（1）對Hibert矩陣問題，其條件數(shù)會隨著維度的增加迅速增加，病態(tài)性會越來越明顯；在維度較低的時候，Gauss消去法、GS迭代法和SOR迭代法均可使用，且可以優(yōu)先使用Gauss消去法；如果需要求解較高維度的Hibert矩陣問題，只有SOR迭代法能夠求解。
（2）SOR方法比較適合于求解病態(tài)問題，特別是矩陣維數(shù)較高的時候，其優(yōu)點更為明顯。從本次實驗可以看出，隨著矩陣維數(shù)的增大，SOR方法所需的迭代次數(shù)減少，而且誤差基本穩(wěn)定，是解決病態(tài)問題的適宜方法。
附錄：程序代碼
clear
all
clc;
format
long;
%矩陣賦值
n=input(＇矩陣H的階數(shù):n=＇);
for
i=1:n
for
j=1:n
H(i,j)=1/(i+j-1);
end
end
b=H*ones(n,1);
disp(＇H矩陣為：＇);
H
disp(＇向量b：＇);
b
%方法選擇
disp(＇選取求解方式＇);
disp(＇1
Gauss消去法，2
J迭代法，3
GS迭代法，4
SOR迭代法＇);
a=input(＇求解方式序號：＇);
%Gauss消去法
if
a==1;
H1=H;b1=b;
for
k=1:n
if
H1(k,k)==0
disp(＇主元為零，Gauss消去法無法進行＇);
break
end
fprintf(＇第%d次消元所選取的主元是：%g＼n＇,k,H1(k,k))
for
p=k+1:n
m5=-H1(p,k)/H1(k,k);
H1(p,k:n)=H1(p,k:n)+m5*H1(k,k:n);
b1(p)=b1(p)+m5*b1(k);
end
end
x1(n)=b1(n)/H1(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
v=k+1:n
b1(k)=b1(k)-H1(k,v)*x1(v);
end
x1(k)=b1(k)/H1(k,k);
end
disp(＇Gauss消去法解為:＇);
disp(x1);
disp(＇解與精確解之差的無窮范數(shù)＇);
norm((x1-a),inf)
end
D=diag(diag(H));
L=-tril(H,-1);
U=-triu(H,1);
%J迭代法
if
a==2;
%給定初始x0
ini=input(＇初始值設(shè)定:x0=＇);
x0(:,1)=ini*diag(ones(n));
disp(＇初始解向量為:＇);
x0
xj(:,1)=x0(:,1);
B=(D^(-1))*(L+U);
f=(D^(-1))*b;
fprintf(＇(J法B矩陣譜半徑為：%g＼n＇,vrho(B));
if
vrho(B)
for
m2=1:5000
xj(:,m2+1)=B*xj(:,m2)+fj;
if
norm((xj(:,m2+1)-xj(:,m2)),inf)
break
end
end
disp(＇J法計算結(jié)果為:＇);
xj(:,m2+1)
disp(＇解與精確解之差的無窮范數(shù)＇);
norm((xj(:,m2+1)-diag(ones(n))),inf)
disp(＇J迭代法迭代次數(shù):＇);
m2
else
disp(＇由于B矩陣譜半徑大于1，因而J法不收斂＇);
end
end
%GS迭代法
if
a==3;
%給定初始x0
ini=input(＇初始值設(shè)定:x0=＇);
x0(:,1)=ini*diag(ones(n));
disp(＇初始解向量為:＇);
x0
xG(:,1)=x0(:,1);
G=inv(D-L)*U;
fG=inv(D-L)*b;
fprintf(＇GS法G矩陣譜半徑為：%g＼n＇,vrho(G));
if
vrho(G)
for
m3=1:5000
xG(:,m3+1)=G*xG(:,m3)+fG;
if
norm((xG(:,m3+1)-xG(:,m3)),inf)
break;
end
end
disp(＇GS迭代法計算結(jié)果:＇);
xG(:,m3+1)
disp(＇解與精確解之差的無窮范數(shù)＇);
norm((xG(:,m3+1)-diag(ones(n))),inf)
disp(＇GS迭代法迭代次數(shù):＇);
m3
else
disp(＇由于G矩陣譜半徑大于1，因而GS法不收斂＇);
end
end
%SOR迭代法
if
a==4;
%給定初始x0
ini=input(＇初始值設(shè)定:x0=＇);
x0(:,1)=ini*diag(ones(n));
disp(＇初始解向量為:＇);
x0
A=H;
for
i=1:n
b(i)=sum(A(i,:));
end
x_star=ones(n,1);
format
long
w=input(＇松弛因子:w=＇);
Lw=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);
f=w*inv(D-w*L)*b;
disp(＇迭代矩陣的譜半徑：＇)
p=vrho(Lw)
time_max=100;%迭代次數(shù)
x=zeros(n,1);%迭代初值
for
i=1:time_max
x=Lw*x+f;
end
disp(＇SOR迭代法得到的解為＇);
x
disp(＇解與精確解之差的無窮范數(shù)＇);
norm((x_star-x),inf)
end
pause
三、實驗4.1
題目：
對牛頓法和擬牛頓法。進行非線性方程組的數(shù)值求解
（1）用上述兩種方法，分別計算下面的兩個例子。在達到精度相同的前提下，比較其迭代次數(shù)、CPU時間等。
（2）取其他初值，結(jié)果又如何？反復(fù)選取不同的初值，比較其結(jié)果。
（3）總結(jié)歸納你的實驗結(jié)果，試說明各種方法適用的問題。
1.
算法設(shè)計
對需要求解的非線性方程組而言，牛頓法和擬牛頓法的迭代公式如下，
（1）牛頓法：
牛頓法為單步迭代法，需要取一個初值。
（2）擬牛頓法：（Broyden秩1法）
其中，
擬牛頓法不需要求解的導(dǎo)數(shù)，因此節(jié)省了大量的運算時間，但需要給定矩陣的初值，取為。
2.
實驗過程
一、輸入初值；
二、根據(jù)誤差要求，按公式進行迭代計算；
三、輸出數(shù)據(jù)；
3.
計算結(jié)果及分析
（1）首先求解方程組（1），在這里，設(shè)定精度要求為，
方法
牛頓法
擬牛頓法
初始值
計算結(jié)果X
x1
0.905539609855914
0.905539493347151
x2
1.085219168370031
1.085218882394940
x3
0.672193668718306
0.672193293825304
迭代次數(shù)
3
13
CPU計算時間/s
3.777815
2.739349
可以看出，在初始值相同情況下，牛頓法和擬牛頓法在達到同樣計算精度情況下得到的結(jié)果基本相同，但牛頓法的迭代次數(shù)明顯要少一些，但是，由于每次迭代都需要求解矩陣的逆，所以牛頓法每次迭代的CPU計算時間更長。
之后求解方程組（2），同樣設(shè)定精度要求為
方法
牛頓法
擬牛頓法
初始值
計算結(jié)果X
x1
0.500000000009699
0.499999994673600
x2
0.000000001063428
0.000000572701856
x3
-0.523598775570483
-0.523598762908871
迭代次數(shù)
4
12
CPU計算時間/s
2.722437
3.920195
同樣地，可以看出，在初始值相同情況下，牛頓法和擬牛頓法在達到同樣計算精度情況下得到的結(jié)果是基本相同的，但牛頓法的迭代次數(shù)明顯要少，但同樣的，由于每次迭代中有求解矩陣的逆的運算，牛頓法每次迭代的CPU計算時間較長。
（2）對方程組（1），取其他初值，計算結(jié)果列表如下，同樣設(shè)定精度要求為
初始值
方法
牛頓法
擬牛頓法
計算結(jié)果
0.905539609855914
1.085219168370031
0.672193668718305
9.211852562357894
-5.574005400255346
18.118173639381205
迭代次數(shù)
4
58
CPU計算時間/s
3.907164
4.818019
計算結(jié)果
0.905539609855914
1.085219168370031
0.672193668718305
9.211849682114591
-5.573999165383549
18.118182491302807
迭代次數(shù)
4
2735
CPU計算時間/s
8.127286
5.626023
計算結(jié)果
0.905539609855914
1.085219168370031
0.672193668718306
0.905539493347151
1.085218882394940
0.672193293825304
迭代次數(shù)
3
13
CPU計算時間/s
3.777815
2.739349
計算結(jié)果
0.905539609855914
1.085219168370031
0.672193668718306
0.905548384395773
1.085220084502458
0.672219278250136
迭代次數(shù)
4
188
CPU計算時間/s
3.835697
2.879070
計算結(jié)果
9.211852448563722
-5.574005155684773
18.118173976918605
Matlab警告矩陣接近奇異值，程序進入長期循環(huán)計算中
迭代次數(shù)
19
--
CPU計算時間/s
4.033868
--
計算結(jié)果
0.905539609857335
1.085219168371536
0.672193668734922
Matlab警告矩陣接近奇異值，程序進入長期循環(huán)計算中
迭代次數(shù)
13
--
CPU計算時間/s
12.243263
--
從上表可以發(fā)現(xiàn)，方程組（1）存在另一個在(9.2,
-5.6,
18.1)T附近的不動點，初值的選取會直接影響到牛頓法和擬牛頓法最后的收斂點。
總的來說，設(shè)定的初值離不動點越遠，需要的迭代次數(shù)越多，因而初始值的選取非常重要，合適的初值可以更快地收斂，如果初始值偏離精確解較遠，會出現(xiàn)迭代次數(shù)增加直至無法收斂的情況；
由于擬牛頓法是一種近似方法，擬牛頓法需要的的迭代次數(shù)明顯更多，而且收斂情況不如牛頓法好（初值不夠接近時，甚至會出現(xiàn)奇異矩陣的情況），但由于牛頓法的求解比較復(fù)雜，計算時間較長；
同樣的，對方程組（2），取其他初值，計算結(jié)果列表如下，同樣設(shè)定精度要求為
初始值
方法
牛頓法
擬牛頓法
計算結(jié)果
0.500000000009699
0.000000001063428
-0.523598775570483
0.499999994673600
0.000000572701856
-0.523598762908871
迭代次數(shù)
4
12
CPU計算時間/s
2.722437
3.920195
計算結(jié)果
0.500000000011085
0.000000001215427
-0.523598775566507
0.331099293590753
-0.260080189442266
76.532092226437129
迭代次數(shù)
5
57
CPU計算時間/s
5.047111
5.619752
計算結(jié)果
0.500000000000916
0.000000000100410
-0.523598775595672
1.0e+02
*
-0.001221250784775
-0.000149282572886
1.754185881622843
迭代次數(shù)
6
62
CPU計算時間/s
3.540668
3.387829
計算結(jié)果
0.500000000000152
0.000000000016711
-0.523598775597862
1.0e+04
*
0.000026556790770
-0.000020396841295
1.280853105748650
迭代次數(shù)
7
55
CPU計算時間/s
2.200571
2.640901
計算結(jié)果
0.500000000000005
0.000000000000503
-0.523598775598286
矩陣為奇異值，無法輸出準確結(jié)果
迭代次數(shù)
8
--
CPU計算時間/s
1.719072
--
計算結(jié)果
0.500000000002022
0.000000000221686
-0.523598775592500
矩陣為奇異值，無法輸出準確結(jié)果
迭代次數(shù)
149
--
CPU計算時間/s
2.797116
--
計算結(jié)果
矩陣為奇異值，無法輸出準確結(jié)果
矩陣為奇異值，無法輸出準確結(jié)果
迭代次數(shù)
--
--
CPU計算時間/s
--
--
在這里，與前文類似的發(fā)現(xiàn)不再贅述。
從這里看出，牛頓法可以在更大的區(qū)間上實現(xiàn)壓縮映射原理，可以在更大的范圍上選取初值并最終收斂到精確解附近；
在初始值較接近于不動點時，牛頓法和擬牛頓法計算所得到的結(jié)果是基本相同的，雖然迭代次數(shù)有所差別，但計算總的所需時間相近。
（3）
牛頓法在迭代過程中用到了矩陣的求逆，其迭代收斂的充分條件是迭代滿足區(qū)間上的映內(nèi)性，對于矩陣的求逆過程比較簡單，所以在較大區(qū)間內(nèi)滿足映內(nèi)性的問題適合應(yīng)用牛頓法進行計算。一般而言，對于函數(shù)單調(diào)或者具有單值特性的函數(shù)適合應(yīng)用牛頓法，其對初始值敏感程度較低，算法具有很好的收斂性。
另外，需要說明的是，每次計算給出的CPU時間與計算機當時的運行狀態(tài)有關(guān)，同時，不同代碼的運行時間也不一定一致，所以這個數(shù)據(jù)并不具有很大的參考價值。
4.
實驗結(jié)論
對牛頓法和擬牛頓法，都存在初始值越接近精確解，所需的迭代次數(shù)越小的現(xiàn)象；
在應(yīng)用上，牛頓法和擬牛頓法各有優(yōu)勢。就迭代次數(shù)來說，牛頓法由于更加精確，所需的迭代次數(shù)更少；但就單次迭代來說，牛頓法由于計算步驟更多，且計算更加復(fù)雜，因而每次迭代所需的時間更長，而擬牛頓法由于采用了簡化的近似公式，其每次迭代更加迅速。當非線性方程組求逆過程比較簡單時，如方程組1的情況時，擬牛頓法不具有明顯的優(yōu)勢；而當非線性方程組求逆過程比較復(fù)雜時，如方程組2的情況，擬牛頓法就可以體現(xiàn)出優(yōu)勢，雖然循環(huán)次數(shù)有所增加，但是CPU耗時反而更少。
另外，就方程組壓縮映射區(qū)間來說，一般而言，對于在區(qū)間內(nèi)函數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)或者具有單值特性的函數(shù)適合應(yīng)用牛頓法，其對初始值敏感程度較低，使算法具有很好的收斂性；而擬牛頓法由于不需要在迭代過程中對矩陣求逆，而是利用差商替代了對矩陣的求導(dǎo)，所以即使初始誤差較大時，其倒數(shù)矩陣與差商偏差也較小，所以對初始值的敏感程度較小。
附錄：程序代碼
%方程1，牛頓法
tic;
format
long;
%%初值
disp(＇請輸入初值＇);
a=input(＇第1個分量為：＇);
b=input(＇第2個分量為：＇);
c=input(＇第3個分量為：＇);
disp(＇所選定初值為＇);
x=[a;b;c]
%%誤差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
while
e>E
F=[12*x(1)-x(2)^2-4*x(3)-7;x(1)^2+10*x(2)-x(3)-11;x(2)^3+10*x(3)-8];
f=[12,-2*x(2),-4;2*x(1),10,-1;0,3*x(2)^2,10];
det_x=((f)^(-1))*(-F);
x=x+det_x;
e=max(norm(det_x));
i=i+1;
end
disp(＇迭代次數(shù)＇);
i
disp(＇迭代次數(shù)＇);
x
toc;
%方程1，擬牛頓法
tic;
format
long;
%%初值
%%初值
disp(＇請輸入初值＇);
a=input(＇第1個分量為：＇);
b=input(＇第2個分量為：＇);
c=input(＇第3個分量為：＇);
disp(＇所選定初值為＇);
x0=[a;b;c]
%%誤差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
A0=eye(3);
while
e>E
F0=[12*x0(1)-x0(2)^2-4*x0(3)-7;x0(1)^2+10*x0(2)-x0(3)-11;x0(2)^3+10*x0(3)-8];
x1=x0-A0^(-1)*F0;
s=x1-x0;
F1=[12*x1(1)-x1(2)^2-4*x1(3)-7;x1(1)^2+10*x1(2)-x1(3)-11;x1(2)^3+10*x1(3)-8];
y=F1-F0;
A1=A0+(y-A0*s)*s＇/(s＇*s);
x0=x1;
A0=A1;
e=max(norm(s));
i=i+1;
end
disp(＇迭代次數(shù)＇);
i
disp(＇迭代次數(shù)＇);
x0
toc;
%方程2，牛頓法
tic;
format
long;
%%初值
disp(＇請輸入初值＇);
a=input(＇第1個分量為：＇);
b=input(＇第2個分量為：＇);
c=input(＇第3個分量為：＇);
disp(＇所選定初值為＇);
x=[a;b;c]
%%誤差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
while
e>E
F=[3*x(1)-cos(x(2)*x(3))-0.5;x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06;exp(1)^(-x(1)*x(2))+20*x(3)+(10*pi-3)/3];
f=[3,x(3)*sin(x(2)*x(3)),x(2)*sin(x(2)*x(3));2*x(1),-162*x(2)-81/5,cos(x(3));-x(2)*exp(1)^(-x(1)*x(2)),-x(1)*exp(1)^(-x(1)*x(2)),20];
det_x=((f)^(-1))*(-F);
x=x+det_x;
e=max(norm(det_x));
i=i+1;
end
disp(＇迭代次數(shù)＇);
i
disp(＇迭代次數(shù)＇);
x
toc;
%方程2，擬牛頓法
tic;
format
long;
%%初值
%%初值
disp(＇請輸入初值＇);
a=input(＇第1個分量為：＇);
b=input(＇第2個分量為：＇);
c=input(＇第3個分量為：＇);
disp(＇所選定初值為＇);
x0=[a;b;c]
%%誤差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
A0=eye(3);
while
e>E
F0=[3*x0(1)-cos(x0(2)*x0(3))-0.5;x0(1)^2-81*(x0(2)+0.1)^2+sin(x0(3))+1.06;exp(1)^(-x0(1)*x0(2))+20*x0(3)+(10*pi-3)/3];
x1=x0-A0^(-1)*F0;
s=x1-x0;
F1=[3*x1(1)-cos(x1(2)*x1(3))-0.5;x1(1)^2-81*(x1(2)+0.1)^2+sin(x1(3))+1.06;exp(1)^(-x1(1)*x1(2))+20*x1(3)+(10*pi-3)/3];
y=F1-F0;
A1=A0+(y-A0*s)*s＇/(s＇*s);
x0=x1;
A0=A1;
e=max(norm(s));
i=i+1;
end
disp(＇迭代次數(shù)＇);
i
氣溫: 24.5 ℃ 大氣壓: 101.47 kpa
燃燒熱的測定
目的要求 一,用氧彈熱量計測定萘的燃燒熱
二,明確燃燒熱的定義,了解恒壓燃燒熱與恒容燃燒熱的差別
三,了解熱量計中主要部分的作用,掌握氧彈熱量計的實驗技術(shù)
四,學會雷諾圖解法校正溫度改變值
儀器與試劑 氧彈卡計 貝克曼溫度計 普通溫度計 壓片器 分析天平 臺秤 萬用電表 點火絲 剪刀 直尺鑷子 扳手 苯甲酸 柴油 氧氣鋼瓶 氧氣減壓閥
實驗數(shù)據(jù)及其處理 貝克曼溫度計讀數(shù)
苯甲酸
柴油
苯甲酸
柴油
樣品質(zhì)量 g
序號
初段
末段
初段
末段
w2
w2
1
2.157
3.458
1.528
3.440
2.2500
39.1769
2
2.162
3.461
1.533
3.480
w1
w1
3
2.169
3.464
1.538
3.520
1.5718
38.5392
4
2.175
3.467
1.541
3.550
樣重
樣重
5
2.180
3.469
1.542
3.558
0.6782
0.6377
6
2.185
3.470
1.544
3.561
點火絲
7
2.190
3.471
1.546
3.568
l2
l2
8
2.194
3.472
1.547
3.570
20
20
9
2.198
3.473
1.549
3.575
l1
l1
10
2.203
3.475
1.550
3.572
16
5.8
消耗
消耗
4
14.2
初段斜率
初段截距
初段斜率
初段截距
0.0051
2.153
0.0023
1.529
末段斜率
末段截距
末段斜率
末段截距
0.0018
3.458
0.0131
3.467
升溫中點
12
升溫中點
12.5
中點低溫
中點高溫
中點低溫
中點高溫
2.215
3.480
1.558
3.625
溫升
1.265
溫升
2.066
水值j/℃
14191
熱值 j/g
45920
4 實驗討論 固體樣品為什么要壓成片狀？ 答：壓成片狀易于燃燒，和氧氣充分接觸，且易于稱中。
2． 在量熱學測定中，還有哪些情況可能需要用到雷諾溫度校正方法？
二、實驗要求
測量結(jié)果的相對不確定度不超過5%
三、物理模型的建立及比較
初步確定有以下六種模型方案：
方法一、用打點計時器測量
所用儀器為：打點計時器、直尺、帶錢夾的鐵架臺、紙帶、夾子、重物、學生電源等.
利用自由落體原理使重物做自由落體運動.選擇理想紙帶，找出起始點0，數(shù)出時間為t的p點，用米尺測出op的距離為h，其中t=0.02秒×兩點間隔數(shù).由公式h=gt2/2得g=2h/t2，將所測代入即可求得g.
方法二、用滴水法測重力加速度
調(diào)節(jié)水龍頭閥門，使水滴按相等時間滴下，用秒表測出n個(n取50—100)水滴所用時間t，則每兩水滴相隔時間為t′=t/n，用米尺測出水滴下落距離h，由公式h=gt′2/2可得g=2hn2/t2.
方法三、取半徑為r的玻璃杯，內(nèi)裝適當?shù)囊后w，固定在旋轉(zhuǎn)臺上.旋轉(zhuǎn)臺繞其對稱軸以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，這時液體相對于玻璃杯的形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面
重力加速度的計算公式推導(dǎo)如下：
取液面上任一液元a，它距轉(zhuǎn)軸為x，質(zhì)量為m，受重力mg、彈力n.由動力學知：
ncosα-mg=0 (1)
nsinα=mω2x (2)
兩式相比得tgα=ω2x/g，又 tgα=dy/dx，dy=ω2xdx/g，
y/x=ω2x/2g. g=ω2x2/2y.
.將某點對于對稱軸和垂直于對稱軸最低點的直角坐標系的坐標x、y測出，將轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)速ω代入即可求得g.
方法四、光電控制計時法
調(diào)節(jié)水龍頭閥門，使水滴按相等時間滴下，用秒表測出n個(n取50—100)水滴所用時間t，則每兩水滴相隔時間為t′=t/n，用米尺測出水滴下落距離h，由公式h=gt′2/2可得g=2hn2/t2.
方法五、用圓錐擺測量
所用儀器為：米尺、秒表、單擺.
使單擺的擺錘在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，用直尺測量出h(見圖1)，用秒表測出擺錐n轉(zhuǎn)所用的時間t，則擺錐角速度ω=2πn/t
擺錐作勻速圓周運動的向心力f=mgtgθ，而tgθ=r/h所以mgtgθ=mω2r由以上幾式得：
g=4π2n2h/t2.
將所測的n、t、h代入即可求得g值.
方法六、單擺法測量重力加速度
在擺角很小時，擺動周期為：
則
通過對以上六種方法的比較，本想嘗試利用光電控制計時法來測量，但因為實驗室器材不全，故該方法無法進行;對其他幾種方法反復(fù)比較，用單擺法測量重力加速度原理、方法都比較簡單且最熟悉，儀器在實驗室也很齊全，故利用該方法來測最為順利，從而可以得到更為精確的值。
四、采用模型六利用單擺法測量重力加速度
摘要：
重力加速度是物理學中一個重要參量。地球上各個地區(qū)重力加速度的數(shù)值，隨該地區(qū)的地理緯度和相對海平面的高度而稍有差異。一般說，在赤道附近重力加速度值最小，越靠近南北兩極，重力加速度的值越大，最大值與最小值之差約為1/300。研究重力加速度的分布情況，在地球物理學中具有重要意義。利用專門儀器，仔細測繪各地區(qū)重力加速度的分布情況，還可以對地下資源進行探測。
伽利略在比薩大教堂內(nèi)觀察一個圣燈的緩慢擺動，用他的脈搏跳動作為計時器計算圣燈擺動的時間，他發(fā)現(xiàn)連續(xù)擺動的圣燈，其每次擺動的時間間隔是相等的，與圣燈擺動的幅度無關(guān)，并進一步用實驗證實了觀察的結(jié)果，為單擺作為計時裝置奠定了基礎(chǔ)。這就是單擺的等時性原理。
應(yīng)用單擺來測量重力加速度簡單方便，因為單擺的振動周期是決定于振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)，即決定于重力加速度g和擺長l，只需要量出擺長，并測定擺動的周期，就可以算出g值。
實驗器材：
單擺裝置(自由落體測定儀)，鋼卷尺，游標卡尺、電腦通用計數(shù)器、光電門、單擺線
實驗原理：
單擺是由一根不能伸長的輕質(zhì)細線和懸在此線下端體積很小的重球所構(gòu)成。在擺長遠大于球的直徑，擺錐質(zhì)量遠大于線的質(zhì)量的條件下，將懸掛的小球自平衡位置拉至一邊(很小距離，擺角小于5°)，然后釋放，擺錐即在平衡位置左右作周期性的往返擺動，如圖2-1所示。
f =p sinθ
t=p cosθ
p = mg
l
圖2-1 單擺原理圖
擺錐所受的力f是重力和繩子張力的合力，f指向平衡位置。當擺角很小時(θ<5°)，圓弧可近似地看成直線，f也可近似地看作沿著這一直線。設(shè)擺長為l，小球位移為x，質(zhì)量為m，則
sinθ=
f=psinθ=-mg =-m x (2-1)
由f=ma，可知a=- x
式中負號表示f與位移x方向相反。
單擺在擺角很小時的運動，可近似為簡諧振動，比較諧振動公式：a= =-ω2x
可得ω=
于是得單擺運動周期為：
t=2π/ω=2π (2-2)
t2= l (2-3)
或 g=4π2 (2-4)
利用單擺實驗測重力加速度時，一般采用某一個固定擺長l，在多次精密地測量出單擺的周期t后，代入(2-4)式，即可求得當?shù)氐闹亓铀俣萭。
由式(2-3)可知，t2和l之間具有線性關(guān)系， 為其斜率，如對于各種不同的擺長測出各自對應(yīng)的周期，則可利用t2—l圖線的斜率求出重力加速度g。
試驗條件及誤差分析：
上述單擺測量g的方法依據(jù)的公式是(2-2)式,這個公式的成立是有條件的，否則將使測量產(chǎn)生如下系統(tǒng)誤差:
1. 單擺的擺動周期與擺角的關(guān)系，可通過測量θ<5°時兩次不同擺角θ1、θ2的周期值進行比較。在本實驗的測量精度范圍內(nèi)，驗證出單擺的t與θ無關(guān)。
實際上，單擺的周期t隨擺角θ增加而增加。根據(jù)振動理論，周期不僅與擺長l有關(guān)，而且與擺動的角振幅有關(guān)，其公式為：
t=t0[1+( )2sin2 +( )2sin2 +……]
式中t0為θ接近于0o時的周期，即t0=2π
2.懸線質(zhì)量m0應(yīng)遠小于擺錐的質(zhì)量m，擺錐的半徑r應(yīng)遠小于擺長l，實際上任何一個單擺都不是理想的，由理論可以證明，此時考慮上述因素的影響，其擺動周期為：
3.如果考慮空氣的浮力，則周期應(yīng)為：
據(jù)有關(guān)調(diào)查顯示，近年來全國大學生中因精神疾病退學的人數(shù)占退學總?cè)藬?shù)的54.4%，有28%的大學生具有不同程度的心理問題，其中有近10%的學生存在著中等程度以上的心理問題。由此，培養(yǎng)積極健康的心理品質(zhì)就顯得尤為重要。
積極心理品質(zhì)是積極心理學的核心概念，是個體在先天潛能和環(huán)境教育交互作用的基礎(chǔ)上形成的相對穩(wěn)定的正向心理特質(zhì)。研究者們在兩百種人類擁有的美德上提出了普遍著作和觀點都支持的6種美德24種力量。培養(yǎng)積極健康的心理品質(zhì)能更好地預(yù)防心理疾病，有利于塑造高素質(zhì)人才。
奧爾夫音樂治療建立在奧爾夫音樂教育體系的基礎(chǔ)上，通過音樂的方式，刺激聽覺、觸覺、視覺、動覺等各種器官，參與者進行深入的思考、反應(yīng)并有機會使用整個身體來表達、創(chuàng)造和想象。治療活動作為一種刺激，引發(fā)對集體音樂活動的歸屬感和成就感。
一、研究方法
（一）研究工具
1.SCL?90癥狀量表
此量表包含90個項目，10個因子，每題采用5點評分，癥狀從無到嚴重分別評為1、2、3、4、5，得分越高表示癥狀越明顯，心理健康狀況越差。
2. 24項積極心理品質(zhì)量表
Park和Peterson等人編制的成人版積極人格特質(zhì)問卷。
3.總體幸福感量
為美國國立衛(wèi)生統(tǒng)計中心制訂的一種定式型測查工具，用來評價被試者對幸福的陳述。
4.生活滿意度量表（LSR）
包括三個獨立的分量表，分別是生活滿意度評定量表、生活滿意度指數(shù)A和生活滿意度指數(shù)B。
5.結(jié)構(gòu)化訪談施測對象，并對訪談內(nèi)容進行分析。
（二）研究對象
均為上海某大學自愿報名參加的學生。通過量表，篩出施測對象70人，平均年齡20.5歲。分為實驗組與對照組，每組男20人、女15人。實驗組的成員分為五組進行，數(shù)據(jù)統(tǒng)一計算。對照組不做任何干預(yù)。
（三）研究程序
研究歷時兩個月，每周1次，共8次。治療活動經(jīng)歷了三個階段。即：自我發(fā)現(xiàn)階段，自我探索、發(fā)展階段，自我創(chuàng)造階段。在治療師的引導(dǎo)下，學生通過動腦、動手，運用肢體和聲音全身心地感受和表現(xiàn)音樂。涉及目標領(lǐng)域包括：感知能力、完全形態(tài)、語言、交流、激發(fā)。
（四）數(shù)據(jù)處理
使用spss19.0對施測對象前后測數(shù)據(jù)進行描述性統(tǒng)計、獨立樣本t檢驗、方差分析、回歸分析等數(shù)據(jù)處理。
（五）結(jié)果分析
采用獨立樣本t檢驗對實驗組和對照組的前后測差異進行檢驗：前測中兩組施測對象的24項積極心理品質(zhì)均不存在顯著差異，兩組是同質(zhì)的。后測中兩組施測對象的創(chuàng)造力（t=8.31，p
（六）結(jié)論與分析
從研究的數(shù)據(jù)分析和主觀評價兩方面顯示，通過治療，實驗組對象24項積極心理品質(zhì)中的11項有顯著改善，主觀體驗愉悅，自我能力提升。綜述歸納為以下方面：
1.治療師與施測對象之間的關(guān)系。治療師是整個活動的核心，必須具有靈活性和熟練的專業(yè)技巧。良好的共情，會緩解成員間的不良情緒。有效的溝通，促使大家積極努力參與，并逐步享受音樂活動帶來的樂趣。
2.團體活動中情緒的改善。施測對象目光從游移到肯定，表情由緊張到放松，在設(shè)想對方不友好不熱情的疑慮逐步消失的同時，情緒得到緩解。“棋盤”聲勢活動中，施測對象的肢體在音樂伴奏中逐漸放松，利用身體各部位發(fā)出的聲音拍打創(chuàng)作節(jié)奏。與其他小組成員進行目光接觸、交流，最后將節(jié)奏重拍用與伙伴握手和相互問好替代。非言語的行為，將對自我的專注力轉(zhuǎn)移到互動中，明顯降低了自我困擾，有效地改善了情緒。
3.接納與自信。對他人的接納標志著一個人內(nèi)心的開放程度，只有打開封閉的自我，才能體會到來自他人的接納和理解。紙杯編創(chuàng)屬于自己的節(jié)奏活動中，某個成員打錯了或沒接上，其他成員將鼓勵的眼神傳遞給他。大家在相互支持下，從最初的磕磕碰碰到后來的流暢、有序。討論中大家談到，正因為隊友敞開胸懷無私的接納，才逐步建立自信，相信自己一定能行，大膽嘗試，接受挑戰(zhàn)。
4.團隊中的協(xié)作力。隨著音樂治療活動的深入，施測對象彼此間的信任關(guān)系不斷建立。例如：五個小組分別為《洋娃娃和小熊跳舞》的旋律即興編創(chuàng)伴奏。如何突破常規(guī)思維，從其他小組中脫穎而出成為討論重點，分歧矛盾不斷產(chǎn)生。如何找尋團隊和個人創(chuàng)作的突破口就顯得尤為重要。大家意識到勇于面對分歧，齊心協(xié)力，積極尋找解決方法，互相理解包容，矛盾分歧調(diào)和的同時，彼此間的感情也更加深厚了。
在多元化的社會思潮和社會壓力下，處于青春期的大學生或多或少的存在各種各樣心理健康問題，加強大學生心理健康教育工作是新形式下全面實施素質(zhì)教育的重要舉措，是高等學校德育工作的重要組成部分。研究顯示，音樂這種非語言交流的藝術(shù)形式，在告別傳統(tǒng)藝術(shù)欣賞和審美領(lǐng)域外，應(yīng)用于心理治療領(lǐng)域，在愉悅身心的同時，收到了良好的治療效果。充分發(fā)揮、利用音樂的最大效能，引導(dǎo)學生積極健康成長，在主動參與治療活動的過程中，培養(yǎng)團隊協(xié)作能力，達到宣泄情緒、自我表現(xiàn)、自我實現(xiàn)的目的。
助人為樂
在社會公共生活中,每個人都會遇到困難和問題,總有需要他人幫助和關(guān)心的時候。因此,在社會公共生活中倡導(dǎo)的助人為樂精神,是社會主義道德建設(shè)的核心和原則在公共生活領(lǐng)域的體現(xiàn),也是社會主義人道主義的基本要求。助人為樂是我國的傳統(tǒng)美德,我國自古就有“君子成人之美”、“為善最樂”、“博施濟眾”等廣為流傳的格言。人有三樂：自得其樂,知足常樂,助人為樂。把幫助別人當成自己最快樂的事情,是博愛的表現(xiàn),也是社會對大學生的殷切期盼。養(yǎng)成助人為樂的習慣,將是一生受用不盡的精神財富。正所謂“贈人玫瑰,手留余香”,大學生應(yīng)當“以團結(jié)互助為榮,以損人利己為恥”,積極參與公益事業(yè),力所能及地關(guān)心和幫助他人。
在本次調(diào)查當中,對于社會公益活動有57.75%的人選擇“經(jīng)常參加”,有37.97%的人選擇“沒興趣,出于任務(wù),偶爾應(yīng)付”,另外有4.28%的人選擇“不參加”。參加公益活動是大學生社會公德的良好表現(xiàn),它體現(xiàn)了一種無私奉獻的精神,一種強烈的社會責任感。對于不太喜歡參與社會公益活動的同學,社會也應(yīng)該給予積極的鼓勵與引導(dǎo)。
對多媒體應(yīng)用于教學，存在著兩種觀點:一種認為多媒體教學是一種所謂“嘩眾取寵”“勞命傷財”的時尚玩意兒，對教學并沒有實質(zhì)性的幫助。另一種觀點認為，多媒體技術(shù)集文字、圖像、聲音、動畫于一體，它有利于提高學生的學習動機，有利于更好地掌握所呈現(xiàn)的知識，它是教學現(xiàn)代化的體現(xiàn)。
隨著高校的擴招，班級人數(shù)越來越多，如何面對這100人左右的大課，保證教學質(zhì)量并努力提高教學效率，是擺在每一位外語公共課教師面前的難題。筆者于2005年試著在自己的教學班中率先應(yīng)用多媒體教授外語，摸索外語教學中多媒體應(yīng)用的價值與方法。
一、多媒體教學模式有效性實驗研究
1.實驗階段一。
研究假設(shè):從短期授課效果(一個學期)來看，和傳統(tǒng)教學模式相比，多媒體教學模式更能促進公共外語的大班授課。
研究對象:2005年9月，江蘇教育學院決定對2005級普本新生的大學英語教學實行了分層次教學，即將學生按文理科及高考英語成績進行分班教學。共分出6個教學班，A1，B1，B2是文科班，A2，B4，B5是理科班，其中A1(65人)，A2(60人)班學生的人學成績(即高考英語成績)在120分以上，B1(78人)，B4(70人)班學生的人學成績?yōu)?10一119分，B2(77人)，B5(70人)班學生的人學成績在110分以下。B2，B4班的大學英語教學使用了多媒體教學模式，為實驗班，其他4個班為實驗的對照班(按高考英語成績與實驗班同水平的B1，B5為對照班1;而高考英語成績好于實驗班的A1，A2為對照班2)，使用的是傳統(tǒng)課堂教學模式。即:B2，B4(高考英語成績120分以下)。多媒體教學模式。實驗班(147人);B1，B5(高考英語成績在120分以下)*傳統(tǒng)教學模式一對照班1(148人);A1，A2(高考英語成績在120分以上)。傳統(tǒng)教學模式。對照班2(125人)。
實驗材料:實驗班及對照班均使用的是大學英語新教材《新視野大學英語》第一冊(外研社)。實驗班的每節(jié)英語課均使用多媒體進行授課(多媒體教案附后)，而非實驗班則沒有采用。
實驗時間:這是個為期一個學期的教學實驗，時間為2005一2006學年第一學期。
數(shù)據(jù)收集與統(tǒng)計:收集了2005級實驗班，對照班共6個教學班2005 - 2006學年第一學期的學生學業(yè)成績，包括期中、期末和總評成績，并將所有數(shù)據(jù)錄入電腦并用SPSS軟件進行統(tǒng)計分析。
數(shù)據(jù)統(tǒng)計及結(jié)果:由于實驗班與對照班1學生的高考英語成績沒有顯著性差異，且實驗班高考英語成績還略低于對照班1(M實驗=107. 46
注:*P
由于實驗班與對照班2學生的高考英語成績有顯著性差異(M實驗二107. 46 < M對照班2=123. 38 ，**P=0.000
注:*P < 0. 05;**P
從表1我們可以看到實驗班和對照班1在期中考試成績均分分別為77. 95 ， 76. 74，雖然實驗班均分高出對照班1，但沒有達到顯著性差異。但期末考試和學期總評兩組均分分別為72. 2和68. O1 ，74. 5和71.32，P=0.000實驗班
表2的結(jié)果則告訴我們在剔除了人學成績(即高考成績)對學生英語學業(yè)成績的影響之后，代表兩種教學手段教學效果的學生期中英語成績的調(diào)整平均數(shù)分別為79.784和81. 774，多媒體教學模式?jīng)]有顯現(xiàn)出它的優(yōu)勢。但到了期末考試和學期總評，我們可以看到兩組在調(diào)整了人學成績影響后的平均分分別為75. 266和72. 752 ， 77. 073和76. 361，雖然兩者沒有顯著性差異(p > 0. 01)，但實驗班的班級平均分高于沒有采用多媒體教學手段的對照班2。
為期一學期的教學實驗驗證了我們的研究假設(shè)，即從短期授課(一學期)效果來看，和傳統(tǒng)教學模式相比，多媒體教學模式更能促進公共外語的大班授課。
2.實驗階段二。
研究假設(shè):(1)從長期授課效果(3個學期)來看，和傳統(tǒng)教學模式相比，多媒體教學模式更能促進公共外語的大班授課;(2)多媒體教學更能幫助學生在非英語專業(yè)大學英語四級考試中獲得好成績。
研究對象:由于從2005 - 2006學年第二學期開始有些班陸續(xù)采用了多媒體教學模式，所以我們選了B2班(77人)作為實驗班(該班一直采用的是多媒體教學模式)，BS班(70人)作為對照班(該班一直采用的是傳統(tǒng)教學模式)。兩個班學生的人學成績(即高考英語成績)均在110分以下，經(jīng)過統(tǒng)計分析實驗班和對照班學生的高考英語成績沒有顯著性差異(M實驗=103. 96 ， M對照班=102.1 >，可以看作是同質(zhì)的兩組。
實驗材料:實驗班及對照班均使用的是大學英語新教材《新視野大學英語》一至三冊(外研社)。實驗班的每節(jié)英語課均使用多媒體進行授課(多媒體教案附后)，而對照班則沒有采用。
實驗時間:這是個長期跟蹤教學效果的教學實驗，為期3個學期，時間跨度為2005一2006學年第一、二學期及2006一2007學年第一學期。
數(shù)據(jù)收集與統(tǒng)計:收集了實驗班、對照班3個學期的學生學業(yè)成績，包括期中、期末和總評成績，及兩個班學生2006年12月參加非英語專業(yè)大學英語四級考試的成績。并將所有數(shù)據(jù)錄入電腦并用SPSS軟件進行統(tǒng)計分析。
數(shù)據(jù)統(tǒng)計及結(jié)果:由于實驗班有1人，對照班有2人沒有參加2006年12月的四級考試，所以在進行教學效果的長期跟蹤數(shù)據(jù)處理時是按實驗班人數(shù)=77一1 = 76人，對照班人數(shù)=70一2 = 68人來錄人的。為了檢驗實驗班、對照班真實教學效果，我們所使用的均分是利用協(xié)方差分析剔除各班高考英語成績、性別比例差異影響后的估計均分，即以各學期總評成績，四級考試分數(shù)為因變量、以高考成績、性別為協(xié)變量、以班級為自變量，利用SPSS1l. 0統(tǒng)計軟件計算出來的。統(tǒng)計結(jié)果如下:
注:(1>實驗班、對照班真實教學效果均分是利用協(xié)方差分析剔除各班高考英語成績、性別比例差異影響后的估計均分。
(2)F值和顯著性概率P值是以各學期總評成績?yōu)橐蜃兞?、以高考成績、性別為協(xié)變量、以班級為自變量，利用SPSS1 l . 0統(tǒng)計軟件計算出來的。
注:T分數(shù)是根據(jù)實驗班學生的歷次成績參照全年級的478名學生歷次成績的平均分和標準差計算出的Z分數(shù)，按照lOZ+ 50轉(zhuǎn)換而來的。
從表3和趨勢圖1中我們可以看到實驗班歷次英語考試成績在年級中的相對位置呈上升趨勢且上升幅度快于對照班。表4報告的是對兩種教學模式真實教學效果進行協(xié)方差分析后的結(jié)果，我們可以看到，從3個學期的學期總評成績來看，實驗班的教學成效均明顯好于對照班，P第一翔=0. 012 < 0. OS ，P第二翔=0. 005
為期3個學期的教學實驗部分驗證了我們的研究假設(shè)，即從長期教學效果看，多媒體教學模式更能促進公共外語的大班授課，但對學生的四級英語考試的促進效果不夠明顯。
二、分析與討論
兩次教學實驗的結(jié)果都表明，采用多媒體教學的實驗班英語成績比沒有采用多媒體教學的對照班上升較快，前者的教學效果要明顯好于后者。根據(jù)筆者自己親身的體驗，分析出相關(guān)原因。
1.多媒體教學能促進教師深度備課。
運用多媒體教學對教師的備課是一種促進。多媒體要求用最精煉的語言突出重點并在每張幻燈片上得以體現(xiàn)，必然要求教師吃透教材，抓住要害。
2.多媒體教學能促進學生掌握材料。
大學英語與中學英語相比，詞匯量很大，課文長，練習多，運用多媒體教學可節(jié)省大量板書時間，加大授課容量，甚至可以補充許多好的與課文內(nèi)容有關(guān)的材料，促進學生對教材的理解，對知識點的掌握。
