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時(shí)間：2023-06-20 18:03:38
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在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生構(gòu)建完善的知識(shí)體系，提高學(xué)生解決問題的能力。文中根據(jù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)例題，對(duì)高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)過程中滲透分類討論、化歸、數(shù)形結(jié)合等思想，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，為日后學(xué)習(xí)復(fù)雜的知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
一、數(shù)學(xué)思想方法的涵義及其重要意義
數(shù)學(xué)思想方法是指針對(duì)某一數(shù)學(xué)問題的分析及探索過程，形成最佳的解決問題的思想，也為準(zhǔn)確、客觀分析、解決數(shù)學(xué)問題提供合理、操作性強(qiáng)的方法。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，也是考試的重點(diǎn)。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到函數(shù)的題目，復(fù)習(xí)時(shí)必須有針對(duì)性地了解高考常見命題和要點(diǎn)，重點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)，做到心中有數(shù)。將數(shù)學(xué)思想方法當(dāng)做數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)也是新課標(biāo)提出的，新課標(biāo)規(guī)定在教學(xué)過程中，要重視滲透數(shù)學(xué)思想方法。高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法是推進(jìn)全面素質(zhì)教育的重要手段。目前，從歷年高考的試題來看，高考考試的重點(diǎn)是查看學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活應(yīng)用及準(zhǔn)確性。數(shù)學(xué)科目考查的關(guān)鍵點(diǎn)是學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法及解題能力。因此，高中函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法發(fā)揮著重要作用。
二、高中數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的策略
（一）函數(shù)與方程思想的應(yīng)用
函數(shù)與方程雖然是兩個(gè)不同的概念，但它們之間卻存在著密切聯(lián)系，方程f（x）=0的根就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。通過方程進(jìn)行研究，許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決。反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法解決。
解析：這是一道較典型的函數(shù)與方程例題，老師根據(jù)數(shù)學(xué)思想的要求傳授學(xué)生解題方法，也可以依據(jù)這一道例題對(duì)其他相關(guān)例題的解題方法進(jìn)行概括性講授，確保學(xué)生遇到這類題目可以快速、準(zhǔn)確地找出解題方法。
本例題構(gòu)造出函數(shù)g（x），再借助函數(shù)零點(diǎn)的判定定理解題非常容易。這道例題展現(xiàn)出函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，實(shí)際解題時(shí)我們一般會(huì)構(gòu)造一個(gè)比較熟悉的模式，從而將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為所熟悉的問題進(jìn)行思考、解答。另外，我們還可以利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)，用二分法求方程近似解的方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，對(duì)拓展學(xué)生學(xué)習(xí)的深度和廣度具有重要意義。
（二）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用
數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)解題中比較常見的思想方法，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。
解析：數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思想之一，主要包括“以形助數(shù)、以數(shù)輔形”這兩方面的內(nèi)容，求解幾何問題也是研究數(shù)形結(jié)合的重要手段。同時(shí)，在求解方程解的個(gè)數(shù)及函數(shù)零點(diǎn)問題中也能應(yīng)用。以形助數(shù)和以數(shù)輔形可以讓繁雜的問題變得更直觀、形象，增強(qiáng)數(shù)學(xué)問題的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性。因此，某些問題從數(shù)量關(guān)系觀察無法入手解題時(shí)，如果將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形，運(yùn)用圖形的性質(zhì)規(guī)律更直觀地描述數(shù)量之間的關(guān)系，從而將復(fù)雜的問題變得簡單。因此，對(duì)部分抽象的函數(shù)題目，數(shù)學(xué)教師應(yīng)正確引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，使得解題思路峰回路轉(zhuǎn)，變得清晰、簡單。
（三）化歸思想的應(yīng)用
化歸思想是指將抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成簡單、熟知、直觀的數(shù)學(xué)問題，提高解決問題的速度和準(zhǔn)確性。函數(shù)章節(jié)中多數(shù)問題的解決都離不開化歸思想的應(yīng)用，其中化歸思想是分析、解決問題的基本思想，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
解析：這一例題解決過程將x0展現(xiàn)出化歸的數(shù)學(xué)思想?；瘹w是一種最基礎(chǔ)、最重要的數(shù)學(xué)思想方法，高中數(shù)學(xué)老師必須熟悉化歸思想，有意識(shí)地利用化歸思想解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并將這種思想滲透到學(xué)生的思想意識(shí)中，有利于增強(qiáng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的應(yīng)變能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
（四）分類討論思想的應(yīng)用
分類討論思想就是依據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，把豎向?qū)ο髣澐殖啥鄠€(gè)種類實(shí)施求解的一種數(shù)學(xué)思想。高中數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)教學(xué)中使用分類討論思想方法，有利于學(xué)生形成縝密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S模式，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)。解決數(shù)學(xué)函數(shù)問題時(shí)，如果無法從整體角度入手解決問題，就可以從局部層面解決多個(gè)子問題，從而有效解決整體問題。
分類討論就是對(duì)部分?jǐn)?shù)學(xué)問題，當(dāng)所給出的對(duì)象不能展開統(tǒng)一研究時(shí)，必須依據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的特點(diǎn)，把問題對(duì)象劃分為多個(gè)類別，隨之逐類展開討論和研究，從而有效解決問題。高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，經(jīng)常根據(jù)函數(shù)性質(zhì)、定理、公式的限制展開分類討論，問題內(nèi)的變量或包含需要討論的參數(shù)時(shí)，必須實(shí)施分類討論。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須循序漸進(jìn)地滲透分類思想，在潛移默化的情況下提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。
解析：本例題可以借助二次函數(shù)圖像解決，展現(xiàn)出分類討論的思想，討論對(duì)稱軸x=a與區(qū)間[0，2]的位置關(guān)系。對(duì)復(fù)雜的問題進(jìn)行分類和整合時(shí)，分類標(biāo)準(zhǔn)與增設(shè)的已知條件相等，完成有效的增設(shè)，把大問題轉(zhuǎn)換成小問題，優(yōu)化解題思路，降低解決問題的難度。分類討論教學(xué)方法要求將各類情況各種結(jié)果考慮其中，依次研究各類情況下可能出現(xiàn)的結(jié)果。求解不等式、函數(shù)和導(dǎo)數(shù)是考查分類討論思想的難點(diǎn)，為確保突出重點(diǎn)，日常教學(xué)中必須對(duì)學(xué)生滲透分類討論思想方法。
三、結(jié)語
高中數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，對(duì)其日后學(xué)習(xí)高等函數(shù)發(fā)揮著重要作用。高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)涵蓋多種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的鑰匙和重要工具，因此數(shù)學(xué)老師必須對(duì)函數(shù)實(shí)施合理教學(xué)，讓學(xué)生更全面地掌握數(shù)學(xué)思想方法，從而提高學(xué)生的綜合思維能力。
中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2013）30-203-01
很多初中生在步入高中階段后回來向筆者反映，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面跟不上節(jié)奏、進(jìn)不了狀態(tài)，尤其是成績比較好的學(xué)生表現(xiàn)的更加明顯。他們逐漸陷入數(shù)學(xué)神秘莫測的幻覺，產(chǎn)生畏懼感，動(dòng)搖了信心，甚至失去了學(xué)習(xí)的興趣。根據(jù)筆者初中、高中兩個(gè)階段的教學(xué)經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)分析，造成這種現(xiàn)象的原因是多方面的，最主要的原因還在于初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接上，下面我就這個(gè)問題談?wù)勗诮虒W(xué)中的兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)。
一、基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法的“斷點(diǎn)”銜接
隨著高中的學(xué)習(xí)慢慢深入，大量的作業(yè)也鋪天蓋地地來了，同時(shí)所牽扯到的方法和知識(shí)一下子多了起來，初中剛畢業(yè)的學(xué)生很容易被嚇倒，原來學(xué)習(xí)的信心和興趣和學(xué)習(xí)熱情被扼殺。由于初中全面推行新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教材實(shí)驗(yàn)，而高中數(shù)學(xué)新課程改革相對(duì)滯后，造成了初高中數(shù)學(xué)內(nèi)容上存在過渡問題，其中主要的問題在于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)的基本思想方法不銜接，出現(xiàn)“斷點(diǎn)”。 因此初中新課程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)教材在高一數(shù)學(xué)教學(xué)補(bǔ)充以下內(nèi)容及思想方法：
1、數(shù)和式
（1）立方和（差）公式、平方和（差）公式。在必修1單調(diào)性的證明時(shí)要求學(xué)生能夠掌握；和（差）的立方公式，它是二項(xiàng)定理的最佳接洽點(diǎn)，也即是二項(xiàng)定理最直接的推廣。
（2）十字相乘法和分組分解法。尤其是十字相乘法，它是解一元二次方程最快的方法，同時(shí)也就是解一元二次不等式的最快的方法。涉及“分組分解法因式分解”.初中課標(biāo)、教材中已不作要求。
（3）二次根式：適當(dāng)補(bǔ)充相當(dāng)?shù)倪\(yùn)算。如整體運(yùn)算等。
2、方程
可化為一元二次方程的高次方程、分式方程和無理方程。這部分初中教材刪除了。同時(shí)也就刪除了用換元法解分式方程和無理方程中的平方關(guān)系和倒數(shù)關(guān)系；刪除了換元法；刪除了解方程的基本思想方法：降次；分式轉(zhuǎn)整式；無理轉(zhuǎn)有理的重要思想方法。一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。補(bǔ)齊公式只需三五分鐘，但它同時(shí)也缺乏整體運(yùn)算的思想方法，缺設(shè)而不求的思想，而這些思想方法在高二的解析幾何：直線和二次曲線的關(guān)系中應(yīng)用極大。當(dāng)然也就缺少機(jī)會(huì)強(qiáng)調(diào)一元二次方程根與系數(shù)的使用條件。
3、函數(shù)
二次函數(shù)所學(xué)內(nèi)容有：定義，平移，基本性質(zhì)，應(yīng)用最值解答實(shí)際問題。應(yīng)補(bǔ)充三個(gè)二次的關(guān)系和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值。當(dāng)然拓展到 “含參”在給定區(qū)間的分類討論――“定軸動(dòng)區(qū)間”和“動(dòng)軸定區(qū)間”；二次方程的根的分布以及二次函數(shù)的其他性質(zhì)，相應(yīng)的可安排在函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)完后，插到指數(shù)函數(shù)前學(xué)習(xí)。
4、證明
現(xiàn)行教材中“證明”的內(nèi)涵與以前有所差別：現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中 “證明”是一個(gè)局部的公理化體系，它是從4條“基本事實(shí)”出發(fā)，證明40條左右的結(jié)論，除此之外的知識(shí)一般不在“證明”部分涉及。即使等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)有的初中課標(biāo)教材也不把它作為證明的依據(jù)，涉及的內(nèi)容僅僅局限于“相交線與平行線”、“三角形”、“四邊形”。而高中數(shù)學(xué)教材中，凡是學(xué)過的知識(shí)幾乎都可以作為“證明”的依據(jù).
初三學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算能力、邏輯推理的能力、思維的深刻性和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性等都較差。但他們?cè)趹?yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題、探究與發(fā)現(xiàn)、合作與交流等多方面很優(yōu)秀。因此，在初中教學(xué)中，要著力提高學(xué)生計(jì)算、推理等方面的能力，養(yǎng)成學(xué)生良好的思維習(xí)慣；而在高一教學(xué)中則要充分應(yīng)用其優(yōu)點(diǎn)，適時(shí)、適當(dāng)補(bǔ)其知識(shí)和能力的不足。
二、教法和學(xué)法“斷點(diǎn)”的銜接
課堂教學(xué)是師生的互動(dòng)。初中畢業(yè)生一開始總覺得課堂簡單，要求有挑戰(zhàn)性問題、作業(yè)馬虎、課堂亂喊愛表現(xiàn)，此類男生居多；對(duì)數(shù)學(xué)有畏懼心理，不是很自信，此類主要是女生；不預(yù)習(xí)，不及時(shí)復(fù)習(xí)當(dāng)天的知識(shí)就開始盲目地做題；有的學(xué)生不能很快地適應(yīng)高中的教學(xué)模式，更多的是不能適應(yīng)高中的老師；有的學(xué)生認(rèn)為老師不夠親切太嚴(yán)厲，說話聲音小，板書有點(diǎn)小，語速太快……這些習(xí)慣上的“斷點(diǎn)”如果不能很好的解決，對(duì)高中學(xué)習(xí)進(jìn)步會(huì)有很大的影響。
對(duì)此，首先要讓學(xué)生了解高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，明確高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，端正學(xué)習(xí)的態(tài)度。要把對(duì)學(xué)生加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)作為教學(xué)的重要任務(wù)之一。指導(dǎo)要以培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力為七點(diǎn)，狠抓學(xué)習(xí)基本環(huán)節(jié)，不要要求學(xué)生干什么、而是引導(dǎo)他們?cè)趺锤?。具體措施有三：一是寓方法指導(dǎo)于知識(shí)講解、作業(yè)講評(píng)、試卷分析等教學(xué)活動(dòng)之中，這種形式貼近學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際，易被學(xué)生接受；二是舉辦系列講座，介紹學(xué)習(xí)方法；三是要求學(xué)生寫數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)日記，及時(shí)總結(jié)反思。要求學(xué)生端正學(xué)習(xí)態(tài)度，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，調(diào)節(jié)自身學(xué)法，以盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)。其次，教師也要根據(jù)學(xué)生實(shí)際隨時(shí)調(diào)節(jié)教學(xué)方法。在高一，教師可適當(dāng)降低要求，循序漸進(jìn)，逐步提高。老師要先給學(xué)生搭個(gè)梯子，做個(gè)示范走一遍，再扶著他們慢慢自己摸索，直到學(xué)生能夠自己不斷的向高處攀登。不能開始就“撒手”，讓學(xué)生摔得很慘。
很多老師把高中的學(xué)生出現(xiàn)的問題推到初中的數(shù)學(xué)教育，我們應(yīng)該明白一點(diǎn)，高中的教育更多的是提高撥優(yōu)的教育不再是“義務(wù)基礎(chǔ)教育”，在這個(gè)過程中勢必要淘汰掉一部分。說起來有點(diǎn)殘酷，但這就是事實(shí)。新課改強(qiáng)調(diào)要注重學(xué)生的基礎(chǔ)，注意螺旋式地上升。如何“引導(dǎo)學(xué)生做好過渡階段的學(xué)習(xí)”是一個(gè)很有研究價(jià)值課題，作為老師也要多多找找自己的原因。參考文獻(xiàn)：
在必修3中第一章算法是獨(dú)立的一章，看似與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系很少，因此教師在教學(xué)中容易將它孤立起來，機(jī)械地、照本宣科地實(shí)施教學(xué)任務(wù)，教完后不會(huì)像函數(shù)、方程、數(shù)列那樣在后續(xù)的教學(xué)中重復(fù)出現(xiàn)。學(xué)生常常是在高一新授課時(shí)利用兩周學(xué)完，在高三復(fù)習(xí)的最后階段做兩套練習(xí)，此外就極少再接觸到算法，有些學(xué)生及教師將算法比喻成“雞肋”，食之無味，可有可無。
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》寫到“算法是一個(gè)全新的課題，已經(jīng)成為計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要基礎(chǔ)，它在科學(xué)技術(shù)和社會(huì)發(fā)展中起著越來越重要的作用。算法的思想和初步知識(shí)，也正在成為普通公民的常識(shí)。在高中數(shù)學(xué)必修課程中將學(xué)習(xí)算法的基本思想和初步知識(shí)，算法思想將貫穿高中數(shù)學(xué)課程的相關(guān)部分?！庇纱丝梢?，不能孤立地教學(xué)算法，要使學(xué)生將算法的核心思想融入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。結(jié)構(gòu)主義也提出：學(xué)科教育的實(shí)質(zhì)是使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，建立新知識(shí)和原有知識(shí)之間的聯(lián)系。
二、數(shù)學(xué)的算法如何和信息技術(shù)的算法整合
如何整合數(shù)學(xué)的算法和信息技術(shù)的算法，將兩者有機(jī)地結(jié)合起來，使得算法課既有數(shù)學(xué)味，又不失計(jì)算機(jī)的特色，這是困擾中學(xué)教師的又一個(gè)問題。
《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“在本模塊中，學(xué)生將在義務(wù)教育階段初步感受算法思想的基礎(chǔ)上，結(jié)合對(duì)具體數(shù)學(xué)實(shí)例的分析，體驗(yàn)程序框圖在解決問題中的作用；通過模仿、操作、探索，學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問題的過程；體會(huì)算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，發(fā)展有條理的思考與表達(dá)的能力，提高邏輯思維能力。”可見數(shù)學(xué)的算法和信息技術(shù)的算法是不同的。信息技術(shù)的算法即編程，是一項(xiàng)浩大的工程，通常要涉及大量細(xì)碎的技術(shù)問題。數(shù)學(xué)的算法不會(huì)讓學(xué)生過多地糾纏于程序的調(diào)試和實(shí)現(xiàn)，而是要讓學(xué)生感受算法的思想，理解算法的“算理”。
當(dāng)然數(shù)學(xué)的算法也不可能完全脫離計(jì)算機(jī)的技術(shù)，教學(xué)中也要讓學(xué)生體會(huì)算法的程序性、明確性、有限性等特點(diǎn)。必須幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)計(jì)算機(jī)工作的一些基本原理。
三、算法思想如何自然地在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透
《標(biāo)準(zhǔn)》要求“算法的思想方法應(yīng)滲透在高中數(shù)學(xué)課程其他有關(guān)內(nèi)容中，鼓勵(lì)學(xué)生盡可能地運(yùn)用算法解決相關(guān)問題。”其實(shí)這個(gè)要求不過分，算法對(duì)學(xué)生來說并不陌生。從小學(xué)的四則運(yùn)算所遵循的先乘除、后加減的規(guī)則，括號(hào)的處理規(guī)則，到初中的方程組的解法，高中的二分法求方程的近似解，數(shù)列、遞推數(shù)列求和都是算法的典型體現(xiàn)。幾乎每個(gè)問題的解決都對(duì)應(yīng)一個(gè)算法，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)需要讓學(xué)生站在較高的角度解決問題，算法思想的滲透和研究是必要的，這是每位高中數(shù)學(xué)教師都明白的。要學(xué)生很自然地認(rèn)識(shí)到算法思想的重要性，使之成為學(xué)生的一種意識(shí)、一種思想、一種方法、一種工具，這也是教學(xué)過程中的重中之重。
四、突出算理，牢牢把握算法教學(xué)的重點(diǎn)
筆者認(rèn)為首先必須明確算法的教學(xué)重點(diǎn)，算法的含義是“對(duì)一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法”，其精髓是算理，算理具有概括性，它指向一類問題，以系列步驟為載體。因此教學(xué)的重點(diǎn)是突出算理，以教科書中提供的案例為載體，體會(huì)算法的基本思想，提高學(xué)生的邏輯思維能力，要防止將算法的教學(xué)變成程序語言和程序設(shè)計(jì)的教學(xué)。
教師應(yīng)幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能,發(fā)展能力。
1.強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握
教師在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握對(duì)一些核心概念和基本思想(如函數(shù)、空間觀念、運(yùn)算、數(shù)形結(jié)合、向量、導(dǎo)數(shù)、統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)觀念、算法等),要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終,幫助學(xué)生逐步加深理解。由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn),注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈。在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程,在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)。
2.重視基本技能的訓(xùn)練
熟練掌握一些基本技能,對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)是非常重要的。在高中數(shù)學(xué)課程中,要重視運(yùn)算、作圖、推理、處理數(shù)據(jù),以及科學(xué)計(jì)算器的使用等基本技能訓(xùn)練。但應(yīng)避免過于繁雜和技巧性過強(qiáng)的訓(xùn)練。
3.與時(shí)俱進(jìn)地審視基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能
隨著時(shí)代和數(shù)學(xué)的發(fā)展,高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能也在發(fā)生變化,教學(xué)中要與時(shí)俱進(jìn)地審視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。例如,統(tǒng)計(jì)、概率、導(dǎo)數(shù)、向量等內(nèi)容已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。
二、注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際大聯(lián)系,發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和能力
在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí);通過豐富的實(shí)例引入數(shù)學(xué)知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題,經(jīng)歷探索、解決問題的過程,體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到:數(shù)學(xué)與我有關(guān)、與實(shí)際生活有關(guān),數(shù)學(xué)是有用的,我要學(xué)數(shù)學(xué),我能用數(shù)學(xué)。
在有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中,教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生直接應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些簡單問題。例如,運(yùn)用函數(shù)、數(shù)列、不等式、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)直接解決問題;還應(yīng)通過數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情景中發(fā)現(xiàn)問題,并歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型,嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去解決問題;也可向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)在社會(huì)中廣泛應(yīng)用,鼓勵(lì)學(xué)生注意數(shù)學(xué)應(yīng)用的事例。
三、改善教育學(xué)的方式,使學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)
豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是高中數(shù)學(xué)課程追求的基本理念。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于對(duì)概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受,獨(dú)立思考、自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師的講授仍然是重要的教學(xué)方式之一,但要注意的是必須關(guān)注學(xué)生的主體參與,師生互動(dòng)。教師在教學(xué)別應(yīng)注意以下幾個(gè)方面。
1.高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容,教師要把握標(biāo)準(zhǔn)的定位進(jìn)行教學(xué),應(yīng)努力提高自身的數(shù)學(xué)專業(yè)素質(zhì)和教育科學(xué)素質(zhì)。
2.在教學(xué)中,應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng),包括思維的參與和行為的參與。既要有教師的堅(jiān)守和指導(dǎo),又要有學(xué)生的自主探索與合作交流。教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情景,鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑,使他們經(jīng)歷知識(shí)形成的過程。
3.加強(qiáng)幾何直觀,重視圖形在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用,鼓勵(lì)學(xué)生借助直觀進(jìn)行思考。在幾何和其它內(nèi)容的教學(xué)中,都應(yīng)借助幾何直觀,揭示研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系。例如,借助幾何直觀理解圓錐曲線,理解導(dǎo)數(shù)的概念、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等。
4.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)習(xí)形式的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求,不能只限于形式化的表達(dá),應(yīng)注意揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。例如,有些概念(如函數(shù))的教學(xué)是從已有知識(shí)和實(shí)踐出發(fā),再抽象為嚴(yán)格化的定義。
5.對(duì)不同的內(nèi)容,可采用不同的教學(xué)和學(xué)習(xí)方式。例如,可采用收集資料,調(diào)查研究等方式,也可采用實(shí)踐探索、自主探索、合作交流等方式,還可采用閱讀理解、討論交流、撰寫論文等方式。
6.教師應(yīng)根據(jù)不同的內(nèi)容、目標(biāo),以及學(xué)生的實(shí)際情況,給學(xué)生留有適當(dāng)?shù)耐卣埂⒀由斓目臻g,對(duì)有關(guān)課題做進(jìn)一步探索、研究。例如,反函數(shù)的一般概念、概率中的幾何概型的計(jì)算等都可作為拓展、延伸的內(nèi)容。
7.教師應(yīng)充分尊重學(xué)生的人格和學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的差異,采用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問題的過程中,激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成積極探索的態(tài)度、勤奮好學(xué)、勇于克服困難和不斷進(jìn)取的學(xué)風(fēng)。
8.教師應(yīng)不斷反思自己的教學(xué),改進(jìn)教學(xué)方式,提高自己的教學(xué)水平,形成個(gè)性花的教學(xué)風(fēng)格。
三、要善于應(yīng)用現(xiàn)代化教學(xué)手段
在我國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重視變式教學(xué)，正是因?yàn)閼?yīng)用了變式教學(xué)，我國中學(xué)生在基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能方面遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了西方學(xué)生，可以說變式教學(xué)是具有中國特色的教學(xué)方法，但是我國學(xué)生在解答開放性問題及動(dòng)手能力方面遜于西方學(xué)生.我國的專家學(xué)者對(duì)變式教學(xué)的理論研究比較多，實(shí)踐研究比較相對(duì)較少，對(duì)理論的研究大都停留在感性知識(shí)上，甚至在有些理論的認(rèn)識(shí)上還模棱兩可，還有就是很少有高中教師能在教學(xué)實(shí)踐中深層次地剖析變式教學(xué)，因此，對(duì)變式教學(xué)的實(shí)踐探究就有非常重要的理論和實(shí)踐意義.下面筆者列舉數(shù)學(xué)教學(xué)案例就對(duì)變式教學(xué)的實(shí)踐談?wù)勼w會(huì).例如，與直線和圓錐曲線位置關(guān)系有關(guān)的問題是各級(jí)競賽及高考的熱點(diǎn)問題，同時(shí)也是考查學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的主要載體，對(duì)相關(guān)問題的變式、探究是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)基本思想方法、形成數(shù)學(xué)能力的重要途徑.本文主要結(jié)合2013年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一道試題重點(diǎn)研究與直線和拋物線位置關(guān)系有關(guān)的度量問題及軌跡問題，其基本的思想方法可以類比到直線與其他二次曲線的問題中.
【評(píng)析】本題是2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試的一道填空題，題目內(nèi)容簡潔清晰，以學(xué)生比較熟悉的拋物線及向量的數(shù)量積運(yùn)算為背景，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用坐標(biāo)法和函數(shù)與方程的思想進(jìn)行分析問題、解決問題的能力，題目本身容易上手，解題思路自然流暢.通過深入思考發(fā)現(xiàn)，本題內(nèi)涵豐富，對(duì)相關(guān)問題的變式分析更是培養(yǎng)學(xué)生探究能力的一個(gè)很好的素材.
變式3：求坐標(biāo)原點(diǎn)在直線AB上的投影的軌跡.
總之，變式探究學(xué)習(xí)模式在課堂教學(xué)實(shí)施中，就是在科學(xué)的教育理論指導(dǎo)下，借鑒科學(xué)家發(fā)明創(chuàng)造的思想方法和數(shù)學(xué)問題，通過創(chuàng)設(shè)一定的情境幫助學(xué)生主動(dòng)投入多角度的解題教學(xué)中，對(duì)數(shù)學(xué)問題作多層面探究.首先，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)基本策略和方法發(fā)現(xiàn)和提出問題，并解決問題.其次，引導(dǎo)學(xué)生合作交流，開發(fā)學(xué)生潛能；讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，理清知識(shí)結(jié)構(gòu)，尋找科學(xué)有效的方法，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行獨(dú)立探究和合作探究，歸納綜合，拓展創(chuàng)新，深層探究，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力.
參考文獻(xiàn)：
數(shù)學(xué)思想所指的是，對(duì)于數(shù)學(xué)事實(shí)以及概念和理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，這是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種高度概括。數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，它的具體反映和體現(xiàn)是數(shù)學(xué)方法，并且數(shù)學(xué)方法還是處理探索解決數(shù)學(xué)問題，以及實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的手段以及重要工具。在教學(xué)中，滲透數(shù)學(xué)這種思想方法，對(duì)于提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，起到的作用是不可替代的。對(duì)滲透數(shù)學(xué)這種思想方法的重視，對(duì)于教學(xué)取得成功是非常關(guān)鍵的。因此，在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的研究是很有必要的。
一、集合思想
集合的定義是：一些特定的事物，它們所組成的整體，在這些事物中，它們中的每一個(gè)都被稱為這個(gè)集合的一個(gè)元素。我們可以把集合這種思想融入到高中函數(shù)教學(xué)中，增強(qiáng)學(xué)生的集體意識(shí)，還可以利用高中數(shù)學(xué)的重要特點(diǎn)，也就是嚴(yán)謹(jǐn)性，學(xué)會(huì)在邏輯用語中，盡力地教會(huì)學(xué)生，應(yīng)該認(rèn)真看清楚題目，充分理解題目的意思，而且還可以從題目中已經(jīng)給出的條件，用來推敲出其他的條件，并且可以分析出來哪些是有幫助的，而哪些是沒有意義的。將那些有幫助的、會(huì)用到的條件歸為一個(gè)整體，為成功解題做好鋪墊。
二、方程與函數(shù)思想
方程與函數(shù)思想，可以說是高中數(shù)學(xué)函數(shù)的基本思想，在歷年的高考中也是經(jīng)常出現(xiàn)，而且是重點(diǎn)和難點(diǎn)。目前所使用的高中教材，大部分是以知識(shí)結(jié)構(gòu)作為編寫體系來進(jìn)行的，并且這其中所蘊(yùn)含的各種數(shù)學(xué)教學(xué)思想，還是見于整個(gè)教材之中，所以，對(duì)于大多數(shù)的學(xué)生來說，如果只側(cè)重于用一種方法來解答題目，不會(huì)做到舉一反三，很容易導(dǎo)致數(shù)學(xué)思想方法的主觀隨意性。函數(shù)思想的含義是：運(yùn)用運(yùn)動(dòng)以及變化的觀點(diǎn)，可以來建立函數(shù)關(guān)系，或是構(gòu)造函數(shù)，并且運(yùn)用函數(shù)的圖像，以及性質(zhì)去分析問題，或者是轉(zhuǎn)化問題，從而達(dá)到解決問題的目的；方程思想的含義是：分析數(shù)學(xué)教學(xué)問題中的各個(gè)變量間的等量關(guān)系，并據(jù)此建立方程，或者是方程組，也可以構(gòu)造方程，并運(yùn)用方程的各種性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，進(jìn)而解決問題。方程與函數(shù)的思想，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，它非常強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)，而且非常注重對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力以及他們的邏輯思維能力的訓(xùn)練，讓學(xué)生將他們所學(xué)的知識(shí)盡量都運(yùn)用到生產(chǎn)以及生活中，運(yùn)用到實(shí)際工作去，與此同時(shí)，還可以了解題的技能以及技巧，以及理解題目中蘊(yùn)含的各種數(shù)學(xué)思想，使得學(xué)生會(huì)主動(dòng)地將所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用于社會(huì)實(shí)踐中去。
三、化歸、類比思想
化歸、類比思想指對(duì)于需要解決的問題，將其轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已有知識(shí)范圍內(nèi)的，可解的問題的一種數(shù)學(xué)意識(shí)，簡單地說是將陌生化為熟悉，或者是將復(fù)雜化為簡單，也可以說是將抽象的問題，充分轉(zhuǎn)化為具體直觀的問題，更通俗的是將一般性的問題，經(jīng)過轉(zhuǎn)化，成為直觀的、比較特殊的問題。而且，化歸、類比思想可以說是高中數(shù)學(xué)函數(shù)中最常見、最基本的思想方法，以至于函數(shù)中，幾乎一切問題的解決，幾乎是離不開化歸以及類比。在高考中，很大部分試題，它們條件與目標(biāo)的聯(lián)系一般都不是顯而易見的，只有通過在不斷的轉(zhuǎn)化過程中，才有機(jī)會(huì)去發(fā)現(xiàn)題目所給條件與目標(biāo)之間的聯(lián)系，因此歸結(jié)出來一個(gè)能夠解決問題的方法。
四、整形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想的含義：在研究與解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，可以將反映問題的比較抽象的數(shù)量關(guān)系，通過與直觀的平面以及空間圖形相結(jié)合起來進(jìn)行思考，從而得出解決問題的辦法。圖形整合也是通過將抽象思維，與比較形象思維有機(jī)地結(jié)合起來解決問題，這是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法。這種方法具有直觀性以及靈活性的特點(diǎn)。
五、結(jié)束語
數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，它的具體反映和體現(xiàn)是數(shù)學(xué)方法，并且數(shù)學(xué)方法還是處理探索解決數(shù)學(xué)問題，以及實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的手段以及重要工具。在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，具體而言它包括集合思想、方程與函數(shù)思想、化歸類比思想以及整形結(jié)合思想等。在教學(xué)中，滲透數(shù)學(xué)這種思想方法，對(duì)于提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，起到的作用是不可替代的。因此，在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)必須積極進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的傳授。
參考文獻(xiàn)
[1]鄧勤 新課程背景下初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效銜接――從函數(shù)概念的教學(xué)談起[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2011，（02）。
[2]孫雪飛 淺談三角函數(shù)章節(jié)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)[J].新課程學(xué)習(xí)（基礎(chǔ)教育），2010，（10）。
函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，是高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的重要組成部分，在各章節(jié)知識(shí)體系中具有橋梁和紐帶的作用，函數(shù)概念的產(chǎn)生標(biāo)志著數(shù)學(xué)思想方法的改變，從常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)成變量數(shù)學(xué)，函數(shù)的教學(xué)能夠使學(xué)生懂得一切事物都是在不斷變化、相互聯(lián)系與制約中的，從而了解事物的變化趨向及其運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)、解決實(shí)際問題的能力是一個(gè)有效的工具。
一、數(shù)學(xué)思想方法的定義
數(shù)學(xué)思想方法是一種對(duì)問題的分析以及探索的技巧，是更好地解決問題的一種思路，同時(shí)也是為更好地分析及解決問題提供的一種有效的、具有很強(qiáng)可操作性的數(shù)學(xué)解題方法。
二、數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的重要意義
對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用是全民推進(jìn)素質(zhì)教育的需要。全面地推進(jìn)素質(zhì)教育是在我國當(dāng)代教育中比較重要的一項(xiàng)任務(wù)，從現(xiàn)在的高考試題來看，它重點(diǎn)考查的內(nèi)容是學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、深入性以及靈活運(yùn)用的能力。對(duì)于學(xué)生的考查更加注重于數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)能力，所以說數(shù)學(xué)思想方法在高中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用具有重要的意義。
三、函數(shù)
1.函數(shù)的概念
現(xiàn)代數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)概念的定義方法大致可以分為四種：第一種就是把函數(shù)定義為具有某種函數(shù)特征的狀態(tài)，而不是定義函數(shù)本身；第二種就是把函數(shù)看成一種法則或者規(guī)律，按照事物的發(fā)展，對(duì)其以后發(fā)展的物質(zhì)有著定量或者不定量的影響；第三種就是把函數(shù)解釋成一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，一種固定事物對(duì)應(yīng)一種關(guān)系的關(guān)系；第四種就是把函數(shù)描述為一種特殊關(guān)系或者一種特定關(guān)系。通過不同的定義方法我們可以理解出不同的函數(shù)定義。函數(shù)作為數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的概念之一，進(jìn)一步分析后，可以比較清楚地了解到其中包括極限理論、積分?jǐn)?shù)、微分過程及至泛函分析等。包括其他科目，比如物理學(xué)等也是以函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)研究本學(xué)科的物質(zhì)的變化歸路的，以函數(shù)為基本來研究和解決并作為解決問題的最終工具。這就充分證明了，函數(shù)本身就蘊(yùn)藏著極其豐富的辯證思想。
2.函數(shù)的本質(zhì)
迪爾卡提出“變量”一詞本身就是一種函數(shù)的表現(xiàn)形式。恩格斯評(píng)價(jià)說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是迪爾卡的變量，有了變量，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入數(shù)學(xué)；有了變量，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變量、微積分和積分也就立刻成為必要，而他們也就立刻產(chǎn)生啦！”。進(jìn)入十六世紀(jì)，數(shù)學(xué)理論不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)中描述運(yùn)動(dòng)變化的概念―――變量以及函數(shù)的概念成為百年數(shù)學(xué)研究的中心。所以，函數(shù)的本質(zhì)就是以公式或圖形的形式，表示物質(zhì)或事物在變量下的一種積累的過程。
3.函數(shù)的發(fā)展
在函數(shù)成為近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的基本理論后，函數(shù)很快充斥數(shù)學(xué)的一切研究領(lǐng)域，并成為數(shù)學(xué)研究的基本思路之一。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和科學(xué)知識(shí)的不斷普及，人們對(duì)變量、函數(shù)的認(rèn)識(shí)不斷加強(qiáng)，數(shù)學(xué)科學(xué)也從初等數(shù)學(xué)時(shí)期進(jìn)入高等數(shù)學(xué)時(shí)期。函數(shù)對(duì)人類思維方式的影響有了質(zhì)的變化，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)和現(xiàn)代科技的蓬勃發(fā)展。因此也就可以說，函數(shù)是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。函數(shù)概念產(chǎn)生本身就標(biāo)志著數(shù)學(xué)思想方法的一種重大挫折。而函數(shù)的應(yīng)用就改寫了數(shù)學(xué)的面貌，從對(duì)象到理論，方法，結(jié)構(gòu)發(fā)生了根本的變化。
4.函數(shù)在高中教學(xué)中的應(yīng)用
在高中時(shí)期，學(xué)生學(xué)習(xí)的函數(shù)一般可以分為函數(shù)、函數(shù)的表示方式、函數(shù)的單調(diào)性和反函數(shù)等四個(gè)方面，函數(shù)作為高中教育階段最主要的內(nèi)容之一，對(duì)高中時(shí)期的概念和性質(zhì)，在給正面數(shù)量關(guān)系后，還必須借助圖形來直觀地揭示函數(shù)的另一面，并用不同的語言、不同的形勢、不同的角度來認(rèn)識(shí)和解釋函數(shù)問題的本質(zhì)。函數(shù)在高中教學(xué)體系中，占有主要地位。它與中學(xué)數(shù)學(xué)的很多學(xué)科有著密切關(guān)系。在初中“函數(shù)及其圖像”就屬于函數(shù)教學(xué)的內(nèi)容。高中數(shù)學(xué)中主要學(xué)習(xí)函數(shù)包括：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，它們都是函數(shù)教學(xué)的主體，通過不斷被對(duì)函數(shù)的研究，能夠充分認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)、圖像及其初步的應(yīng)用。包括在普通高等教育中的極限、微積分初步知識(shí)等都是函數(shù)的內(nèi)容。而高中的函數(shù)等都屬于初等函數(shù)，其他的教學(xué)內(nèi)容也都與函數(shù)有著或大或小的關(guān)系。
四、高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的實(shí)踐策略
1.在概念形成過程中滲透數(shù)學(xué)思想
通常在教學(xué)過程中對(duì)于一個(gè)新知識(shí)的傳授首先是要掌握知識(shí)的概念，再是概念形成的過程，教師要給予充足的解釋，使學(xué)生在一開始接受新知識(shí)的時(shí)候就意識(shí)到數(shù)學(xué)思想在概念形成過程中的重要性。下面我們以二次函數(shù)為例。一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a成為二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。x是自變量，y是因變量。函數(shù)圖象是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-[ b 2a]，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-[b 2a]，[4ac - b2 4a]）。交點(diǎn)式是y=a（x-x1）（x-x2）（僅限于與x軸有焦點(diǎn)的拋物線），與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是A（x1，0）和B（x2，0）。通過教師對(duì)數(shù)學(xué)函數(shù)概念的描述可以優(yōu)化學(xué)生對(duì)概念的理解以及應(yīng)用能力。
2.教學(xué)過程中應(yīng)用例題強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解
下面我們舉出一個(gè)例題并根據(jù)上述對(duì)函數(shù)概念的描述對(duì)其進(jìn)行解析。例題有二次函數(shù)y=x2-x-6，分別判斷此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。解可知此函數(shù)的a=1，b=-1，c=-6，那么該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=-[b2a]即x=[12]，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-[b2a]，[4ac - b24a ]），即（[12]，-[251]）；因?yàn)榇撕瘮?shù)y=x2-x-6可以分解為y=（x+2）（x-3），其中a=1，所以該函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是A（-2，0）和B（3，0）。在教師描述完函數(shù)的概念后引入例題讓學(xué)生們能及r消化對(duì)概念的理解，并通過例題將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于計(jì)算與分析、解決問題的過程。
此外，課堂教學(xué)確定合理的教學(xué)目標(biāo)十分重要，在不同的教學(xué)階段應(yīng)該給學(xué)生以不同層次的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。高一、高二新授課的函數(shù)教學(xué)，要十分注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，并在此基礎(chǔ)上注重引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)函數(shù)的基本思想，從而為后續(xù)的教學(xué)和高三的復(fù)習(xí)教學(xué)作必要和可能的鋪墊。
【基金項(xiàng)目】本文為重慶市教育學(xué)會(huì)第八屆（2015-2017年）基礎(chǔ)教育科研立項(xiàng)課題（重點(diǎn)課題）“高中數(shù)學(xué)教學(xué)中問題呈現(xiàn)的直觀化對(duì)學(xué)生思維的影響”（課題批準(zhǔn)號(hào)：XH2015A15）系列論文之一.
一、“數(shù)形結(jié)合”思想方法概述
（一）數(shù)形結(jié)合思想方法
中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系（數(shù)）和空間形式（形），數(shù)是數(shù)量關(guān)系的體現(xiàn)，而形則是空間形式的體現(xiàn).“數(shù)”與“形”常依一定的條件相互聯(lián)系，抽象的數(shù)量關(guān)系有形象和直觀的幾何意義，而直觀的圖形性質(zhì)也常用數(shù)量關(guān)系加以精確描述.那么“數(shù)形結(jié)合”就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，切莫忘幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離.”這首小詩形象、生動(dòng)、深刻的指明了數(shù)形結(jié)合的價(jià)值，也揭示了數(shù)形結(jié)合的本質(zhì).
（二）數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值
數(shù)形結(jié)合這種思維方法的應(yīng)用，有助于我們解決許多問題，同時(shí)加深我們對(duì)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，使數(shù)學(xué)更具有創(chuàng)造性.
通過數(shù)形結(jié)合，首先是我們對(duì)幾何圖形性質(zhì)的討論更廣泛、更深入了，研究的對(duì)象也更寬泛，方法更一般化了.其次是為代數(shù)問題提供了幾何直觀.由于代數(shù)借用了幾何的術(shù)語，運(yùn)用了與幾何類比而獲得新的生命力，如線性代數(shù)正是借用了幾何學(xué)中的空間、線性等概念，用類比的方法把自己充實(shí)起來而迅速發(fā)展的.代數(shù)方法便于精細(xì)計(jì)算，幾何圖形直觀形象，數(shù)形結(jié)合、相互促進(jìn)，使我們加深了對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的認(rèn)識(shí).數(shù)形結(jié)合把點(diǎn)與數(shù)、曲線與方程之間建立一一對(duì)應(yīng)的思考方法，啟發(fā)我們將方程視為點(diǎn)，把某類函數(shù)的全體視作空間.形成了一種聯(lián)想的思維方式，拓展了我們思維的廣度與深度.
（三）“數(shù)形結(jié)合”思想方法在中學(xué)教學(xué)中的地位
1.從新課程對(duì)“四基”的要求來看數(shù)形結(jié)合思想
四基是基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).教師應(yīng)幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法、掌握知識(shí)與技能，積累經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)知識(shí)之間是相互聯(lián)系的，數(shù)學(xué)核心概念、基本思想始終貫穿于中學(xué)教學(xué).由于數(shù)學(xué)高度抽象性，新課標(biāo)把數(shù)形結(jié)合思想作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想.
2.從新課標(biāo)對(duì)思維能力的要求來看數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想能幫助學(xué)生思維意識(shí)的提升.通過數(shù)形有機(jī)結(jié)合，把形象思維與抽象思維有機(jī)地結(jié)合，讓學(xué)生抽象思維具體化，初步形成辯證思維能力，同時(shí)幫助學(xué)生多角度、多層次思考問題.
3.從新課標(biāo)數(shù)學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)來看數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)學(xué)過于抽象、過于形式化、過于符號(hào)化給人產(chǎn)生遙遠(yuǎn)的距離感.再加上它曲折奧妙的邏輯推理造成學(xué)生認(rèn)知上的特殊難度.可是通過數(shù)形結(jié)合思想可以形象直觀的揭示問題的本質(zhì)，減輕學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.
4.從教與學(xué)的現(xiàn)狀來看數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想方法已深入中學(xué)解題功能，但在實(shí)際教育中還未真正落實(shí)到位，主要表現(xiàn)在數(shù)形結(jié)合思想方法的教育目標(biāo)不夠明確，課堂教學(xué)隨意性，盲目性大，而計(jì)劃性、系統(tǒng)性、有序性、層次性、過程性則顯得不足.造成學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想方法來分析解決問題能力太差.因此，在教學(xué)中如何充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的作用，重視數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用，是一個(gè)值得研究的課題.
二、數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的體現(xiàn)
在高中數(shù)學(xué)教材中，許多數(shù)式與方程都有幾何意義，許多圖形又都可以用數(shù)式與方程表示，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是相互聯(lián)系密不可分的.如：
（1）實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）與平面內(nèi)的點(diǎn)（a，b）對(duì)應(yīng).
（2）方程y=kx+b的幾何意義是直角坐標(biāo)平面上的一條直線，其中數(shù)k的幾何意義是斜率，即直線傾斜角的正切值；數(shù)b的幾何意義是直線在y軸上的截距.
（3）函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系：如：二次函數(shù)對(duì)應(yīng)拋物線；三角函數(shù)對(duì)應(yīng)正弦曲線等等.
三、部分案例分析
（一）利用數(shù)形結(jié)合思想解決最值、值域問題
利用數(shù)形結(jié)合思想有時(shí)可以解決一些比較復(fù)雜的最值和值域問題.特別是一些三角函數(shù)的題目.
應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：其一數(shù)與形轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單、熟知的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化前后的問題必須是等價(jià)的；其二，利用“數(shù)”的精確性和“形”的直觀性.總之，要讓學(xué)生真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，必須有雄厚的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技巧，如果教師只講解幾個(gè)典型習(xí)題并把學(xué)生講懂了，就認(rèn)為學(xué)生領(lǐng)會(huì)了數(shù)形結(jié)合這一思想方法，是片面的.教師要有做好長期滲透的思想，平時(shí)要求學(xué)生認(rèn)真上好每一堂課，學(xué)好新教材的系統(tǒng)知識(shí)，掌握各種函數(shù)的圖像特點(diǎn)，理解各種幾何圖形的性質(zhì).
【參考文獻(xiàn)】
高中階段的主要教學(xué)目的就是要突出培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、空間想象能力、邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。雖然這些能力在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中也有所體現(xiàn)，但是在高中階段才真正被提上日程，充分地表現(xiàn)了出來。要做好初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接工作，筆者認(rèn)為可以采用以下幾種措施。
一、明確教學(xué)要求
學(xué)生進(jìn)入高一，一方面。教師不應(yīng)該是忙忙碌碌于教授新課，而是應(yīng)該對(duì)自己所教班級(jí)中學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)情況進(jìn)行必要的摸底考試，了解學(xué)生的知識(shí)掌握程度和學(xué)習(xí)習(xí)慣；另一方面，教師不應(yīng)該只專注于高中數(shù)學(xué)教材和大綱的研究和學(xué)習(xí)，還應(yīng)結(jié)合初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系，分析相對(duì)于初中的數(shù)學(xué)來說，高一教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)。在這個(gè)聯(lián)系和比較中，就很容易地找到初高中知識(shí)的銜接點(diǎn)，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。這樣既能達(dá)到溫故而知新的教學(xué)目的，又能幫助學(xué)生真正地理解數(shù)學(xué)知識(shí)和基本思想方法。
二、引領(lǐng)學(xué)習(xí)方法
密鑰共享的基本思想，可以通過如下例子來表述：某個(gè)銀行的保險(xiǎn)庫，每天至少需要用密碼（即密鑰）打開一次；銀行雇傭四位出納，但是銀行為提高保險(xiǎn)庫的安全性并不想將密鑰委托給單個(gè)出納。這時(shí)，銀行可以利用密鑰共享的方法來設(shè)計(jì)一個(gè)安全的系統(tǒng)保護(hù)這個(gè)密鑰。在該系統(tǒng)中，銀行把密鑰分成四部分并獨(dú)立分發(fā)給四位出納；該系統(tǒng)保證任意三位或四位出納同時(shí)在場才可用密鑰打開保險(xiǎn)庫，而任意單獨(dú)或兩位的出納不能打開保險(xiǎn)庫。此外，即使有一位出納的那份密鑰意外地丟失，其他三位出納仍然可正?；謴?fù)整個(gè)密鑰。對(duì)于上述的問題和要求，如何用一個(gè)數(shù)學(xué)的方法來有效地解決呢？
二、問題的求解
解法一：解方程組方法
1979年，著名密碼學(xué)家阿迪?沙米爾利用解方程組的方法給出了一個(gè)簡單且有效的方法。我們用一個(gè)簡單的例子展示該方法：在數(shù)字化世界中，可假設(shè)密鑰是一個(gè)數(shù)字，這是發(fā)揮數(shù)學(xué)作用的第一步。具體地，設(shè)密鑰為2，四位出納分別用1、2、3和4表示，選取一個(gè)二次多項(xiàng)式f（x）=2+3x+x2，它滿足f（0）=2，即當(dāng)x取零時(shí)，由這個(gè)多項(xiàng)式計(jì)算的結(jié)果恰好是密鑰值2；計(jì)算f（1）=6，f（2）=12，f（3）=20和f（4）=30，并把這四個(gè)值分別秘密地分發(fā)給四位出納。這樣，我們已經(jīng)完成這個(gè)保護(hù)系統(tǒng)的設(shè)置，該密鑰的部分密鑰分別由四位出納安全地保管。假設(shè)前三位出納同時(shí)在場，此時(shí)只需把由他們保管的秘密值6、12、20拿出來，大家就可以用解方程組的方法簡單地恢復(fù)得到密鑰值，計(jì)算過程如下：假設(shè)該二次方程是f（x）=a+bx+cx2，則可得到如下方程組：
a+b+c=6a+2b+4c=12a+3b+9c=20
通過求解該方程組，可得a=2，即f（0）=a=2為密鑰值。若只有一位或兩位出納同時(shí)在場，由解方程組的方法可知，則他們只能得到有一個(gè)方程或兩個(gè)方程的方程組，但有三個(gè)未知數(shù)，故該秘密值無法正確地被恢復(fù)。
解法二：幾何方法
現(xiàn)在，從幾何角度來更直觀地分析一下上述方法。我們先把出納的代表值和各自的部分秘密值分別看成直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)點(diǎn)，即（1，6）、（2，12）、（3，20）和（4，30），且把密鑰也看一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)（0，2）。可把二次多項(xiàng)式看成一條二次曲線，密鑰值是該曲線與縱軸的交點(diǎn)，每位出納的部分秘密值均是曲線上某個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)值（見圖1）。由二次曲線的性質(zhì)可知，若已知曲線上的三個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，可容易在直角坐標(biāo)系上畫出完整的曲線，即可以獲得與縱軸的交點(diǎn)值；若僅知道曲線上一個(gè)或兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)（如A和B，見圖2），那么該曲線與縱軸的交點(diǎn)可能有無數(shù)個(gè)（如：C1， C2， …， Cn），即無法確定該密鑰值。
綜上所述，我們分別從代數(shù)的觀點(diǎn)和幾何的觀點(diǎn)，分析了密鑰共享的基本思想，充分展現(xiàn)了高中代數(shù)學(xué)習(xí)中“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。從這兩個(gè)角度看問題，不僅可以讓學(xué)生直觀體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的鑒賞力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且可以幫助學(xué)生對(duì)密鑰共享方法的理解，提高他們對(duì)“信息安全和密碼”學(xué)習(xí)的興趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展，對(duì)實(shí)現(xiàn)“信息安全與密碼”模塊教學(xué)也起到探索的作用。
高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)量大面廣、思想方法多，聯(lián)系緊密，內(nèi)涵豐富，相對(duì)于其他學(xué)科而言，內(nèi)容抽象，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)。因此不少學(xué)生既感到畏懼，又無從下手。另外高中數(shù)學(xué)內(nèi)容多，復(fù)習(xí)時(shí)間緊，學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)較重。如何提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的針對(duì)性和實(shí)效性呢？因此在數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)時(shí)，需要講究方法，注重實(shí)效，老師要引領(lǐng)到位、不做無用之功，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。
一、回歸教材，構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
教材是考試內(nèi)容的媒介，是高考命題的重要依據(jù)，也是學(xué)生思維能力的生長點(diǎn)。只有吃透課本上的例題和習(xí)題，才能全面、系統(tǒng)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法及基本思想，構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，以不變應(yīng)萬變。
重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的掌握和運(yùn)用?；A(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法仍是考生復(fù)習(xí)的重中之重，復(fù)習(xí)中要以課本例題、習(xí)題為載體，抓好基礎(chǔ)題型和通性通法的熟練掌握，淡化特殊技巧。教師應(yīng)通過教材練習(xí)題的重組、演變、推廣，使學(xué)生從不同角度和不同側(cè)面深入地把握問題的本質(zhì)，形成理解數(shù)學(xué)概念、解決數(shù)學(xué)問題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生也應(yīng)做到：課堂勤做筆記，課后認(rèn)真思考，對(duì)任何問題先思考、后解答，對(duì)錯(cuò)題要經(jīng)常反思總結(jié)，將平時(shí)每一次考試都當(dāng)成高考一樣認(rèn)真對(duì)待，形成良好的應(yīng)考心理、技能，以及規(guī)范答題的習(xí)慣。
二、強(qiáng)化基本概念的復(fù)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧
數(shù)學(xué)是概念的游戲，概念是實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)和創(chuàng)造的源泉，沒有概念，教學(xué)就無法入手，解題也就失去依據(jù)。因此在高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中，必須牢牢把握高中數(shù)學(xué)概念的復(fù)習(xí)，使每個(gè)考生對(duì)高中數(shù)學(xué)考點(diǎn)中的概念做到心中有數(shù)，有的放矢，同時(shí)根據(jù)高中數(shù)學(xué)概念推導(dǎo)出相應(yīng)的公式和定理。比如等差數(shù)列，首先應(yīng)明確等差數(shù)列的概念，然后再根據(jù)等差數(shù)列的概念推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過等差數(shù)列通項(xiàng)公式的研究再找出等差數(shù)列的性質(zhì)，在根據(jù)等差數(shù)列的和的定義，再推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與前n項(xiàng)和公式的相關(guān)性質(zhì)。實(shí)際上，高中數(shù)學(xué)公式很多都是根據(jù)概念推導(dǎo)出來的，這樣不僅熟悉了數(shù)學(xué)概念，同時(shí)也讓學(xué)生掌握了公式的來龍去脈，展示了公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)公式的發(fā)現(xiàn)過程，極大的培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造能力，因此公式、定理的推導(dǎo)過程本來就是一個(gè)再創(chuàng)造，再發(fā)現(xiàn)的過程。當(dāng)然，還要注重知識(shí)間的聯(lián)系與整合，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處試題命制的研究，培養(yǎng)學(xué)生的解題策略和答題技巧。
三、注重?cái)?shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)理性思維能力的培養(yǎng)
我們?cè)诳倧?fù)習(xí)中既要重視數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的復(fù)習(xí)，還要重視數(shù)學(xué)理性思維能力的復(fù)習(xí)。中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法主要有：數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)和方程思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得，與此同時(shí)又應(yīng)該領(lǐng)會(huì)它們?cè)谛纬芍R(shí)中的作用，到了復(fù)習(xí)階段就應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)基本方法進(jìn)行疏理、總結(jié)、逐個(gè)認(rèn)識(shí)它們的本質(zhì)特征、思維程序或者操作程序，逐步做到自覺地、靈活地施用于所要解決的問題。實(shí)際上近幾年的每一道高考試題幾乎都考慮到數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)基本方法的運(yùn)用，目的也是加強(qiáng)這些方面的考查。因此，在平時(shí)的復(fù)習(xí)中，就要有意識(shí)、有目的的加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)基本方法的總結(jié)、應(yīng)用和反思。中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)涵的理性思維能力包括：邏輯推理、演繹證明、歸納抽象、直覺猜想、運(yùn)算求解等方面的內(nèi)容。在復(fù)習(xí)時(shí)，我們要有意識(shí)地從多角度、多緯度、多視野地提高數(shù)學(xué)思維能力，既不要只是局限于邏輯思維能力的練習(xí)，還要訓(xùn)練歸納抽象、直覺猜想、運(yùn)算求解等，使自己的思維能力能夠較全面地、系統(tǒng)地得到提高。
四、精選習(xí)題，強(qiáng)化訓(xùn)練，提高備考復(fù)習(xí)的有效性
