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時(shí)間：2023-06-22 09:12:30
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1. 準(zhǔn)確理解定義、定理、公式。具體地說(shuō)就是理解概念所指。說(shuō)明的問(wèn)題內(nèi)容。
2. 用歸納的方法掌握定義、定理和公式。 對(duì)于定義、定理和公式通過(guò)歸納可以系統(tǒng)地掌握，從而提高學(xué)生的記憶效率。
3. 通過(guò)練、做，解決實(shí)際問(wèn)題方法加強(qiáng)鞏固記憶。無(wú)論是平時(shí)解題還是高考解題都離不開數(shù)學(xué)中的定義、定理和公式，記住定義、定理和公式是解題的前
提條件，而在解題中怎樣應(yīng)用定義、定理和公式是一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題，并在應(yīng)用中怎樣掌握好、鞏固好， 以為日后的高考作準(zhǔn)備。
其次，在掌握定義和公式的基礎(chǔ)上，掌握其所適用的題型，以便在實(shí)踐中和高考試卷上靈活應(yīng)用。例如三角形面積公式 中 就是 邊上的高，它其實(shí)就是初中所學(xué)的公式 的另一種新的形式.再如學(xué)習(xí)了祖原理后，讓學(xué)生把它引申到平面幾何的相應(yīng)命題。再如： （ ）為正數(shù)，求證 ，可把基本不等式 變形為 來(lái)用.再如求 的值，是將 的公式變形使用.這樣，學(xué)生應(yīng)對(duì)高考題型，就可以駕輕就熟，有的放矢。
近年來(lái)，加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)和考查是時(shí)代的需要，是教育教學(xué)改革的需要.高考數(shù)學(xué)試卷繼續(xù)關(guān)注對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力的考查，與往年的試題相比，還有以下新特點(diǎn)：
（1）精心選材.密切聯(lián)系社會(huì)實(shí)際和學(xué)生生活實(shí)際，許多試題立意深，情景新，思維價(jià)值高.
公式和定理是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，是數(shù)學(xué)推理論證的重要依據(jù)。因此，公式和定理的教學(xué)是基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的重要組成部分。高中數(shù)學(xué)公式和定理大部分是需要掌握的，按照課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)掌握的定位，就是必須明了知識(shí)的來(lái)龍去脈，領(lǐng)會(huì)知識(shí)的本質(zhì)，能從本質(zhì)上把握內(nèi)容、形式的變化，對(duì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法也要掌握[1]。
1.數(shù)學(xué)理解的作用
1.1理解可以促進(jìn)記憶
由于學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)形成記憶的過(guò)程是一個(gè)建構(gòu)和再建構(gòu)的過(guò)程，因此記憶并不是將知識(shí)直接原封不動(dòng)地接收然后儲(chǔ)存的過(guò)程，而是要理解要不斷做一些建構(gòu)的工作，這些工作主要涉及三個(gè)方面:把原有知識(shí)變成更容易記和提取的知識(shí);新舊知識(shí)盡量聯(lián)系更多;新舊知識(shí)本質(zhì)屬性聯(lián)系數(shù)量越多，就越容易提取。因此，在記憶知識(shí)時(shí)，個(gè)體會(huì)主動(dòng)去理解，加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系的廣度和深度，由此提高新知識(shí)的記憶程度。
1.2理解能降低知識(shí)的記憶量
沒(méi)有理解，知識(shí)就是孤立存在，各種知識(shí)分別占用記憶單位;如果理解，新舊知識(shí)之間有聯(lián)系，構(gòu)成一些有機(jī)組成部分，那么需要單獨(dú)記憶的東西變少，這樣，記憶量就減少了[2]。
1.3理解將推動(dòng)遷移
遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響，有正遷移和負(fù)遷移之分。由于建構(gòu)性的理解活動(dòng)能突破限制，組建表象與表象之間豐富的聯(lián)系，在結(jié)構(gòu)內(nèi)部或更大范圍以及結(jié)構(gòu)之間尋找更深層次的意義，因此能發(fā)揮知識(shí)方法的潛能，推動(dòng)遷移的進(jìn)行[3]。
1.4理解會(huì)影響信念
學(xué)生在思考和理解的過(guò)程中會(huì)漸漸地體會(huì)到數(shù)學(xué)是一個(gè)緊密的內(nèi)部聯(lián)系的整體，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)之間非常有條理地聯(lián)系在一起，這些聯(lián)系是學(xué)習(xí)者自己通過(guò)努力去探索和嘗試地建立起來(lái)的，這同時(shí)就建立了比較正確的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀和數(shù)學(xué)信念等。就在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及關(guān)聯(lián)有了理解，對(duì)數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用有體會(huì)時(shí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用產(chǎn)生興趣，想學(xué)習(xí)更新更深的知識(shí)。因此，只要抓住學(xué)習(xí)的關(guān)鍵—理解，或者學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)到該水平，那么就能促進(jìn)學(xué)生形成正確的觀念[4]。
2.強(qiáng)化高中數(shù)學(xué)公式和定理教學(xué)在高二學(xué)生中的理解措施
2.1教師要增強(qiáng)對(duì)公式和定理證明的意識(shí)
在課堂上適時(shí)的簡(jiǎn)單證明公式和定理，讓學(xué)生掌握公式和定理的證明，也就是把大部分學(xué)生對(duì)公式和定理的理解水平提升到領(lǐng)會(huì)水平，學(xué)會(huì)公式和定理的證明才能有效地提高學(xué)生的解題能力。教師的信念會(huì)直接影響學(xué)生的信念，教師如果自己覺得公式和定理只要會(huì)用就可以，那么要學(xué)生掌握公式和定理的證明這是不可能的，目前普遍認(rèn)為公式和定理只要記住會(huì)用就可以了，可見教師信念對(duì)學(xué)生信念的影響很大以及學(xué)生本身對(duì)公式和定理的認(rèn)識(shí)不深刻。處于公式和定理的不同理解水平的學(xué)生在解題能力上有顯著性差異，兩者成高度正相關(guān)。也就是說(shuō)，掌握公式和定理的證明能有效地提高學(xué)生的解題能力。
2.2重視學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用和理解
讓更多的學(xué)生能正確表達(dá)數(shù)學(xué)和明白數(shù)學(xué)專用名詞的意思。在學(xué)生訪談中，當(dāng)問(wèn)到錯(cuò)位相減法的字面意思時(shí)，所有的學(xué)生都不知如何回答，經(jīng)過(guò)提示，才慢慢的能說(shuō)清楚一些。因?yàn)閿?shù)學(xué)名詞的命名都是有一定原因的，它跟命名的對(duì)象有關(guān)，所以教師在講解比如倒序相加法、錯(cuò)位相減法時(shí)，把推導(dǎo)過(guò)程與名字結(jié)合在一起，學(xué)生當(dāng)時(shí)理解會(huì)稍微深刻一點(diǎn)，以后估計(jì)看到方法的名字就能想起或知道具體的證明過(guò)程。這也讓學(xué)生慢慢形成一種意識(shí)，就是中學(xué)數(shù)學(xué)中只要從字面上簡(jiǎn)單清晰地理解數(shù)學(xué)，不僅在以后可使回憶變得簡(jiǎn)單，而且呈現(xiàn)知識(shí)的“原貌”也顯得不是那么困難了。
2.3教師本身應(yīng)提高對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的認(rèn)識(shí)
問(wèn)卷的同時(shí)，也與高中數(shù)學(xué)教師進(jìn)行交流，比如問(wèn)為什么公式和定理的證明一般只講一遍，對(duì)公式和定理的要求一般為什么是只要記住會(huì)用就可以?教師的回答一般是:我們學(xué)校的學(xué)生生源差，好的學(xué)生都被最好的市重點(diǎn)先錄取;就算講了，學(xué)生能掌握證明的也很少。事實(shí)上，分析學(xué)生測(cè)試卷可以發(fā)現(xiàn)，很多問(wèn)題學(xué)生都有比較完美的解法，說(shuō)明學(xué)生并不差，總是有很多不錯(cuò)的學(xué)生存在，教師可以適當(dāng)進(jìn)行資優(yōu)教育。如果教師因未發(fā)掘?qū)W生潛能而期望過(guò)低，使學(xué)生感受到老師認(rèn)為自己不行，那么一方面教師對(duì)學(xué)生的定位就己經(jīng)很低了，學(xué)生要達(dá)到更高的認(rèn)知水平就非常困難，另一方面教師講得簡(jiǎn)單，沒(méi)講一些數(shù)學(xué)深刻的地方，那學(xué)生也沒(méi)法領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的深?yuàn)W，以及數(shù)學(xué)原來(lái)很有趣。
2.4教師有時(shí)要基于數(shù)學(xué)史作教學(xué)設(shè)計(jì)
以有趣的故事來(lái)引發(fā)學(xué)生的興趣，以一些更簡(jiǎn)單、更巧妙、更直觀的方法讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)可以很簡(jiǎn)單直觀，只不過(guò)是自己沒(méi)發(fā)現(xiàn)而已。
2.5教師平時(shí)應(yīng)多強(qiáng)調(diào)推理的嚴(yán)密性，少用“記住、別忘了”等詞
比如對(duì)于學(xué)生忘記分q等于1和q不等于1兩種情況，或在學(xué)生忘記a=0的情況，不要只強(qiáng)調(diào)下次別忘了，而應(yīng)該指出這是數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性，a=0時(shí)就不是等比數(shù)列了，就不能用等比數(shù)列的求和公式。這樣做可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的深刻性，可以減少認(rèn)為數(shù)學(xué)只是解一些題而不存在多少思想和特點(diǎn)的學(xué)生的人數(shù)。
3.結(jié)論
綜上所述，對(duì)于數(shù)學(xué)公式和定理，學(xué)生不能只是簡(jiǎn)單的“一背二套”，還要學(xué)會(huì)其證明過(guò)程，因?yàn)橹挥羞@樣，才能更好地促進(jìn)記憶、知道應(yīng)用條件和掌握數(shù)學(xué)思想方法，并最終達(dá)到靈活應(yīng)用的目的;教師也不能注重應(yīng)用，而忽略推導(dǎo)過(guò)程，并且推導(dǎo)過(guò)程中最好“藝術(shù)化”一些，更好地創(chuàng)設(shè)情境加以引導(dǎo)，多加入美的元素，激發(fā)學(xué)生思維的活力。因此，研究高中生對(duì)公式和定理的理解水平，對(duì)高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要意義。
參考文獻(xiàn)：
[1]黃燕玲，喻平.對(duì)數(shù)學(xué)理解的再認(rèn)識(shí)[j].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11(03):17-l9.
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常遇到的一個(gè)問(wèn)題就是學(xué)生記不住一些常用的數(shù)學(xué)公式，或者是隨著時(shí)間的推移，將一些數(shù)學(xué)公式記錯(cuò)、記混，從而影響學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí).有一些學(xué)生因記不住數(shù)學(xué)公式而厭惡數(shù)學(xué)，進(jìn)而認(rèn)為數(shù)學(xué)就是套公式，他們學(xué)不好數(shù)學(xué)往往是因?yàn)橛洸蛔?shù)學(xué)公式.這些認(rèn)識(shí)雖說(shuō)具有很強(qiáng)的片面性，但從一個(gè)方面說(shuō)明數(shù)學(xué)公式的掌握在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的重要性.
高等數(shù)學(xué)是建立在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之上的，一般來(lái)說(shuō)，中學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)相對(duì)來(lái)說(shuō)就比較吃力.但是，高等數(shù)學(xué)相較于中學(xué)數(shù)學(xué)又有一定的獨(dú)立性.中學(xué)數(shù)學(xué)涉及的知識(shí)面較窄，因此很注重技巧，而高職的高等數(shù)學(xué)相對(duì)來(lái)說(shuō)涉及的知識(shí)面較廣，對(duì)技巧的要求少了許多，可以說(shuō)是在反反復(fù)復(fù)地使用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.因而記住這些公式就顯得尤為重要.下面我就教學(xué)中遇到的幾個(gè)難于記憶的定理、公式提出了形象化的記憶方法，希望有助于學(xué)生的學(xué)習(xí).
一、凹凸性和極值的記憶
在極值和凹凸性的章節(jié)中有以下定理：
定理2：設(shè)在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么
這兩個(gè)定理涉及二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，我在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生往往會(huì)用錯(cuò)這兩個(gè)定理.為此，我們提出了用一個(gè)蹺蹺板的圖形幫助學(xué)生記憶這兩個(gè)定理.解釋如下：圖中的水平線代表0，支點(diǎn)位置為一階導(dǎo)數(shù)，蹺蹺板的兩端，一端是函數(shù)f（x），一端是二階導(dǎo)數(shù)f″（x），很明顯，當(dāng)f″（x）>0時(shí)，蹺蹺板一端高于水平面，另一端比低于水平面，可以想象為極小和凹.類似地，當(dāng)f″（x）
二、三角函數(shù)的求導(dǎo)和積分公式
三角函數(shù)的積分和求導(dǎo)公式比較多，記憶難度較大，因此是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)所在.即使剛開始記住了，時(shí)間長(zhǎng)了也容易混淆.為了幫助學(xué)生記憶，我們引入如下圖形（注意第二個(gè)圖形中的負(fù)號(hào)）：
（2）積分：如果被積函數(shù)是兩個(gè)頂點(diǎn)的乘積，則結(jié)果是另外一個(gè)頂點(diǎn)：
教學(xué)實(shí)踐表明，簡(jiǎn)單的圖形在幫助學(xué)生學(xué)習(xí)方面起到了很好的作用.本文僅是拋磚引玉，希望今后能看到更多更好的相關(guān)文章.
一、對(duì)開展“高一數(shù)學(xué)公式和定理教學(xué)研討”的基本認(rèn)識(shí)：
1.新課改的需求：一方面，指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、公式、定理的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)，使學(xué)生理解它們逐步形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)含其中的思想方法。另一方面，在新一輪數(shù)學(xué)課程改革中，將“推理與證明”納入新課程教材中（選修1-2和選修2-2），這些都預(yù)示著對(duì)學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)將越來(lái)越重要。
2.適應(yīng)高考，培養(yǎng)學(xué)生能力的需要：近年來(lái)，很多省份的高考中出現(xiàn)了教材中公式或定理的推導(dǎo)、證明，學(xué)生的得分率相當(dāng)?shù)?，這與我們?nèi)粘＝虒W(xué)中對(duì)公式的推導(dǎo)、對(duì)定理的證明極不重視有很大關(guān)系。高一年級(jí)的任課教師很多都是高三一線下來(lái)的老師，經(jīng)過(guò)高考“題?！笔降膹?qiáng)化訓(xùn)練，更加不會(huì)靜下心來(lái)推導(dǎo)公式或定理，對(duì)學(xué)生要求“一背二套三默寫”、課堂上采取“公式例題加變式”的形式，這樣往往使學(xué)生頭腦里只留下公式、定理的外殼，忽視它們的來(lái)龍去脈，不明確它們運(yùn)用的條件和范圍，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)的提升，也不利于學(xué)生的終身發(fā)展。
二、開展“高一數(shù)學(xué)公式和定理教學(xué)”的基本做法：
公式和定理是高一數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，是數(shù)學(xué)推理論證的重要依據(jù)，每一章均涉及到一些定理和公式，因此，公式和定理的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。下面我就高一年級(jí)數(shù)學(xué)公式和定理的教學(xué)談?wù)勎业囊恍┳龇ǎ?/p>
（一）重視公式或定理的引入：
公式、定理的引入是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)探索能力的重要環(huán)節(jié)。引入最好能夠引人入勝，盡量避免“開門見山”式的引入，可以針對(duì)不同的公式與定理，采用多樣化的引入，這樣就能很好地吸引學(xué)生，激發(fā)他們的探究欲望。常用以下幾種引入的方法：
1、實(shí)踐演示引入：利用與公式和定理相關(guān)的、有趣味的模型，使學(xué)生在接觸課題之前，就產(chǎn)生強(qiáng)烈的探求欲望。例如在引入均值定理時(shí)前，可以讓學(xué)生制作數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，引入根的存在性定理（必修1）時(shí)，可以先讓學(xué)生通過(guò)大量計(jì)算、作圖實(shí)踐、甚至電腦模擬演示等，從而讓學(xué)生充分體會(huì)、領(lǐng)悟該定理的條件、特征及應(yīng)用。
2、類比引入：
數(shù)學(xué)中的很多公式和定理在教材中的出現(xiàn)是相對(duì)分散的，但知識(shí)的整體性要求我們不能忽視相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系，因此新公式、新定理可以由舊公式、舊定理通過(guò)類比遷移而來(lái). 使得新知識(shí)成為舊知識(shí)在某種程度上的拓展和延伸，非常自然地將新公式和新定理同化到學(xué)生的原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，降低學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解和記憶難度。例如在推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、相關(guān)性質(zhì)（角標(biāo)性質(zhì)、連續(xù)等長(zhǎng)片段的和的性質(zhì)）這種引入方法，使學(xué)生對(duì)新公式、新定理不感到突然，而是舊公式、舊定理的延伸與擴(kuò)展。
3、發(fā)現(xiàn)法引入：
對(duì)于有些公式和定理，可以帶領(lǐng)學(xué)生重涉前人探索之路去自己發(fā)現(xiàn).這種發(fā)現(xiàn)式的引入，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生觀察與探究能力有重要作用.例如在學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和公式時(shí)，我給同學(xué)們講了高斯小時(shí)候求1+2+…+100的故事，并附加提問(wèn)：“在高斯說(shuō)出了他的方法后，老師又提出了新的問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生計(jì)算1+4+7+…+98”，大家想一想，該如何計(jì)算？更一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)a1+a2+…+an的計(jì)算公式我們能推導(dǎo)出來(lái)嗎？同學(xué)們興致盎然，通過(guò)獨(dú)立探究與合作討論，很快就得出了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式.
（二）重視公式或定理的歸納猜想
按照數(shù)學(xué)知識(shí)的基本規(guī)律，公式和定理可以通過(guò)兩個(gè)方面去探究歸納：一是，以一般的原理為前提，推出某個(gè)特殊情況下的新結(jié)論（演繹推理）；二是，以若干特殊情況下的情況為前提，推出一個(gè)一般的原理作為新結(jié)論（歸納推理）。在引入之后，通過(guò)歸納、演繹，使學(xué)生對(duì)公式、定理有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，提出結(jié)論，符合知識(shí)體系的建立，也利于學(xué)生自主探索和交流合作的體驗(yàn)經(jīng)歷，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如均值不等式（必修5）的得來(lái)，就是通過(guò)老師創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題，讓學(xué)生合作探究、大膽歸納和猜想。
（三）重視公式或定理推導(dǎo)和證明
公式的推導(dǎo)和定理的證明是教學(xué)的核心。經(jīng)過(guò)恰當(dāng)?shù)匾牒蜌w納猜想，學(xué)生的心理狀態(tài)是“興趣被激發(fā)，對(duì)證明、推導(dǎo)有迫切感”，因此抓住機(jī)會(huì)給予證明。應(yīng)注重聯(lián)系，弄清公式、定理的來(lái)龍去脈，提高對(duì)數(shù)學(xué)的整體認(rèn)知。在推導(dǎo)過(guò)程的教學(xué)中，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，能讓學(xué)生推導(dǎo)的就讓學(xué)生推導(dǎo)，并注意讓學(xué)生彼此發(fā)現(xiàn)并指出學(xué)生推導(dǎo)中的錯(cuò)誤。有些推導(dǎo)過(guò)程繁瑣的公式與定理，教師可以注重分析，講清為什么用這樣的方法。如果公式和定理有幾種推導(dǎo)方法，教學(xué)中不是面面俱到，可以讓學(xué)生課后思考不同的推導(dǎo)方法。例如三角函數(shù)公式眾多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，這就要求我們必須引導(dǎo)學(xué)生明白公式的來(lái)龍去脈，掌握他們的推導(dǎo)過(guò)程，深刻認(rèn)識(shí)公式的結(jié)構(gòu)特征，明確每一組公式在整個(gè)公式系統(tǒng)中的地位及作用。否則學(xué)生不能熟練應(yīng)用，平時(shí)作業(yè)邊做題邊翻公式，一上考場(chǎng)腦袋一片空白。
（四）重視公式或定理的條件和特例
公式或定理成立是要有一定條件的。學(xué)生學(xué)習(xí)的最大弱點(diǎn)是把公式作為“萬(wàn)能公式”，將定理作為“萬(wàn)能定理”，亂用亂套。因此教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)它們成立的必備條件。如對(duì)數(shù)運(yùn)算公式中真數(shù)都要大于零、等比數(shù)列前n項(xiàng)和必須分q=1和q≠1，an與sn的關(guān)系中必須注意驗(yàn)證初始值等條件限制。在公式推導(dǎo)完成后，通過(guò)實(shí)時(shí)練習(xí)，從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生忽略條件而產(chǎn)生的錯(cuò)誤，讓學(xué)生討論公式應(yīng)用中要注意公式成立的條件。另外，公式雖具有一定的普遍意義，但對(duì)一些具有特殊條件的情形要給予注意，這就是公式的特例。如三角誘導(dǎo)公式及倍角公式是兩角和與差公式的特例，勾股定理是余弦定理的特例等。
（五）重視公式或定理的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解題能力
數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于應(yīng)用和實(shí)踐，因此，在公式和定理的教學(xué)中，必須使學(xué)生靈活巧妙地應(yīng)用公式和定理，提高、培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際運(yùn)用的能力。在此教學(xué)環(huán)節(jié)中要注意引導(dǎo)學(xué)生靈活掌握公式和定理，既要引導(dǎo)學(xué)生正用、逆用，還要注意變形用、推廣用等。這一層次的思維量大，可很好地培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。例如：基本不等式可以變形為a2+b2≥2ab，tan（A+B）=tanA+tanB1-tanAtanB變形為tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）等，正弦定理也有很多變形公式，如a：b：c=sinA：sinB：sinC等一定要引導(dǎo)學(xué)生靈活掌握.
三、高一數(shù)學(xué)公式或定理教學(xué)中要達(dá)到的目標(biāo)：1.要求學(xué)生用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公式與定理的內(nèi)容。學(xué)生對(duì)條件較多、變化較大的定理或公式的感知和記憶要受條件強(qiáng)弱的影響，條件強(qiáng)、用的多的部分更容易被關(guān)注和記憶，弱的部分常常被掩蓋或忽視。例如等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中q=1就是相對(duì)較弱的條件，學(xué)生非常容易忽視，但他們對(duì)q≠1的情況記得非常準(zhǔn)確，又如數(shù)列中已知Sn求an，學(xué)生對(duì)相對(duì)較弱的驗(yàn)證n=1經(jīng)常遺漏，該分段不分段，甚至有的學(xué)生到高三還在這些方面丟分，歸根結(jié)底，還是我們高一公式與定理教學(xué)過(guò)程中對(duì)學(xué)生的要求沒(méi)有到位。
2.要求學(xué)生學(xué)會(huì)分析其條件與結(jié)論間的內(nèi)在關(guān)系，明確其使用的條件和適用的范圍及應(yīng)用的規(guī)律。這是教會(huì)學(xué)生看清知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系，從而把所學(xué)知識(shí)納入學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效途徑。
3.要求學(xué)生領(lǐng)悟公式推導(dǎo)過(guò)程中包含的數(shù)學(xué)思想方法。如：數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、分類討論、類比等。
4.要求學(xué)生學(xué)會(huì)比較與鑒別。比較與鑒別是學(xué)生把公式和定理納入自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要過(guò)程。在練習(xí)應(yīng)用中，一般是應(yīng)用所學(xué)新知識(shí)來(lái)解題。如果僅僅盯住新公式，學(xué)生就失去一次獨(dú)立選擇公式的機(jī)會(huì)，這無(wú)助于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展。特別是公式較多時(shí)，學(xué)生一旦面臨復(fù)雜的問(wèn)題，他們會(huì)無(wú)所適從。比如新學(xué)的均值不等式與高一上期所學(xué)“雙鉤函數(shù)”的比較，通過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)兩者并不矛盾可以讓學(xué)生進(jìn)一步明確“雙鉤函數(shù)”可以看成是均值不等式的很好的擴(kuò)充。因此在教學(xué)中用注意公式的比較與鑒別，選擇合適的公式解題，使學(xué)生的解題能力得到發(fā)展。
四、高一數(shù)學(xué)公式或定理教學(xué)的實(shí)踐感悟：
1.教師一定要增強(qiáng)對(duì)公式和定理證明的意識(shí)。
數(shù)學(xué)理解由淺到深，具有一定的層次性，后一層次包含前面的層次，每一層次具有質(zhì)的不同，這是量變到質(zhì)變的必然結(jié)果．按照數(shù)學(xué)理解的層次，可將數(shù)學(xué)理解分為正向理解，變式理解和反省理解．
1．正向理解
正向理解指能由數(shù)學(xué)概念，定理，公式的條件得出結(jié)論的理解．正向理解反應(yīng)了學(xué)生的正向思維，是一種初步的理解．
一看到條件，就想到相應(yīng)的結(jié)論是正向理解的標(biāo)志．正向理解還包括能舉出數(shù)學(xué)概念的正面例子，能學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)定理的基本應(yīng)用，能學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)公式的正向應(yīng)用等．正向理解是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的最基本要求，應(yīng)力爭(zhēng)使每個(gè)學(xué)生都達(dá)到要求．
2．變式理解
變式理解指數(shù)學(xué)問(wèn)題的形式雖然變化了，而數(shù)學(xué)本質(zhì)仍然保持不變的一種理解．變式理解是數(shù)學(xué)理解的較高要求，力爭(zhēng)使較好的學(xué)生達(dá)到這一水平．通過(guò)變式教學(xué)，學(xué)生可以達(dá)到變式理解的水平；學(xué)生不但掌握數(shù)學(xué)定理的正向應(yīng)用，而且還可以變化條件應(yīng)用；學(xué)生不但掌握數(shù)學(xué)公式的正向應(yīng)用，而且還能掌握數(shù)學(xué)公式的逆向應(yīng)用；學(xué)生可對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行一題多變，一題多解等變式理解．
3．反省理解
反省理解也叫反思理解，是對(duì)數(shù)學(xué)理解的反思回顧和再理解．反省理解也可視作是透徹理解．學(xué)生達(dá)到這一理解層次后，便可知曉知識(shí)的來(lái)龍去脈，能舉一反三，觸類旁通．反省理解隨著學(xué)生的年齡增大而增強(qiáng)，當(dāng)學(xué)生進(jìn)入形式運(yùn)算階段后，反省理解才有質(zhì)的飛躍．培養(yǎng)反省理解不要急躁，要符合學(xué)生的心理規(guī)律．
二、數(shù)學(xué)知識(shí)理解的分類
只有對(duì)被理解的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行合理的分類，才能更有助于數(shù)學(xué)理解．現(xiàn)按最常用的方法將被理解的數(shù)學(xué)知識(shí)分類為：對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解，對(duì)數(shù)學(xué)定理的理解和對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解．
1．對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解
數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的細(xì)胞．理解概念要充分揭示概念的本質(zhì)特征，使學(xué)生確切理解所講述概念．另外，只理解概念的定義是不夠的，還要掌握概念的內(nèi)涵．理解概念不僅要理解概念的內(nèi)涵，還要理解概念的外延，這是概念的質(zhì)與量的表現(xiàn)，二者是不可分割的．
2．對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解
數(shù)學(xué)中存在大量數(shù)學(xué)公式，它們是推理和變形的工具，有著廣泛的應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)公式可概括為三用，即正著用、變著用、逆著用，這三用的難度是逐步增加的．如平方差公式（a+b）(a-b)=a-b，正著用就是指公式左邊符合兩項(xiàng)和兩項(xiàng)差的乘積條件就可直接應(yīng)用，得出簡(jiǎn)潔的結(jié)果．變著用：是指將暫時(shí)不能直接利用公式的變形后再利用公式．例如：（a+b-c）(a-b+c)=[a+(b-c)][a-(b-c)]后就可以利用前面的平方差公式．逆著用：是指將公式的條件和結(jié)論互換后的利用．公式是一個(gè)恒等式（在一定條件下），左右兩邊互換后仍然成立．再以平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2為例，逆著用就是指a2-b2=（a+b）(a-b)也就變成因式分解的平方差公式了，以上三種用法對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)理解的三個(gè)層次． 轉(zhuǎn)貼于
3．對(duì)數(shù)學(xué)定理的理解
數(shù)學(xué)定理是推理的依據(jù)，在證明中有舉足輕重的作用．?dāng)?shù)學(xué)定理的正向理解是指能正確區(qū)分定理的條件和結(jié)論，并能直接利用數(shù)學(xué)定理．?dāng)?shù)學(xué)定理的變式理解指的是能直接創(chuàng)造定理成立的條件來(lái)利用定理解決問(wèn)題，其中創(chuàng)造條件包括能挖掘隱藏的條件或能推出需要的條件，并會(huì)進(jìn)行一題多解，一法多用等．?dāng)?shù)學(xué)定理的反省理解指能夠解決條件開放或結(jié)論開放的開放題，提高學(xué)生的反省理解．
4．對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解
基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)問(wèn)題條件和結(jié)論都比較清晰，難度系數(shù)不大，學(xué)生只要弄清題意，就可逐步解決．綜合性數(shù)學(xué)問(wèn)題難度系數(shù)較大，達(dá)到變式理解的學(xué)生基本可以解決這類問(wèn)題．開放式問(wèn)題條件或結(jié)論部分是開放的，思維要求具有靈活性，難度系數(shù)一般很大，具備反省理解的學(xué)生較有可能解決此類問(wèn)題．
三、提高學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平的途徑
學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解是逐步深入的，教師在課堂教學(xué)中要采取一定的措施促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解．
1．促進(jìn)合作交流
新課程提倡合作學(xué)習(xí)，在合作學(xué)習(xí)中小組內(nèi)可以進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)交流，然后組內(nèi)選代表和老師進(jìn)行數(shù)學(xué)交流．通過(guò)數(shù)學(xué)交流，學(xué)生的表達(dá)能力提高了，對(duì)知識(shí)的理解深刻了，學(xué)習(xí)的興趣也濃厚了．學(xué)生之間的數(shù)學(xué)理解水平有差異，通過(guò)數(shù)學(xué)交流可以相互取長(zhǎng)補(bǔ)短，同時(shí)提高和進(jìn)步．
2．變式練習(xí)
變式練習(xí)指的是保持問(wèn)題的本質(zhì)特征不變，通過(guò)變化問(wèn)題的非本質(zhì)特征進(jìn)行練習(xí)的方法．變式包括概念變式、過(guò)程變式和問(wèn)題變式．通過(guò)這三類變式，可使教學(xué)多變化，少重復(fù)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)的理解水平．問(wèn)題的一題多解，一法多用，一題多變，多題歸一，可以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的奧妙，從而產(chǎn)生濃厚的興趣和學(xué)習(xí)欲望，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的水平的提高．在概念形成后，不要急于應(yīng)用概念解決問(wèn)題，而應(yīng)多角度，多方位，多層次地設(shè)計(jì)變式問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)．
3．指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我提問(wèn)
通過(guò)自我提問(wèn)，這里的問(wèn)題就變化為自己的問(wèn)題，從而誘發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平．
4．進(jìn)行分層教學(xué)
中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2013）36-0157-03
公式和定理揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的基本規(guī)律，具有一定的形式符號(hào)化的抽象性和概括性的特征，是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展水平發(fā)展的重要學(xué)習(xí)載體，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，是數(shù)學(xué)推理論證的重要依據(jù)。因此，公式和定理的教學(xué)是基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的重要組成部分。按照課程標(biāo)準(zhǔn)的定位，高中數(shù)學(xué)公式和定理大部分是需要達(dá)到掌握的層次，即必須明了知識(shí)的來(lái)龍去脈，領(lǐng)會(huì)知識(shí)的本質(zhì)，能從本質(zhì)上把握內(nèi)容、形式的變化，對(duì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法也要加以掌握。
長(zhǎng)期以來(lái)，由于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，不可能再有什么創(chuàng)新，更不太可能要求學(xué)生發(fā)明創(chuàng)造新的初等數(shù)學(xué)的結(jié)論。同時(shí)，基于高考升學(xué)的壓力，數(shù)學(xué)教師普遍對(duì)定理、公式課的教學(xué)重視不夠，數(shù)學(xué)公式和定理教學(xué)容易產(chǎn)生“一背二套、公式加例題”的形式，在數(shù)學(xué)課堂中更多地重視“解題訓(xùn)練”，習(xí)慣了“滿堂灌”的模式，這種形式的教學(xué)往往使學(xué)生的頭腦里只留下公式、定理的外殼，而忽視他們的來(lái)龍去脈，不明確它們運(yùn)用的條件和范圍，代之以更多地靠背誦數(shù)學(xué)的結(jié)論和公式，盲目、機(jī)械地去進(jìn)行模仿，在茫茫的題海中漫游，學(xué)生不知不覺地成了知識(shí)的容器。在這樣的課堂上，學(xué)生思維的時(shí)間和空間無(wú)情地失去了，長(zhǎng)此下去，學(xué)生很用功，書本知識(shí)很純熟，但動(dòng)手能力差，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題根本不可能進(jìn)行深入的思考和探究，更不可能有創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神。
如何在新課改下的數(shù)學(xué)公式和定理的教學(xué)中，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，提高教學(xué)效率，并大面積提高教學(xué)質(zhì)量呢？通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)做好以下幾方面的工作，從而提高定理教學(xué)的質(zhì)量。
一、知識(shí)的發(fā)生階段
在公式定理的教學(xué)中，如何一開始就把學(xué)生的興趣調(diào)動(dòng)起來(lái)，把學(xué)生吸引住，激發(fā)他們的求知欲，是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生探索能力的關(guān)鍵。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者主要采取了如下幾種比較有效的引入方式：
1.注重與生活實(shí)際相結(jié)合。建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)，學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)教室的。在日常生活中，在以往的學(xué)習(xí)中，他們已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗(yàn)，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運(yùn)行，從自然現(xiàn)象到社會(huì)生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問(wèn)題即使他們還沒(méi)有接觸過(guò)，沒(méi)有現(xiàn)成的經(jīng)驗(yàn)，但當(dāng)問(wèn)題一旦呈現(xiàn)在面前時(shí)，他們往往也可以基于相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，依靠自身的認(rèn)知能力，形成對(duì)問(wèn)題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測(cè)，而是從他們的經(jīng)驗(yàn)背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設(shè)。因此，在教學(xué)中，教師不能無(wú)視學(xué)生的這些經(jīng)驗(yàn)，另起爐灶，從外部裝進(jìn)新知識(shí)，而是要把學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)他們從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。
例如，在等差數(shù)列通項(xiàng)公式的教學(xué)中，通過(guò)如下問(wèn)題引入：1682年，英國(guó)天文學(xué)家哈雷發(fā)現(xiàn)一顆大彗星描繪的曲線和1531年、1607年的彗星驚人的相似，便大膽斷定，這是同一天體的三次出現(xiàn)，并預(yù)言它將于76年后再度回歸。這就是著名的哈雷彗星。它的回歸周期大約是76年，請(qǐng)你查找資料，列出哈雷彗星的回歸時(shí)間表，并預(yù)測(cè)它在本世紀(jì)回歸的時(shí)間。學(xué)生通過(guò)審題分析可以很快得出結(jié)論，這個(gè)時(shí)候再提出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就水到渠成，相當(dāng)自然。
2.學(xué)會(huì)從實(shí)驗(yàn)去歸納猜想。著名數(shù)學(xué)教育家G?波利亞曾指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，從這個(gè)方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)，看起來(lái)卻像一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)，在定理教學(xué)時(shí)，教師也可以設(shè)置實(shí)驗(yàn)引入，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)定理。
以二項(xiàng)式定理的教學(xué)為例，二項(xiàng)式定理是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的典型應(yīng)用，為了引導(dǎo)學(xué)生追本溯源，把二項(xiàng)式定理的研究還原到應(yīng)用計(jì)數(shù)原理的思考上來(lái)，在本節(jié)課教學(xué)時(shí)，筆者進(jìn)行了精心設(shè)計(jì)，下面是其中的部分教學(xué)設(shè)計(jì)：
問(wèn)題1：兩個(gè)粉筆盒，每個(gè)盒里各有一紅一白兩支粉筆，現(xiàn)連續(xù)抽取兩次，每個(gè)粉筆盒各抽一支粉筆，問(wèn)：有多少種不同的抽取結(jié)果？
（學(xué)生小組合作討論，得出可能結(jié)果。教師板書學(xué)生陳述的結(jié)果于黑板右側(cè)，并引導(dǎo)學(xué)生分別用分步和分類兩個(gè)原理加以說(shuō)明。）
（1）分步乘法計(jì)數(shù)原理：2×2=4。
（2）分類加法計(jì)數(shù)原理：抽取結(jié)果分為三大類。
①兩白？邛白1白2？邛1？邛C
②一白一紅？邛白1紅2？邛1
白2紅1？邛12？邛C
③兩紅？邛紅1紅2？邛1？邛C
問(wèn)題1設(shè)計(jì)意圖：從粉筆盒取粉筆生動(dòng)形象，學(xué)生比較熟悉，解決起來(lái)得心應(yīng)手。
問(wèn)題2：你能夠得出（a+b）2的展開式嗎？（教師板書于黑板中間）
問(wèn)題3：對(duì)比取粉筆的過(guò)程，思考（a+b）2與它有什么共同之處？描述這些共同之處。（教師引導(dǎo)學(xué)生從項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)的次數(shù)、各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)對(duì)（a+b）2進(jìn)行分析。）
學(xué)生小組合作，得出如下結(jié)論：
項(xiàng)數(shù)：2+1
項(xiàng)次數(shù)： 展開項(xiàng)的各項(xiàng)均為二次，a降冪b升冪，每一項(xiàng)可記為a2-kbk，k∈{0，1，2}
各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)：a2？邛a2b0？邛C
ab？邛a1b1？邛C
b2？邛a0b2？邛C
問(wèn)題2設(shè)計(jì)意圖：把新問(wèn)題回歸到已掌握的知識(shí)上，體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系與問(wèn)題的解決；體會(huì)展開式中系數(shù)的由來(lái)。
探究活動(dòng)一：學(xué)生獨(dú)立探究（a+b）3的展開式，并請(qǐng)學(xué)生展示探究過(guò)程：（學(xué)生依舊選擇了取粉筆的過(guò)程，改為三個(gè)粉筆盒）
（a+b）3=C a3+C a2b+C ab2+C b3
=a3+3a2b+3ab2+b3
活動(dòng)一設(shè)計(jì)意圖：再次理解取粉筆問(wèn)題和展開式的聯(lián)系，特別是展開式各項(xiàng)的系數(shù)與取粉筆過(guò)程中分類計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系。
探究活動(dòng)二：請(qǐng)大家思考（a+b）n=？
（a+b）n=C an+C an-1b+C an-2b2+……+C bn n∈N*
活動(dòng)二設(shè)計(jì)意圖：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想。
活動(dòng)三：請(qǐng)哪位同學(xué)能對(duì)比剛剛的（a+b）2的分析過(guò)程，分析（a+b）n的展開式。
項(xiàng)數(shù)：n+1
項(xiàng)次數(shù)：展開項(xiàng)的各項(xiàng)均為二次，a降冪b升冪，每一項(xiàng)可記為an-kbk
活動(dòng)三設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，再次用計(jì)數(shù)原理歸納并證明的過(guò)程。
在這一設(shè)計(jì)中，學(xué)生經(jīng)過(guò)從粉筆盒抽粉筆的實(shí)踐操作，發(fā)現(xiàn)了（a+b）2的各項(xiàng)展開式系數(shù)與計(jì)數(shù)原理應(yīng)用下的抽粉筆的結(jié)果之間的聯(lián)系，然后經(jīng)過(guò)類似實(shí)驗(yàn)得到 （a+b）3中類似的結(jié)論，由此猜想（a+b）n的展開式，從而輕松得到二項(xiàng)展開式定理。
3.注重知識(shí)類比引入。數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的，學(xué)生可以應(yīng)用已經(jīng)掌握的公式、定理推導(dǎo)新的公式定理，也可以通過(guò)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的相同、相通之處分析，采取類似的方法。
例如，在正弦定理的教學(xué)中，部分引入的教學(xué)設(shè)計(jì)為：
問(wèn)題1：初中時(shí)，在三角形中，邊和角有什么樣的關(guān)系？
學(xué)生答：大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角。
問(wèn)題2：已知RtABC中，∠C是最大角，所對(duì)的斜邊c是最大的邊，邊和角有什么關(guān)系？
學(xué)生思考后，作圖分析，得出結(jié)論：根據(jù)正弦函數(shù)的定義，■=sinA，■=sinB，所以■=■=c，又sinC=1，所以■=■=■
問(wèn)題2設(shè)計(jì)意圖：直角三角形是學(xué)生已經(jīng)掌握的三角形，學(xué)生入手比較快，解答比較容易。
問(wèn)題3：已知ABC中，A角對(duì)a邊，B角對(duì)b邊，C角對(duì)c邊，邊和角有什么關(guān)系？
學(xué)生類比問(wèn)題2的解答，作圖，分類討論得出結(jié)論：■=■=■
問(wèn)題3設(shè)計(jì)意圖：類比特殊三角形進(jìn)行推廣。
學(xué)生對(duì)直角三角形的邊角關(guān)系很熟悉，當(dāng)在直角三角形中得出結(jié)論后，再次提出新問(wèn)題，即其他三角形中是否也有類似關(guān)系？學(xué)生就很容易類比直角三角形進(jìn)行推導(dǎo)，得出結(jié)論。
二、知識(shí)發(fā)展階段
1.重視推導(dǎo)和證明。掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程是一個(gè)建構(gòu)和再建構(gòu)的過(guò)程，而理解把原有知識(shí)變成更容易記和提取的知識(shí)，提高新知識(shí)的記憶程度。在傳統(tǒng)的定理教學(xué)中，學(xué)生因?yàn)椴磺宄ɡ淼膩?lái)龍去脈，對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論性的定理和公式只能生硬地記憶和套用，經(jīng)常出現(xiàn)書本例題和練習(xí)都會(huì)做，但稍有變式便無(wú)從下手的情況，這是因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有理解定理。沒(méi)有理解，知識(shí)就是孤立存在，各種知識(shí)分別占用記憶單位，記憶量大，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中苦不堪言。因此，在定理教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)匾?，發(fā)現(xiàn)定理后，學(xué)生的興趣被激發(fā)，對(duì)證明、推導(dǎo)有迫切感，此時(shí)，教師要緊緊抓住這一理想狀態(tài)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮學(xué)生的主導(dǎo)作用，能由學(xué)生自己解決的推導(dǎo)過(guò)程堅(jiān)決不插手。同時(shí)，還要注意引導(dǎo)對(duì)學(xué)生推導(dǎo)進(jìn)行完善處理，注重分析推導(dǎo)方式的原因，思考有沒(méi)有別的方法，以擴(kuò)充學(xué)生的思維。學(xué)生經(jīng)過(guò)自己動(dòng)手推導(dǎo)的思考和理解，漸漸地體會(huì)到數(shù)學(xué)是一個(gè)緊密的內(nèi)部聯(lián)系的整體，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)之間非常有條理地聯(lián)系在一起，這些聯(lián)系是學(xué)習(xí)者通過(guò)努力去探索和嘗試而建立起來(lái)的，同時(shí)就建立了比較正確的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀和數(shù)學(xué)信念等。就在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及關(guān)聯(lián)有了理解，對(duì)數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用有體會(huì)時(shí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用就會(huì)產(chǎn)生興趣，并產(chǎn)生學(xué)習(xí)更新、更深知識(shí)的欲望。
2.注重靈活應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。知識(shí)的學(xué)習(xí)是為了能運(yùn)用定理公式進(jìn)行思維解決問(wèn)題，在應(yīng)用訓(xùn)練中關(guān)注兩點(diǎn)：
（1）強(qiáng)調(diào)特例和成立條件。公式定理的成立是有一定條件的，學(xué)生學(xué)習(xí)公式定理的最大弱點(diǎn)是把公式作為萬(wàn)能公式亂用亂套。因此，在教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)公式成立的條件。例如，在a+■≥2應(yīng)用中，a是有范圍限定的，如果a的取值改變，會(huì)導(dǎo)致結(jié)果改變。
一、幾何畫板的功能和特點(diǎn)
幾何畫板最先是由美國(guó)的一個(gè)公司發(fā)明的，而后被用于我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，它將數(shù)學(xué)組的點(diǎn)、線、面結(jié)合在一起，通過(guò)不同的轉(zhuǎn)換展示了一些數(shù)學(xué)公式和定理的具體規(guī)律，其用于數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的功能優(yōu)勢(shì)和特性。
1.將抽象具體化
幾何畫板的最大特點(diǎn)就是形象、生動(dòng)，能夠把課本上的數(shù)學(xué)公式和定律具體的演示出來(lái)，這樣抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更加易于理解吸收，特別是對(duì)于幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)，有很大的促進(jìn)作用，突破了傳統(tǒng)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。
2.極具動(dòng)態(tài)感覺
幾何畫板的運(yùn)用非常的靈活，點(diǎn)、線、面的結(jié)合千變?nèi)f化，可以組成很多不同的幾何圖形，動(dòng)態(tài)展示數(shù)學(xué)規(guī)律，也方便學(xué)生操作，學(xué)生可以隨意的拖動(dòng)、組合幾何圖形，通過(guò)動(dòng)手操作，提高自己的觀察能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和自主學(xué)習(xí)能力。
3.創(chuàng)造教學(xué)情景
課本上的文字圖片再豐富也不如幾何畫板來(lái)的實(shí)際、來(lái)的直接，在教學(xué)課堂上，學(xué)生不再費(fèi)盡腦子去想象圖形的空間變化模樣，可以通過(guò)實(shí)際操作直接看到圖形的變化，方便形成慣性記憶模式，總體而言，就是他能夠創(chuàng)建一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課堂，活躍課堂氣氛，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
二、幾何畫板優(yōu)化初中數(shù)學(xué)教學(xué)的案例分析
在我們的實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何畫板的的確確給初中的數(shù)學(xué)教學(xué)帶去了很多的好處，下文將進(jìn)行舉例分析，展示幾何畫板之于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，用以讓教育工作者們更好的利用其幾何畫板，不斷的創(chuàng)新教學(xué)方式，讓學(xué)生更加深刻的認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)這一門學(xué)科的科學(xué)性，推進(jìn)教育改革。
1.幾何畫板能夠充分地解釋數(shù)學(xué)定理之間的聯(lián)系
通常來(lái)講，每一個(gè)數(shù)學(xué)定律都是不同的，但有存在必然的聯(lián)系，如在八年級(jí)上期，第十二章全等三角形第二小節(jié)全等三角形的判定學(xué)習(xí)中，判定全等三角形的條件是：如果把其中一個(gè)三角形作平移、旋轉(zhuǎn)等方式，只要保持三角形的邊長(zhǎng)角度值不變化進(jìn)行變換，可以將兩個(gè)三角形完全重合在一起，我們就認(rèn)為這兩個(gè)三角形是全等的。那么在這一部分的教學(xué)當(dāng)中，采用幾何換班，通過(guò)老師的操作演示和學(xué)生的實(shí)驗(yàn)，就可以把平移概念、等邊三角形概念等多個(gè)數(shù)學(xué)概念輻射出來(lái)，找出他們之間存在的聯(lián)系，通過(guò)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，鞏固或者預(yù)習(xí)其他的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生在實(shí)際操作中認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)定律的本質(zhì)和規(guī)律。
再如，在八年級(jí)下，第十八章，第一、二小節(jié)的學(xué)習(xí)中，講的是平行四邊形的性質(zhì)和判定，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，其性質(zhì)包含：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等、平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)、平行四邊形的對(duì)角線互相平分、平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)平行四邊形的內(nèi)角和外角和相等平行四邊形包括長(zhǎng)方形、菱形、正方形和一般平行四邊形。一般平行四邊形沒(méi)有對(duì)稱軸，通過(guò)對(duì)這些性質(zhì)的具體演化，我們不難發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方形、正方形是特殊的平行四邊形，且他們的面積計(jì)算公式有著必然的聯(lián)系。平行四邊形的面積計(jì)算就是將其切合重新組合成為長(zhǎng)方形進(jìn)行面積計(jì)算你，所以他與長(zhǎng)方形的計(jì)算公式是一樣的。
2.幾何畫板能夠直接展示數(shù)學(xué)公式的科學(xué)性
數(shù)學(xué)公式是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要部分，學(xué)好數(shù)學(xué)公式有助于提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于數(shù)學(xué)公式這塊的教學(xué)基本就是死記硬背，對(duì)其具體闡釋不夠，學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)就不能有效的利用這些公式來(lái)分析問(wèn)題、解答問(wèn)題。使用幾何畫板教學(xué)后，對(duì)于數(shù)學(xué)公式的講解不再是抽象的口頭講述和平面的板書展示，可以將這些公式在幾何畫板上呈現(xiàn)出現(xiàn)，便于直觀的看到這些公式的規(guī)律以及他的科學(xué)依據(jù)，通過(guò)演示還原的公式來(lái)源，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)才能夠才更具實(shí)際意義。
案例分析：七年級(jí)下，第二十五章，教學(xué)內(nèi)容是概率初步，也就是對(duì)概率的計(jì)算。其中包含的公式有：排列公式：A（n，m）=n*（n-1）*…（n-m+1）A（n，m）=n！/（n-m）！組合公式：C（n，m）=A（n，m）/m！=n！/（m！*（n-m）！）C（n，m）=C（n，n-m）、加法概率P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）、乘法概率P（AB）=P（A）×P（B|A）=P（B）×P（A|B），讓學(xué)生單純的記憶這些公式是不可行的，有了幾何畫板以后，我們可以用幾何畫板的不同排列與組合來(lái)展示這些公式的來(lái)源以及他們的科學(xué)性，具體方式將八個(gè)白塊和4個(gè)紅塊放在一起，隨機(jī)抽書三個(gè)色塊，通過(guò)反復(fù)的抽取，來(lái)計(jì)算抽到白塊和紅塊的概率，找到其計(jì)算規(guī)律，最后得知p= C（8，3）/C（12，3）=14/15，從而就可以得知概率公式的來(lái)源，并且能夠?qū)W會(huì)在以后的學(xué)習(xí)當(dāng)中如何運(yùn)用這些規(guī)律去解決更加復(fù)雜的問(wèn)題。
三、結(jié)語(yǔ)
幾何畫板用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)是科學(xué)的、合理的，在教學(xué)中，我們要充分利用其優(yōu)勢(shì)，解決教學(xué)中的難題，把初中數(shù)學(xué)教學(xué)推到一個(gè)新的高度。
小學(xué)教育是孩子從出生以來(lái)第一次較為模糊的接觸許多科學(xué)文化知識(shí)，現(xiàn)如今的幼兒園都不會(huì)提前進(jìn)行素質(zhì)教育，所以導(dǎo)致學(xué)生在小學(xué)沒(méi)有辦法有一個(gè)大概的學(xué)習(xí)能力的框架。作為小學(xué)教師的我們?nèi)沃囟肋h(yuǎn)。
一、數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的雛形
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)其實(shí)不是簡(jiǎn)單的公式與公式的拼湊，現(xiàn)在的小學(xué)老師其實(shí)都有培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的意向，比如在教給學(xué)生學(xué)習(xí)某一個(gè)公式的時(shí)候都會(huì)選擇先將公式的由來(lái)仔細(xì)的推理一遍，讓學(xué)生懂得其中的道理，并且知道這個(gè)公式是用來(lái)解決哪一類問(wèn)題的工具，這樣學(xué)生在使用公式進(jìn)行計(jì)算題、應(yīng)用題的運(yùn)算時(shí)，能力就會(huì)略高一些，解題的效率也會(huì)變高。例如，我們都知道在小學(xué)期間學(xué)習(xí)過(guò)許多數(shù)學(xué)定理，其中三角形的內(nèi)角和為180度是我們?cè)诮鉀Q小學(xué)幾何問(wèn)題時(shí)非常重要的一個(gè)定理，然而我們需要如何用通俗易懂的方法來(lái)給小學(xué)生們證明這個(gè)定理呢？
在眾多方法中，我們選擇用一個(gè)三角形平面模型，將其三個(gè)角分別用剪刀裁剪下來(lái)，然后在事先畫好的一個(gè)水平的直線上將三個(gè)角擺好，那么就非常直觀的呈現(xiàn)出來(lái)了一個(gè)平角的形態(tài)。當(dāng)然特殊不能決定一般，但是在這個(gè)過(guò)程中我們還可以培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，讓他們隨便畫三個(gè)三角形重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)全班同學(xué)的三角形都可以拼接成一個(gè)平角，那么大家就徹底明白了“三角形的內(nèi)角和是180度”這個(gè)定理。
其實(shí)這個(gè)證明定理的過(guò)程中我們也在其中滲透了“三角形的內(nèi)角和是180度”@個(gè)定理的用途，就是用來(lái)求取已知三角形中兩個(gè)角的度數(shù)而求取第三個(gè)角的度數(shù)。所以我們?cè)谕评砉降倪^(guò)程中最好是根據(jù)其用途反推回去，讓證明的過(guò)程與應(yīng)用公式原理的過(guò)程相輔相成，最后達(dá)到一石二鳥的目的。學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)也在這個(gè)之中發(fā)展起來(lái)。
二、如何讓學(xué)生得到數(shù)學(xué)能力
數(shù)學(xué)能力聽起來(lái)是一個(gè)極為虛幻的詞匯，但是它其實(shí)也是實(shí)實(shí)在在的東西，要說(shuō)它虛幻是因?yàn)槲覀儫o(wú)從考究一個(gè)學(xué)生是否真正具備分析數(shù)學(xué)的能力，但是它實(shí)實(shí)在在的存在又是因?yàn)閿?shù)學(xué)能力體現(xiàn)的方面多種多樣，比如日常買菜時(shí)運(yùn)用到的心算口算、解答數(shù)學(xué)題時(shí)可以用已有或是已掌握的條件來(lái)推導(dǎo)未知，從而解答出來(lái)了一開始沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)難題。所以數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)不僅在生活方面也在日常的學(xué)習(xí)成績(jī)中，而現(xiàn)如今大多數(shù)學(xué)生不具備這種靈活的學(xué)習(xí)能力，而是一味機(jī)械地去套用公式，這就違背了數(shù)學(xué)這門課程開啟的原意了。所以學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)問(wèn)題亟待解決，需要教師重視起來(lái)，尋找各種方法進(jìn)行激發(fā)。
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)多數(shù)是抽象的學(xué)習(xí)，比如現(xiàn)在的中學(xué)生甚至大學(xué)生都不知道1千米的概念是多少的距離，1千克放在手里大約是多少的重量。其實(shí)這些都不失為我們教育的一種失敗，小學(xué)的教育沒(méi)有特別繁重的課程壓力，所以能力培養(yǎng)這個(gè)時(shí)候就是最為關(guān)鍵也是最佳時(shí)刻。比如在學(xué)習(xí)到這些單位的時(shí)候，老師不妨在布置數(shù)學(xué)作業(yè)的時(shí)候少布置一些練習(xí)題，而更多的是讓學(xué)生親身去感受各個(gè)單位之間的轉(zhuǎn)換，以及這些重量或是長(zhǎng)短給他們的最真切的主觀感受，并讓他們寫下對(duì)這些衡量單位的一種最真切的主觀感受。這是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)字敏感的第一步。
在對(duì)數(shù)字產(chǎn)生了一定的認(rèn)知的基礎(chǔ)上，就需要教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算能力的加強(qiáng)，這是今后計(jì)算各種數(shù)學(xué)問(wèn)題最基礎(chǔ)的知識(shí)，它關(guān)系到一張卷子做完之后所剩的時(shí)間和計(jì)算的對(duì)錯(cuò)。心算和口算的能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的入門基礎(chǔ)，這也是數(shù)學(xué)能力的一種培養(yǎng)，所以為了之后在每一次考試中都占有一定的優(yōu)勢(shì)，學(xué)生應(yīng)該具備較好的計(jì)算能力。其實(shí)計(jì)算能力并不是只為了成績(jī)而服務(wù)的，計(jì)算能力更是為了生活能力而服務(wù)的，準(zhǔn)確的說(shuō)那是一種必備的生活能力，所以滲透于生活中的數(shù)學(xué)是無(wú)處不在的。
數(shù)學(xué)公式是學(xué)生較為難以一時(shí)接受的，所以由已知推導(dǎo)未知是最好的方法，但是已知的方法數(shù)不勝數(shù)，所以在給學(xué)生布置數(shù)學(xué)練習(xí)的時(shí)候，教師不要急于要求學(xué)生具備應(yīng)用公式的能力，那樣反而會(huì)讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的模式走向僵化。我們不妨?xí)簳r(shí)放下急于求成的心理，在布置課后練習(xí)時(shí)可以指定集中的數(shù)學(xué)公式或是原理來(lái)證明或者推導(dǎo)新的數(shù)學(xué)公式或是原理，這樣學(xué)生在認(rèn)識(shí)新的數(shù)學(xué)公式或是原理的時(shí)候就變得非常容易了。
數(shù)學(xué)講求一種細(xì)心與思維能力，這種思維能力需要發(fā)揮的前提是將題目完整仔細(xì)的閱讀好，提高學(xué)生數(shù)學(xué)題目的閱讀理解能力不是語(yǔ)文老師的義務(wù)，而全在于數(shù)學(xué)老師的教學(xué)方式，許多老師在教授孩子公式理解的時(shí)候往往忽略了其實(shí)題目的閱讀是最為關(guān)鍵的，它取決于用什么樣子的公式與方法來(lái)解開這道題目。例如：不大于、不小于、不多于等這些用文字描述，但是數(shù)學(xué)含義極為深刻的文字需要老師不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)它的敏感程度。
數(shù)學(xué)能力其中滲透著數(shù)學(xué)品質(zhì)，一般擁有較高數(shù)學(xué)才能的名人大多都是沉靜對(duì)待世界，洞察力極強(qiáng)以及善于思考的人物。所以在對(duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度上我們應(yīng)該從小培養(yǎng)學(xué)生探索的精神與毅力，在對(duì)待數(shù)學(xué)困難方面一定是要沉靜思考，從多個(gè)角度變換思路，尋找題目的破綻，從而掌握真正的數(shù)學(xué)品質(zhì)。品質(zhì)是一個(gè)人的靈魂所在，是趨勢(shì)一個(gè)人行為的重要意志，數(shù)學(xué)品質(zhì)同樣是驅(qū)使我們探索數(shù)學(xué)的一個(gè)重要旗幟，所以在數(shù)學(xué)品質(zhì)的培養(yǎng)上我們必定要讓學(xué)生有一絲不茍的品質(zhì)，讓學(xué)生摒除浮躁的情緒，以認(rèn)真的態(tài)度對(duì)待數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。
1.權(quán)利要求包含數(shù)學(xué)公式的保護(hù)范圍的理解
《專利法》第五十九條第一款的規(guī)定：發(fā)明或者實(shí)用新型專利權(quán)的保護(hù)范圍以其權(quán)利要求的內(nèi)容為準(zhǔn)，說(shuō)明書及附圖可以用于解釋權(quán)利要求的內(nèi)容?！秾＠麑彶橹改稀分杏诌M(jìn)一步規(guī)定：通常情況下，在確定權(quán)利要求的保護(hù)范圍時(shí)，權(quán)利要求中的所有特征均應(yīng)當(dāng)予以考慮，而每一個(gè)特征的實(shí)際限定作用應(yīng)當(dāng)最終體現(xiàn)在該權(quán)利要求所要求保護(hù)的主題上。在此基礎(chǔ)上，筆者認(rèn)為“采用數(shù)學(xué)公式限定的技術(shù)特征最終體現(xiàn)在權(quán)利要求所要求保護(hù)的主題上”應(yīng)當(dāng)包含了兩個(gè)方面的含義：
1.1第一層含義：以數(shù)學(xué)公式限定的技術(shù)特征，其實(shí)質(zhì)上是限定了一組數(shù)值范圍。
1.2第二層含義：數(shù)學(xué)公式本身就代表著一種“數(shù)學(xué)規(guī)律”，反映到權(quán)利要求所要求保護(hù)的主題上即為“請(qǐng)求保護(hù)的產(chǎn)品/方法涉及到公式中的各個(gè)參數(shù)所必須遵循一種規(guī)律”。
2.包含數(shù)學(xué)公式的權(quán)利要求的新穎性/創(chuàng)造性的判斷
在進(jìn)行新穎性/創(chuàng)造性的判斷之前，筆者建議，應(yīng)當(dāng)首先根據(jù)權(quán)利要求中所采用的數(shù)學(xué)公式是否是“本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識(shí)”，分為以下兩種情況并分別加以考慮：
2.1數(shù)學(xué)公式是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識(shí)
如果權(quán)利要求包含的數(shù)學(xué)公式經(jīng)過(guò)判斷屬于本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識(shí)，例如果該數(shù)學(xué)公式是教科書、工具書或技術(shù)手冊(cè)等現(xiàn)有技術(shù)明確記載的或者是本領(lǐng)域的慣用手段，則只要檢索到任意一組符合該數(shù)學(xué)公式的具體數(shù)值點(diǎn)即可以認(rèn)為公開了以數(shù)學(xué)公式進(jìn)行限定的技術(shù)特征，進(jìn)而得出權(quán)利要求不具備新穎性/創(chuàng)造性的結(jié)論。之所以沒(méi)有進(jìn)一步分析該數(shù)學(xué)公式的第二層含義的原因僅僅在于“該數(shù)學(xué)公式所代表的規(guī)律早已經(jīng)是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識(shí)”。因此，不需要再判斷現(xiàn)有技術(shù)是否給出第二層含義的技術(shù)啟示。下面，筆者結(jié)合案例進(jìn)行說(shuō)明：
【案例】
權(quán)利要求：一種四聯(lián)桿傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，所述傳動(dòng)機(jī)構(gòu)由活動(dòng)絞接的四個(gè)傳動(dòng)桿組成且共同構(gòu)成四邊形傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，其中所述四邊形的對(duì)角線的距離z滿足下述公式：Z2=X2+Y2-2XYcosA，其中x代表與對(duì)角線相鄰的長(zhǎng)桿的長(zhǎng)度，Y代表與對(duì)角線相鄰的短桿的長(zhǎng)度，A代表長(zhǎng)桿和短桿之間的夾角。
同時(shí)，權(quán)利要求中還分別限定了參數(shù)X，Y，A三個(gè)參數(shù)的數(shù)值范圍。
【案例分析】
其利用兩個(gè)桿的長(zhǎng)度和兩個(gè)桿之間的夾角計(jì)算四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度所采用的數(shù)學(xué)公式，實(shí)際上就是教科書早有記載的三角形計(jì)算邊長(zhǎng)的“余弦定理”。因此，該數(shù)學(xué)公式是本領(lǐng)域技術(shù)人員所熟知的公知常識(shí)。在此前提條件下，本領(lǐng)域技術(shù)人員只需要檢索得到任意一個(gè)長(zhǎng)桿和短桿的長(zhǎng)度以及二者之間的夾角能符合該數(shù)學(xué)公式的四邊形傳動(dòng)機(jī)構(gòu)即可，而不需要進(jìn)一步分析該數(shù)學(xué)公式的第二層含義是否已經(jīng)被現(xiàn)有技術(shù)公開。
2.2數(shù)學(xué)公式并非是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識(shí)，如果權(quán)利要求包含的數(shù)學(xué)公式并非是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識(shí)，則現(xiàn)有技術(shù)不僅應(yīng)當(dāng)能證明公開了上述第一層含義，還應(yīng)當(dāng)同樣能夠證明其公開了上述第二層含義或者能證明其給出了相關(guān)技術(shù)啟示，不能僅僅根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)具體數(shù)值點(diǎn)就認(rèn)定公開了該數(shù)學(xué)公式進(jìn)而否定其新穎性/創(chuàng)造性。下面，筆者還是結(jié)合案例并進(jìn)行一些改進(jìn)后再加以分析說(shuō)明：
【案例】
權(quán)利要求：一種四聯(lián)桿傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)由活動(dòng)絞接的四個(gè)傳動(dòng)桿組成且共同構(gòu)成四邊形傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，其中構(gòu)成四邊形的兩個(gè)相鄰桿之間長(zhǎng)度滿足下述公式：X=aY+b，其中X，Y各自代表?xiàng)U的長(zhǎng)度，a，b為常數(shù)。
【案例分析】
四邊形傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中各個(gè)桿之間的長(zhǎng)度關(guān)系需要滿足的上述公式并不是本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知常識(shí)。在此基礎(chǔ)上，如何判斷該權(quán)利要求的新穎性/創(chuàng)造性，建議可從以下幾個(gè)方面考慮
2.2.1如果某一份現(xiàn)有技術(shù)中明確公開了上述數(shù)學(xué)公式，且其公開的桿的長(zhǎng)度也滿足落入權(quán)利要求的數(shù)值范圍或部分重疊等條件，則可得出權(quán)利要求不具備新穎性/創(chuàng)造性的結(jié)論。
然而，實(shí)際情況中，本領(lǐng)域技術(shù)人員能夠獲得明確公開了上述數(shù)學(xué)公式的現(xiàn)有技術(shù)的可能性很小，所以這種理想情況并不多見。
2.2.2如果某份現(xiàn)有技術(shù)中明確公開了多組完全吻合該公式的具體的數(shù)值點(diǎn)，并且對(duì)于本領(lǐng)域技術(shù)人員來(lái)說(shuō)，根據(jù)現(xiàn)有技術(shù)中公開的該多組具體的數(shù)值點(diǎn)，即可以很容易地推導(dǎo)得出上述公式，則可以認(rèn)為該權(quán)利要求相對(duì)于現(xiàn)有技術(shù)不具備創(chuàng)造性。然而，實(shí)際情況中，現(xiàn)有技術(shù)要“分毫不差”地公開完全吻合上述數(shù)學(xué)公式的具體的數(shù)值點(diǎn)，并且一個(gè)重要的前提條件還需要給出足夠多的點(diǎn)，該可能性也很小。
2.2.3如果某份現(xiàn)有技術(shù)中明確公開的多組具體的數(shù)值點(diǎn)并不完全吻合上述數(shù)學(xué)公式，但每一組具體數(shù)值點(diǎn)都無(wú)限逼近上述數(shù)學(xué)公式，則也應(yīng)視為與上述第（2）情況相同的情形處理。
2注重全面實(shí)施科學(xué)授課模式、先進(jìn)的教學(xué)方法和教學(xué)手段
作為培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的高校教師應(yīng)注重學(xué)生各種能力的培養(yǎng)，積極探索更科學(xué)、更合理的教學(xué)和素質(zhì)教育的思路和途徑，以適應(yīng)學(xué)生的不同需求。解決此問(wèn)題的最好方法是把啟發(fā)式教學(xué)、研究式教學(xué)、提問(wèn)式和討論式教學(xué)及理論與實(shí)踐結(jié)合的教學(xué)方法靈活運(yùn)用于每堂課中，取長(zhǎng)補(bǔ)短，擯棄填鴨式、照本宣科式的被動(dòng)教學(xué)模式。
此外，任課教師要鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)發(fā)問(wèn)、質(zhì)疑和主動(dòng)回答問(wèn)題。啟發(fā)式教學(xué)能讓學(xué)生參與到教學(xué)過(guò)程中來(lái)，主動(dòng)思考問(wèn)題；研究性教法鼓勵(lì)、引導(dǎo)和鞭策學(xué)生自學(xué)，提高學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，為日后做研究奠下基礎(chǔ)。不妨把討論式教法放在“例題解析”、“評(píng)定定理”等論方面。在課堂上，我注重問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)，力求為學(xué)生提供氛圍，讓他們?cè)趯?shí)踐活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，著手解決問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考并成為學(xué)習(xí)的主人，教師成為學(xué)生的”協(xié)作者”。
數(shù)學(xué)理論的研究源于客觀實(shí)際，反過(guò)來(lái)，通過(guò)數(shù)學(xué)應(yīng)能解決或解釋實(shí)際問(wèn)題。教師應(yīng)著重重視理論與實(shí)踐相結(jié)合的方法在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》學(xué)科中得到充分的反映和展示。結(jié)合實(shí)例講解概率論對(duì)生活現(xiàn)象的解釋，假設(shè)檢驗(yàn)在生產(chǎn)實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用，數(shù)學(xué)軟件在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用，讓他們更深刻地意識(shí)到該門課程不是一門孤立的課程，而是與許多學(xué)科都有著緊密的聯(lián)系，意識(shí)到這門課程的重要性。
3為學(xué)生們精心設(shè)計(jì)和實(shí)行學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)方式
在學(xué)習(xí)該門課程時(shí)，應(yīng)注意與其他學(xué)科的差異。我們應(yīng)按照該課程自身的特點(diǎn)找到正確的學(xué)習(xí)方法，結(jié)合適量的聯(lián)系，能取得“事半功倍”的效果。下面筆者結(jié)合例子，提出幾點(diǎn)建議。
3．1數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法
對(duì)于數(shù)學(xué)概念，仔細(xì)推敲引入的概念間的內(nèi)涵和相互間的聯(lián)系我建議通過(guò)以下就幾個(gè)方面來(lái)學(xué)習(xí)：①記住概念要求的幾個(gè)條件；②背誦定義，掌握特性；③與其它概念進(jìn)行比較，弄清概念間的關(guān)系。案例1如何理解隨機(jī)變量的涵義？分析：（指出理論與實(shí)踐的關(guān)系）不妨按照“提出問(wèn)題，指出研究的必要性———建立概念———分析主要性質(zhì)———理論與方法的應(yīng)用———理論進(jìn)一步發(fā)展”幾個(gè)步驟來(lái)指出為何會(huì)有這個(gè)概念。進(jìn)一步說(shuō)明引入隨機(jī)變量主要意義：將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，建立了連接隨機(jī)現(xiàn)象和實(shí)數(shù)空間的一座橋梁，自然而然地講解隨機(jī)變量的定義。案例2如何理解隨機(jī)變量的相關(guān)性？分析：任一概念都有內(nèi)涵和外延兩個(gè)特征。對(duì)相關(guān)性的理解也應(yīng)按照案例1中的五個(gè)步驟來(lái)掌握，在理解這個(gè)概念的基礎(chǔ)上，應(yīng)該還要搞懂與之相關(guān)概念比如獨(dú)立性，隨機(jī)事件的相容性等的聯(lián)系與差異。這樣不至于認(rèn)為概率論的知識(shí)之間毫無(wú)聯(lián)系。
3．2數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)方法
好記性不如爛筆頭。對(duì)于數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)，不防多寫幾遍，仔細(xì)推敲公式中字母的涵義，理解變量間的關(guān)系，在公式具體化過(guò)程中體會(huì)公式中反映的規(guī)律和技巧，了解它的各種等價(jià)變換。案例3二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，邊緣分布函數(shù)為分析：對(duì)于此公式的學(xué)習(xí)，首先要弄清楚聯(lián)合分布與邊緣分布的定義，聯(lián)合分布表征兩個(gè)一維隨機(jī)變量?jī)?nèi)部的變化規(guī)律，而邊緣分布是描述各個(gè)變量自身的變化特征。其次，結(jié)合分布函數(shù)的定義導(dǎo)出兩者之間的關(guān)系，仔細(xì)推敲變量的具體涵義。
3．3數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)方法
至于定理，不妨背誦定理，自己給定理起個(gè)名稱，分清定理的條件和結(jié)論，哪些情況下用到哪個(gè)定理解題？它揭示的關(guān)系是什么？體會(huì)定理與逆否定理、逆命題的聯(lián)系。若定理包含公式，如中心極限定理定理、全概率定理等等，對(duì)于它們的學(xué)習(xí)還應(yīng)該同公式的學(xué)習(xí)方法結(jié)合起來(lái)進(jìn)行。
一、揭示數(shù)學(xué)定理的概念，
使學(xué)生產(chǎn)生規(guī)則意識(shí)
小學(xué)數(shù)學(xué)涉及很多定義和定理，教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)充分揭示各數(shù)學(xué)定義或定理的內(nèi)涵，使學(xué)生能夠?qū)ζ溆斜容^深入的了解，只有深入了解這些知識(shí)，學(xué)生才有可能靈活運(yùn)用它們，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生規(guī)則意識(shí)的目的。比如，在教學(xué)六年級(jí)下冊(cè)“冰激凌盒有多大――圓柱和圓錐”時(shí)，教師可以先給學(xué)生每人發(fā)一張相同大小的白紙，然后讓學(xué)生思考怎么用這張紙來(lái)圍成圓柱體，才能使圓柱體的體積最大。很多學(xué)生在剛開始時(shí)都會(huì)認(rèn)為紙張是一樣大的，不論怎么圍，體積都是一定的。這時(shí)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，嘗試用不同邊長(zhǎng)作為圓柱體的底面周長(zhǎng)，然后讓學(xué)生利用同一公式計(jì)算不同方法下的圓柱體體積。學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)把紙張的長(zhǎng)和寬分別作為圓柱體的底面周長(zhǎng)所得出的體積是不一樣的。然后教師讓學(xué)生分析總結(jié)這兩種方法得出的體積比例與紙張長(zhǎng)和寬的比例具有什么樣的關(guān)系，最后再由教師進(jìn)行驗(yàn)證和評(píng)價(jià)，揭示這些定理的概念和特性。這樣不但使學(xué)生能夠更好地學(xué)會(huì)知識(shí)，還能使他們靈活利用規(guī)則。這說(shuō)明，通過(guò)深入分析數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)規(guī)律，可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到生活中處處有數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)是有規(guī)律可循的，使學(xué)生意識(shí)到規(guī)則的存在并靈活運(yùn)用規(guī)則。
二、探討數(shù)學(xué)定理的來(lái)源，
培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新規(guī)則的意識(shí)
教師可以充分利用小學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的規(guī)則創(chuàng)新意識(shí)。例如教師可以與學(xué)生一起探究數(shù)學(xué)公式和定理的形成，讓學(xué)生自己摸索定理為什么是這樣子的，而不是其他形式，從而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新規(guī)則的意識(shí)。如三年級(jí)下冊(cè)“對(duì)稱”一課，教師可以給學(xué)生介紹生活中比較常見的具有對(duì)稱性質(zhì)的事物，如蝴蝶、樹葉等，然后讓學(xué)生自己想象生活中還有哪些東西具有相似特點(diǎn)，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望。教師給學(xué)生提供一些只有一半的圖片，向?qū)W生提問(wèn)：“如果這些圖片的另一半與已經(jīng)畫出來(lái)的這一半相同，你覺得這些圖片畫的是什么？”然后問(wèn)學(xué)生是怎樣判斷得出完整形狀的，有什么規(guī)律，并逐步引入對(duì)稱軸的概念。接著，教師可以給學(xué)生提供一些學(xué)生比較熟悉的圖形，如三角形、多邊形、平行四邊形以及梯形等，請(qǐng)學(xué)生自主判斷這些圖形是否滿足軸對(duì)稱的條件，并讓學(xué)生自己畫出對(duì)稱軸，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。最后小組討論和總結(jié)規(guī)律，教師再進(jìn)行評(píng)價(jià)。通過(guò)這樣的教學(xué)方式，學(xué)生自己探索數(shù)學(xué)公式或定理的形成原因，不斷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，利用規(guī)律來(lái)創(chuàng)新規(guī)則。
三、規(guī)范數(shù)學(xué)教學(xué)要求，
增強(qiáng)學(xué)生的規(guī)則意識(shí)
小學(xué)生還沒(méi)有非常明確的辨別能力，缺乏有效的規(guī)則意識(shí)。將規(guī)則意識(shí)融入數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅可以提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，還可以增強(qiáng)學(xué)生遵守規(guī)則的意識(shí)。所以，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)要求學(xué)生嚴(yán)格按照定義或定理來(lái)做題，做到每一步都要有定理或法則作為依據(jù)，使學(xué)生養(yǎng)成遵守規(guī)則的習(xí)慣，并告訴學(xué)生不遵守規(guī)則可能會(huì)出現(xiàn)什么樣的后果，使其認(rèn)識(shí)到規(guī)則的重要性[2]。例如三年級(jí)上冊(cè)“美化校園――圓形的周長(zhǎng)”一課，教師可以給學(xué)生畫出一些不同半徑的圓形，并在每個(gè)圓形下面寫出一些錯(cuò)誤的圓周長(zhǎng)計(jì)算過(guò)程和結(jié)果（如沒(méi)有按照?qǐng)A周長(zhǎng)的計(jì)算公式“C=2πr”計(jì)算導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤），然后讓學(xué)生回答這些計(jì)算過(guò)程是否正確，并說(shuō)出錯(cuò)誤的原因。通過(guò)這種有意識(shí)設(shè)計(jì)的例題，讓學(xué)生更好地了解不遵守規(guī)則可能會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果，同時(shí)還可以向?qū)W生適當(dāng)滲透應(yīng)遵守學(xué)校規(guī)章制度的思想教育。
教師應(yīng)注重課堂教學(xué)的規(guī)范性，規(guī)范數(shù)學(xué)教學(xué)要求，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠模仿教師規(guī)范的解題方式，養(yǎng)成良好的規(guī)則意識(shí)，使學(xué)生更好地掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。教師可以根據(jù)學(xué)生平時(shí)的學(xué)習(xí)情況，充分考慮課堂教學(xué)的特點(diǎn)，合理制定規(guī)則，使全體學(xué)生都能參與到數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，提高課堂教學(xué)的效率。如果學(xué)生沒(méi)有按照教師所制定的規(guī)則來(lái)完成任務(wù)，教師也不能過(guò)度批評(píng)，應(yīng)適當(dāng)給予指導(dǎo)，幫助學(xué)生找到原因，并引導(dǎo)學(xué)生反思和總結(jié)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力[3]。例如三年級(jí)上冊(cè)“奇妙的變化――分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”一課，教師應(yīng)按照所制定教學(xué)規(guī)則的要求講解，不僅僅需要口頭講解，還要適當(dāng)采用其他方式吸引學(xué)生注意力，比如繪圖、分?jǐn)?shù)接龍比賽等，使學(xué)生更容易理解分?jǐn)?shù)的概念和特點(diǎn)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，并強(qiáng)化學(xué)生的規(guī)則意識(shí)。
四、數(shù)學(xué)課堂“手勢(shì)化”，
培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用規(guī)則的意識(shí)
小學(xué)生能夠集中注意力的時(shí)間較短，所以教師可以靈活運(yùn)用一些課堂用語(yǔ)，制定一些數(shù)學(xué)手勢(shì)指令。在課堂教學(xué)中使用這些手勢(shì)指令，不僅可以增加課堂容量，使課堂節(jié)奏變得更為緊湊，還可以使學(xué)生養(yǎng)成良好的規(guī)則習(xí)慣。教師頻繁使用手勢(shì)指令，久而久之，學(xué)生可以不需要各種規(guī)則的提示就能完成指示或任務(wù)，也培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用規(guī)則的意識(shí)。
總之，習(xí)慣成自然，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的規(guī)則意識(shí)，通過(guò)數(shù)學(xué)公式和定理的探討、揭示以及應(yīng)用等方式，培養(yǎng)學(xué)生遵守規(guī)則、應(yīng)用規(guī)則的意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。
參考文獻(xiàn)
