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篇1

【中圖分類號】O13-4

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生、發(fā)展歷史的學(xué)科，它是數(shù)學(xué)的一個分支，又是科W史的一個分支，它是數(shù)學(xué)和歷史的交叉學(xué)科，涉及社會學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、哲學(xué)以及自然科學(xué)等。它以數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程與規(guī)律為研究對象，追溯數(shù)學(xué)的淵源、進(jìn)展，并在一定程度上可以預(yù)見到數(shù)學(xué)的未來。透過數(shù)學(xué)史，可以認(rèn)真探索先人的數(shù)學(xué)思想，而這往往比掌握單純的數(shù)學(xué)結(jié)論更為重要，更有意義。

一、數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教學(xué)的意義和作用

1. 活躍課堂教學(xué)氣氛，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

我們在學(xué)習(xí)新的內(nèi)容時(shí)，學(xué)生往往會問，為什么要學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，它是如何產(chǎn)生的。老師若能夠積極引導(dǎo)這種好奇心，對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有著重要意義，避免學(xué)生單純地把學(xué)習(xí)變成任務(wù)來完成。因此，在教學(xué)中，適當(dāng)?shù)卮┎鍞?shù)學(xué)史的知識來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是行之有效的手段?？梢愿鶕?jù)課題內(nèi)容，適當(dāng)插入一些簡短的歷史知識就可能引起學(xué)生的注意。激起他們的興趣，喚起他們學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造性。

2. 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神

古人說“讀史可以明智”，“智”的意思是啟迪，開發(fā)智力。數(shù)學(xué)是人類理性文明高度發(fā)展的結(jié)晶，體現(xiàn)出巨大的創(chuàng)造力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，講歷史能增進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的生動性和趣味性，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，這已為所有數(shù)學(xué)教師所認(rèn)同和重視。數(shù)學(xué)史上三次危機(jī)的產(chǎn)生與解決，無不體現(xiàn)了一代一代數(shù)學(xué)家敢于運(yùn)用創(chuàng)造性思維掙脫舊框框的束縛，為追求真理而不斷探索的精神。數(shù)學(xué)史中包含大量的創(chuàng)造性思維形成和發(fā)展的案例且內(nèi)容與數(shù)學(xué)教材密切聯(lián)系。所以需要教師認(rèn)真設(shè)計(jì)，穿插在教學(xué)中，不僅能使教材內(nèi)容更加生動，而且也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的好方法。

3. 數(shù)學(xué)史有利于學(xué)生了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值

數(shù)學(xué)作為人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)反映數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史和以后的發(fā)展趨勢；數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用；以及數(shù)學(xué)的社會需求；社會發(fā)展對數(shù)學(xué)自身的促進(jìn)作用；數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系在人類文明史中的地位和作用。所以，數(shù)學(xué)史的介紹和學(xué)習(xí)擔(dān)當(dāng)著不可替代的角色。一般來說，學(xué)生對數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中的應(yīng)用具有一定的認(rèn)識和了解，而對數(shù)學(xué)在人文社會科學(xué)中的作用認(rèn)識相對不足，數(shù)學(xué)史可在這方面提供大量事例。如數(shù)理語言學(xué)、數(shù)理戰(zhàn)術(shù)學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的建立等等，都反映了數(shù)學(xué)科學(xué)的人文價(jià)值，通過這些數(shù)學(xué)史的介紹，能夠幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，樹立正確的數(shù)學(xué)觀，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和人文價(jià)值。

4. 數(shù)學(xué)史教育有利于提高學(xué)生的綜合文化素質(zhì)

隨著社會信息化和高科技發(fā)展的步伐日益加快，新的世紀(jì)的競爭是人才的競爭，而人才水平的高低在很大程度上取決于其綜合文化素質(zhì)的水準(zhǔn)。這就要求文理滲透，多學(xué)科交叉與兼容，數(shù)學(xué)史教育正好能夠起到很好的橋梁作用。首先，數(shù)學(xué)史是一門綜合學(xué)科，它以數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和數(shù)學(xué)理論的形成發(fā)展為主線，涵蓋了自然科學(xué)、人類思想、社會歷史、天文歷法、地理經(jīng)濟(jì)、哲學(xué)政治、文學(xué)藝術(shù)、宗教習(xí)俗乃至法律和軍事等方方面面。再者，數(shù)學(xué)史能把數(shù)學(xué)教育的求真跟人文教育的求美有機(jī)地結(jié)合起來，大幅度地提升學(xué)生的精神境界。例如，我國魏晉時(shí)代劉徽為求球體積設(shè)想的牟合方蓋，南宋數(shù)學(xué)家楊輝撰續(xù)古摘奇算法將三階縱橫圖逐階擴(kuò)廣到十階的縱橫圖式等顯示出我國古典數(shù)學(xué)的外層次的形態(tài)美。

數(shù)學(xué)的發(fā)展，與哲學(xué)的關(guān)系也非常密切。古今中外，許多數(shù)學(xué)家也是大哲學(xué)家，如古希臘數(shù)學(xué)家柏拉圖，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家羅素等都是通曉數(shù)學(xué)與哲學(xué)的大家。而且數(shù)學(xué)史中有很多東西都具有很強(qiáng)的哲學(xué)思想，通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，能使學(xué)生受到深刻的哲理教育。

5.有利于學(xué)生樹立科學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)良好的科學(xué)精神

奉獻(xiàn)、懷疑、創(chuàng)新、求實(shí)、對美的追求等等，這些都是科學(xué)精神。但不能把這些當(dāng)成教條，我們必須得通過具體的事實(shí)、生動的材料，讓學(xué)生體會什么是科學(xué)精神，怎樣培養(yǎng)科學(xué)精神。而數(shù)學(xué)史在這方面可以發(fā)揮很好的作用。

二、如何把數(shù)學(xué)史融于高數(shù)課堂教學(xué)

數(shù)學(xué)史的應(yīng)用，必須始終緊扣教學(xué)內(nèi)容，通過對數(shù)學(xué)史的描繪和論述，使其有機(jī)地滲透到知識的載體中，使學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維的方法，并使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的優(yōu)越性，以豐富學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展的知識，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

1. 穿插相關(guān)的數(shù)學(xué)故事，借以發(fā)揮激勵和榜樣作用

數(shù)學(xué)家的品德修養(yǎng)、高尚的情操和追求真理時(shí)所表現(xiàn)的奉獻(xiàn)精神；在數(shù)學(xué)研究中的甘苦勞動與科學(xué)精神；數(shù)學(xué)家的成長與發(fā)展道路等，所有這些給人的啟迪與教育，甚至超過了數(shù)學(xué)知識本身。數(shù)學(xué)作為一種在艱難困苦中探索未知的事業(yè)，需要的是獻(xiàn)身精神和非世俗的幸福觀。所以，科學(xué)上的后來者不僅要用前人創(chuàng)造的知識豐富自己，還要用先輩的精神武裝自己。

例如在講到麥克勞林公式時(shí)，可以順勢引入主人公的身歷，麥克勞林這位著名的數(shù)學(xué)家一生是很傳奇的，他11歲考上大學(xué)，15歲取得碩士學(xué)位，19歲主持馬里沙學(xué)院數(shù)學(xué)系。他一生中第一本重要著作在他21歲時(shí)發(fā)表，27歲時(shí)，他成為了愛丁堡大學(xué)數(shù)學(xué)教授的助理。很多老師在講到歐拉方程時(shí)會講到歐拉的故事，講這個故事可以啟發(fā)學(xué)生思維，讓學(xué)生感觸良深，從而激勵自己努力學(xué)習(xí)。歐拉是歷史上寫論文最多的數(shù)學(xué)家，但在他28歲時(shí)噩運(yùn)降臨在他身上：一只眼睛失明；在56歲那一年，歐拉雙目失明，妻子逝世，這樣的雙重打擊并沒有減少他對數(shù)學(xué)的熱忱，他依然在奮斗。通過口述，他兒子記錄的形式計(jì)算，他堅(jiān)持了20年直到最后一刻。

2. 揭示數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折歷程，培養(yǎng)探索精神

深刻領(lǐng)會導(dǎo)致科學(xué)家發(fā)現(xiàn)科學(xué)生長點(diǎn)的各類創(chuàng)造性的理性表現(xiàn)，對增強(qiáng)學(xué)生科學(xué)發(fā)現(xiàn)的思想素質(zhì)具有重要的意義。在介紹牛頓一萊布尼茨公式時(shí)，可以講述牛頓和萊布尼茨的追隨者之間的爭論。雙方對于微積分發(fā)明的優(yōu)先權(quán)問題進(jìn)行了激烈爭論，導(dǎo)致英國與歐洲大陸國家在數(shù)學(xué)發(fā)展上意見分歧，時(shí)間長達(dá)上百年。優(yōu)先權(quán)的爭論阻礙了數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程，這無疑是科學(xué)史上的不幸。

數(shù)學(xué)的教學(xué)，不能局限于演示現(xiàn)成的結(jié)果，必須既給學(xué)生指出創(chuàng)造性探索的困難，也指出克服科學(xué)中這些困難的途徑，使學(xué)生置身于現(xiàn)實(shí)問題的面前。所有@些，都將是對于學(xué)生們能獨(dú)立工作和創(chuàng)造性探索的促進(jìn)。

3 .課堂滲透歷史發(fā)展的思想方法，強(qiáng)化數(shù)學(xué)素質(zhì)教育

比如初學(xué)高等數(shù)學(xué)時(shí)，大部分同學(xué)會對極限，連續(xù)等概念不是很理解，甚至覺得有些“多此一舉”，因?yàn)楹苤庇^的概念，卻要用枯燥的“ε-δ”語言等來定義。這時(shí)，通過滲透數(shù)學(xué)史解釋其嚴(yán)格定義的重要性是很好的方法。18 世紀(jì)，微分法和積分法在生產(chǎn)和實(shí)踐上都有了廣泛而成功的應(yīng)用，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。但1734年，英國哲學(xué)家、大主教貝克萊將矛頭指向微積分的基礎(chǔ)―無窮小的問題，他發(fā)表了《分析學(xué)家或者向一個不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言》，提出了所謂貝克萊悖論。其中對牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)“他認(rèn)為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去”的做法提出了質(zhì)疑，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。直到19世紀(jì)20年代，微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)才得到一些數(shù)學(xué)家的關(guān)注，在經(jīng)歷了半個多世紀(jì)，矛盾基本上解決了，而且為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

通過對數(shù)學(xué)家特有的思想方法的考察可以使我們對數(shù)學(xué)有更進(jìn)一步的了解；了解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)問題及求解的來龍去脈，而不至于在抽象神奇的外表之下，感到神秘莫測了。通過揭示數(shù)學(xué)思想從孕育、發(fā)生、發(fā)展、飛躍到轉(zhuǎn)化為科學(xué)理論的全過程，可以從中吸取帶有普遍意義的認(rèn)識論和方法論的營養(yǎng)。

大多數(shù)學(xué)生對數(shù)學(xué)存在畏懼心理，歸其原因，一般有兩個：數(shù)學(xué)很抽象，邏輯很嚴(yán)密；公式的記憶和習(xí)題練習(xí)使學(xué)生覺得數(shù)學(xué)枯燥無味。數(shù)學(xué)史則是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的一個很好的載體。高等數(shù)學(xué)課程中融入數(shù)學(xué)史需要注意的兩點(diǎn)：（1）結(jié)合課程，以史為線。數(shù)學(xué)史可以作為講課的線索，但不必去重復(fù)數(shù)學(xué)史。我們需要的是少走彎路，更重要的是當(dāng)課堂結(jié)束后，學(xué)生不僅要有該門學(xué)科的歷史認(rèn)識，也要掌握該課的要點(diǎn)。（2）史不宜繁，點(diǎn)到為止。不可大篇幅講述數(shù)學(xué)史，偏離了教學(xué)重點(diǎn)，把學(xué)生思維帶到歷史研究上去，而是要把數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)內(nèi)容巧妙結(jié)合，而史料應(yīng)簡明扼要。

總而言之，要想把數(shù)學(xué)教育做好，就必須和數(shù)學(xué)史結(jié)合。只有深入到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中去，找到數(shù)學(xué)史中數(shù)學(xué)思想方法發(fā)展和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中認(rèn)識變化的接合點(diǎn)，才能真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值。

篇2

極限是高等數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)作用的概念，在某程度上可以說高等數(shù)學(xué)的整個體系都建立在這一概念的基礎(chǔ)之上. 而極限思想則是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。極限思想作為一種數(shù)學(xué)思想，從其遠(yuǎn)古的思想萌芽，發(fā)展到現(xiàn)在完整的極限理論，其發(fā)展道路上布滿了歷代數(shù)學(xué)家們的嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)、孜孜以求的奮斗足跡。也是數(shù)千年來人類認(rèn)識世界和改造世界的過程中的一個側(cè)面反應(yīng)，亦是人類追求真理、追求理想、創(chuàng)新求實(shí)的生動寫照。極限思想的產(chǎn)生與完善是社會實(shí)踐的需要，它的產(chǎn)生為數(shù)學(xué)的發(fā)展增加了新的動力，成為了近代數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。

極限思想是微積分學(xué)的基本思想，數(shù)學(xué)中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都需要借助于極限來加以定義。 微積分則是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，要學(xué)好微積分，就應(yīng)該了解極限思想，學(xué)會用極限思想來理解這些概念，進(jìn)而把微積分學(xué)知識應(yīng)用于日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，體會數(shù)學(xué)源于生產(chǎn)實(shí)踐，服務(wù)于生產(chǎn)實(shí)踐的事實(shí)。但是，極限思想較為晦澀，一向被視為是一難于理解的數(shù)學(xué)概念，若在教學(xué)中，加入一些涉及極限思想的故事及發(fā)展歷程，則會有利于學(xué)生了解極限思想與微積分學(xué)之間的關(guān)系，從而加深對其概念的理解。

極限思想的發(fā)展，總數(shù)起來可認(rèn)為有三個階段：

階段一，小荷才露尖尖角，樸素極限思想的出現(xiàn)。與所有的科學(xué)思想方法相同，極限思想同樣是社會生產(chǎn)實(shí)踐的產(chǎn)物。追溯到古代，戰(zhàn)國時(shí)莊子與其弟子所著的《莊子》一書中的《莊子·天下篇》中，提到：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭?！?即：若取一根一尺長的棍子，第一天截去一半，第二天截去剩下的一半，此后每天都截取剩余的一半，如此永遠(yuǎn)也不能取盡。此說法認(rèn)為物質(zhì)是可以無限分割的，其中蘊(yùn)含了樸實(shí)的極限思想，具有很高的學(xué)術(shù)價(jià)值，但卻偏重于哲學(xué)的角度，與數(shù)學(xué)的聯(lián)系還沒有建立。而三世紀(jì)的劉徽的 “割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，公元五世紀(jì)祖沖之計(jì)算圓周率的方法、公元前五世紀(jì)希臘學(xué)者德漠克利特為解決不可公度問題創(chuàng)立的“原子論”、公元前三世紀(jì)古希臘詭辯學(xué)家安提豐在求圓面積過程中提出的“窮竭法”等等問題中，在蘊(yùn)含了最原始的樸素的極限思想的同時(shí)，開始從數(shù)學(xué)角度思考問題。

16世紀(jì)時(shí)，荷蘭的數(shù)學(xué)家斯泰文在三角形重心的研究中，改進(jìn)了由歐道克斯提出的“窮竭法”，借助幾何圖形的直觀性，利用極限思想考慮問題，并在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個實(shí)用概念的方向”，但卻沒有脫離當(dāng)時(shí)的社會實(shí)際。

階段二，極限思想在數(shù)學(xué)上的正式提出，改善和發(fā)展階段。極限思想的進(jìn)一步發(fā)展與微積分的建立緊密相聯(lián)。16世紀(jì)的歐洲，資本主義正處于萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展。隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中出現(xiàn)了大量的問題，只用初等數(shù)學(xué)的方法根本無法解決，例如描述和研究變速直線的過程、曲邊梯形的面積等等。這些問題的解決需要數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，這些是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積分的社會背景。

當(dāng)牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分時(shí)，遇到了邏輯困難。牛頓在描述作變速運(yùn)動的物體在某一時(shí)刻t時(shí)的瞬時(shí)速率時(shí)，用路程的改變量S與時(shí)間的改變量Δt的比值ΔS/Δt表示運(yùn)動物體的平均速度，當(dāng)Δt無限趨近于零，該比值無限趨近于一與Δt無關(guān)的常數(shù)，該常數(shù)即物體在時(shí)刻t時(shí)的瞬時(shí)速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)的基本理論。在敘述瞬時(shí)速率時(shí)，他已意識到了極限概念的重要性，也想以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)，初步提出了極限的直觀性定義：“如果當(dāng)n 無限增大時(shí)，如果an無限接近于常數(shù)A，那么就說an以A為極限。”但牛頓給出的極限觀念與荷蘭斯泰文同樣也是建立在幾何直觀上的，這種直觀的定性解釋并沒有給出極限的嚴(yán)格表述，也沒有解決當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)危機(jī)，因此在此基礎(chǔ)上，同時(shí)代及后起許多數(shù)學(xué)家對極限的概念進(jìn)行了完善。

也是因?yàn)楫?dāng)時(shí)缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才會在那個時(shí)代受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時(shí)速度概念的描述中，究竟Δt是否等于零？而如果說是零，零是不能做分母的，怎么能用它去作除法呢？但是若Δt不是零，卻又不能把包含著Δt的項(xiàng)去掉。這就是數(shù)學(xué)史上所說的無窮小悖論。在攻擊微積分學(xué)的大家中，英國哲學(xué)家、大主教貝克萊的攻擊最為激烈，他認(rèn)為微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”。

貝克萊激烈攻擊微積分的原因有兩個，首先他要為宗教服務(wù)，其次也是因?yàn)楫?dāng)時(shí)的微積分缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，即使牛頓自己也無法清楚地解釋極限概念中的混亂。事實(shí)證明，嚴(yán)格極限的概念，建立嚴(yán)格的微積分理論基礎(chǔ)，既是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需求，也有認(rèn)識論上的重大意義。

階段三，極限概念的定量化和數(shù)學(xué)符號表達(dá)階段。這階段主要指由柯西精確定義，維爾斯特拉斯用符號精確表達(dá)極限的階段。

19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西在他的著作《分析教程》中指出：“當(dāng)一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當(dāng)一個變量的數(shù)值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為無窮小”。盡管這個定義是建筑在前人工作的基礎(chǔ)上，但還是相對完整地闡述了極限概念及其理論。但是這個定義仍然欠粗糙，說用語句中的“無限接近”、“要多小就有多小”等都只能給人一種模糊的直覺，并沒有徹底擺脫殘存在頭腦中的幾何直觀印象。

19世紀(jì)后半葉，德國的維爾特拉斯則提出了關(guān)于極限的純算數(shù)定義，并給出了沿用至今所用的極限的符號。

極限的定義經(jīng)過幾代人的不斷完善、嚴(yán)格，最終解決了微積分理論發(fā)展期所面臨的強(qiáng)大邏輯質(zhì)疑，給微積分學(xué)提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。也正是如此，數(shù)學(xué)由常量數(shù)學(xué)正式進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時(shí)代，極限的數(shù)學(xué)定義，沿用至今，成了微積分發(fā)展的重要里程碑。

極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)甚至經(jīng)濟(jì)學(xué)、建筑學(xué)等學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用，這也是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。極限又是微積分的基本概念，是微積分學(xué)的直接基礎(chǔ)，也是微積分學(xué)區(qū)別于常量數(shù)學(xué)的重要工具，二者是相輔相成、密不可分的。極限思想擴(kuò)展了數(shù)學(xué)能夠分析研究的范圍，促進(jìn)了微積分的發(fā)展和完善，而微積分學(xué)在各個學(xué)科中的應(yīng)用也是源于極限思想這個堅(jiān)實(shí)理論基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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篇3

    隨著中國正式加入世貿(mào)組織，我國的市場將全面開放，我國的經(jīng)濟(jì)將真正進(jìn)入世界經(jīng)濟(jì)的大循環(huán)。高等中醫(yī)藥教育和其他行業(yè)一樣，將面對加入wto后政策的調(diào)整和變化，需要迎接新的挑戰(zhàn)。我國的高等中醫(yī)教育經(jīng)過了幾十年的風(fēng)雨，發(fā)展到今天，取得了舉世矚目的成績。進(jìn)入21世紀(jì)，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)，經(jīng)濟(jì)全球化趨勢勢不可擋。在這種背景下，高等中醫(yī)教育如何與時(shí)俱進(jìn)，如何培養(yǎng)適應(yīng)社會需求的高素質(zhì)中醫(yī)人才，中醫(yī)學(xué)科如何進(jìn)一步發(fā)展和創(chuàng)新，是值得深入探討的問題。 

    1加強(qiáng)思想教育.樹立對中醫(yī)的信心和正確的中醫(yī)科學(xué)觀 

    目前中醫(yī)發(fā)展的政策導(dǎo)向是強(qiáng)調(diào)用現(xiàn)代科學(xué)方法研究中醫(yī)，實(shí)際上是要把中醫(yī)“提高到西醫(yī)水平”。其實(shí)西醫(yī)是科學(xué)，是認(rèn)識世界的一種方法;中醫(yī)也是科學(xué)，是認(rèn)識世界的另一種方法:應(yīng)該看到中醫(yī)是一種寬泛意義上的科學(xué)，是一種模糊論科學(xué)，是一種傳統(tǒng)科學(xué)。傳統(tǒng)科學(xué)是人類知識發(fā)展的早期，是從整體出發(fā)來認(rèn)識世界而構(gòu)建的“知識系統(tǒng)”，中醫(yī)學(xué)是其典型的代表。從整體出發(fā)的世界觀、認(rèn)識論、方法論，集中地體現(xiàn)在濡家的典藉《周易》之中。只有肯定中醫(yī)是科學(xué)的，按照中醫(yī)的本來面目，評價(jià)并確定中醫(yī)的價(jià)值，才能讓人們認(rèn)識到中醫(yī)是民族和世界寶貴文化遺產(chǎn)，值得發(fā)揚(yáng)光大，才會有更多的人關(guān)心中醫(yī)，投入到中醫(yī)的復(fù)興事業(yè)中來。 

    如何引導(dǎo)學(xué)子樹立對中醫(yī)的牢固信心，是中醫(yī)教育的根本任務(wù)，也是衡量中醫(yī)教育成敗的標(biāo)準(zhǔn)。加強(qiáng)中醫(yī)院校在校生的思想教育，通過醫(yī)學(xué)倫理課，各種講座等方式，明確學(xué)習(xí)目的，使之產(chǎn)生緊迫感和責(zé)任感，從而以滿腔熱情投入到中醫(yī)的學(xué)習(xí)和工作中去。學(xué)好中醫(yī)對于大多數(shù)學(xué)生是有相當(dāng)難度的，通過醫(yī)學(xué)史、思想道德修養(yǎng)、醫(yī)學(xué)倫理學(xué)等課程的學(xué)習(xí)和其他輔助手段讓學(xué)生深切體會中醫(yī)的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)韌不拔的學(xué)習(xí)韌勁和敢于迎難而上的精神至關(guān)重要。 

    2遵從中醫(yī)的理論體系.科學(xué)設(shè)置課程 

    幾十年來中醫(yī)教育上的問題，主要是課程設(shè)置沒有嚴(yán)格遵照中醫(yī)藥學(xué)的知識結(jié)構(gòu)體系中醫(yī)知識結(jié)構(gòu)包括4個層次的內(nèi)容。第一，以中國春秋一秦漢之際的文、史、哲和其它學(xué)科知識為基礎(chǔ)而形成的文化觀念與思維方式。第二，以《黃帝內(nèi)經(jīng)》、《神農(nóng)本草經(jīng)》、《傷寒雜病論》及以溫病學(xué)為代表的經(jīng)典醫(yī)著，確立了中醫(yī)藥學(xué)的概念、范疇體系，奠定了中醫(yī)藥學(xué)辨證論治的原則和范式第三，《傷寒雜病論》、溫病學(xué)以及出于歷代臨床醫(yī)家之手的代表性醫(yī)著，是中醫(yī)臨床醫(yī)學(xué)的核心第四，以中藥治療為主體，包括針灸、推拿、按摩、導(dǎo)引等等療法。 

    課程設(shè)置是實(shí)施教學(xué)的基本要素，課程設(shè)置要完整、準(zhǔn)確地體現(xiàn)中醫(yī)藥學(xué)的知識結(jié)構(gòu)體系，教師才可能依據(jù)教材并通過合理的教學(xué)方式，培養(yǎng)出合格的高級中醫(yī)人才。當(dāng)然，西醫(yī)的課程不是不要，而是應(yīng)當(dāng)安排在中醫(yī)高等教育的高年級階段。中醫(yī)的知識比較抽象，西醫(yī)的知識比較直觀當(dāng)學(xué)生牢牢地把握了中醫(yī)理論基礎(chǔ)的辨證論治體系以后，再學(xué)習(xí)必要的西醫(yī)西藥知識，才是科學(xué)、明智的安排。 

   3適應(yīng)醫(yī)學(xué)的發(fā)展趨勢.走多學(xué)科發(fā)展之路 

    高等中醫(yī)教育要適應(yīng)醫(yī)學(xué)的發(fā)展，取得突破性進(jìn)展，關(guān)鍵要在中醫(yī)教育、中醫(yī)基礎(chǔ)理論研究和中醫(yī)診治疾病等方面取得創(chuàng)造性的成果?，F(xiàn)代科技呈現(xiàn)既高度分化又高度綜合的發(fā)展趨勢，很多新理論的產(chǎn)生和技術(shù)創(chuàng)新都是學(xué)科交叉碰撞的結(jié)果。由此，在注重專業(yè)培養(yǎng)的同時(shí)，必須加強(qiáng)對其他自然科學(xué)和人文社會科學(xué)的重視，這已成為國際專業(yè)教育改革的新潮流:作為高等中醫(yī)教育，很有必要開設(shè)中國古代哲學(xué)、社會關(guān)系學(xué)、地理生態(tài)學(xué)、醫(yī)藥管理學(xué)、高等數(shù)學(xué)、高等物理學(xué)、有機(jī)化學(xué)、無機(jī)化學(xué)等。尤其值得重視的是，數(shù)學(xué)具有高度抽象性、嚴(yán)密的邏輯性、廣泛的應(yīng)用性及辯證性，它不但對于培養(yǎng)中醫(yī)專業(yè)學(xué)生的抽象思維能力及臨床應(yīng)變的敏捷性和準(zhǔn)確性有著不可忽視的作用，而且在培養(yǎng)和賦予學(xué)生的科研能力上是其它任何科學(xué)都不能替代的:作為中醫(yī)藥科學(xué)研究基礎(chǔ)的高等中醫(yī)教育，只有走多學(xué)科發(fā)展之路，才能為中醫(yī)的繼承和發(fā)展造就高素質(zhì)人才。 

    4改變教育模式.培養(yǎng)高素質(zhì)的現(xiàn)代化中醫(yī)人才 

    高等中醫(yī)教育一直沿用基礎(chǔ)課一臨床課一畢業(yè)實(shí)習(xí)三部曲培養(yǎng)模式，但中醫(yī)人才成長緩慢及畢業(yè)生理論與實(shí)踐脫節(jié)、社會適應(yīng)能力下降已成為目前高等中醫(yī)教育面臨的嚴(yán)峻問題因此轉(zhuǎn)變陳舊的人才培養(yǎng)模式，注重科學(xué)的教育方法，提倡開放、創(chuàng)造、科學(xué)、民主、多樣的教育理念，建立恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)評估標(biāo)準(zhǔn)，建立“課堂實(shí)踐同步，以學(xué)生為中心，實(shí)踐為重點(diǎn)，提高科研動手能力為目的”的高等中醫(yī)教育模式，真正培養(yǎng)出高素質(zhì)的現(xiàn)代化中醫(yī)專門人才是當(dāng)務(wù)之急: 

    5強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新.尊重學(xué)術(shù)個性.推廣多媒體教學(xué).推進(jìn)中醫(yī)高等教育 

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④ 盲從民意或社會效果審判，不僅會容易陷入司法民粹主義的窠臼之中，引起法官裁決思維的混亂，而且從認(rèn)識論角度瓦解法治的權(quán)威性與嚴(yán)肅性。對此進(jìn)行的批判與反思，可詳見王利明：《法學(xué)方法論》，北京：中國人民大學(xué)出版社2012年版，第449―450頁；江必新：《在法律之內(nèi)尋求社會效果》，載《中國法學(xué)》2009年第3期；陳金釗：《為什么法律的魅力擋不住社會效果的誘惑――對社會效果與法律效果統(tǒng)一論的反思》，載《杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)（社會科學(xué)版）》2012年第2期、《法治信念的危機(jī)與法治論者的姿態(tài)――法治進(jìn)入方法論時(shí)代的背景考察》，載《法學(xué)論壇》2011年第1期、《被社會效果所異化的法律效果及其克服――對兩個效果統(tǒng)一論的反思》，載《東方法學(xué)》2012年第6期。

⑤ 哈貝馬斯的交往行為理論認(rèn)為，符合交往理性的話語活動，必須實(shí)現(xiàn)三大有效性要求，即真實(shí)性、正確性和真誠性。符合有效性要求的、在平等的主體間達(dá)成的共識，強(qiáng)調(diào)的是一種程序和規(guī)則的合理性。章國鋒：《哈貝馬斯訪談錄》，《外國文學(xué)評論》2000年第1期，第29―30頁。

⑥ 阿列克西的理性商談理論認(rèn)為，商談理論屬于程序性理論的范疇。依據(jù)所有的程序性理論，一個規(guī)范的正確性或一個陳述的真值取決于，這個規(guī)范或陳述是否是、或者是否可能是一個特定程序的結(jié)果。[德]羅伯特?阿列克西：《法?理性?商談：法哲學(xué)研究》，朱光、雷磊譯，北京：中國法制出版社2011年版，第103頁。

⑦ 作為“浪漫而崇高的夢想者”德沃金，面對以碎片化、多元視角觀、邊緣敘事等為特征的后現(xiàn)代主義挑戰(zhàn)，頑強(qiáng)地高舉著“認(rèn)真對待權(quán)利”的自由主義法學(xué)大旗，通過建設(shè)性闡釋獲得法律整體性事業(yè)，在法律帝國中精心編織著為有目的的司法實(shí)踐提供連貫性與原則一致性之網(wǎng)，尋求司法中惟一正確的答案，然而，在實(shí)際司法裁決中不可能存在惟一正確的答案。

⑧ 有關(guān)民事訴訟調(diào)解社會化的具體內(nèi)容，參見劉加良：《民事訴訟調(diào)解社會化的根據(jù)、原則與限度》，《法律科學(xué)》2011年第3期、《民事訴訟調(diào)解模式研究》，《法學(xué)家》2011年第2期；張嘉軍：《民事訴訟調(diào)解政策的內(nèi)涵及其形態(tài)》，《公民與法》2011年第9期；張愛云：《司法調(diào)解社會化的實(shí)踐探析》，《人民司法》2011年第21期等。

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篇5

傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)教師至少要掌握他所教的數(shù)學(xué)知識。班級授課制成熟后，人們開始同意這樣一個原則：除了所教的數(shù)學(xué)知識以外，數(shù)學(xué)教師還需要掌握像組織教學(xué)、控制課堂秩序等一些教學(xué)知識。隨著教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)教師僅僅知道他所教的數(shù)學(xué)的術(shù)語、本畢業(yè)論文由整理提供概念、命題、法則等知識是不夠的。…除此之外，教師還要知道數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)的概念最早源于Schwab。他指出了理解學(xué)科結(jié)構(gòu)的兩種方式：一個方式是句法性地(syntactically)，另一個方式是實(shí)體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學(xué)科所表現(xiàn)出來的邏輯結(jié)構(gòu)方面去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，引入無理數(shù)表示不可公度線段，引入負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個論斷的完整性和通用性所做出的一種假設(shè)與解釋。對這三個概念含義的理解，只能通過產(chǎn)生這些概念的前后聯(lián)系才能揭示。所謂實(shí)體性地是指從學(xué)科的概念設(shè)計(jì)角度去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)知識稱為關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。它是指知識從哪里來，又是如何發(fā)展的，真理是如何確認(rèn)的，又將用到哪里去。

主要有三個維度：一是約定與邏輯建構(gòu)的區(qū)別。正數(shù)在數(shù)軸的右邊或者我們使用十進(jìn)位值制都是任意的、約定的。而0做除數(shù)沒有定義或者任意一個數(shù)的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部之問的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系；三是了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本活動：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實(shí)解法和尋求一般化。

對數(shù)學(xué)知識的研究，拓寬了人們對教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的理解。它顯示教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識是很復(fù)雜的，除了術(shù)語、概念、法則、程序之外，還有數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)或者關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。這些知識對于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會產(chǎn)生影響。比如，約定的與邏輯建構(gòu)的概念的教學(xué)策略會有很大的不同，邏輯建構(gòu)的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個概念，怎樣定義，它會有什么用，它與其他的概念的關(guān)系是怎樣的，它的應(yīng)用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地?cái)?shù)學(xué)教學(xué)，僅僅具有上述知識還不夠。它缺少對學(xué)生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學(xué)生所必須的教學(xué)上的理解。比如，僅僅通過推導(dǎo)知道(+6)=a+2ab+b對有效教學(xué)是不夠的，教師還需要知道一些學(xué)生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學(xué)生誤解的知識與消除誤解的教學(xué)策略顯然不能納入數(shù)學(xué)知識的框架，教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的復(fù)雜性要求更精致的框架來描述。

二、教材分析研究

有效的教學(xué)必須考慮學(xué)生已有的知識和知識呈現(xiàn)的最佳序列。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，馬力平的知識包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識包是圍繞著一個中心概念而組織起來的一系列相關(guān)概念，是在學(xué)生的頭腦里培育這樣一個領(lǐng)域的縱向過程。(n知識包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結(jié)點(diǎn)，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內(nèi)數(shù)的加減法的知識包。在這個知識包內(nèi)，中心概念是20至100數(shù)的“借位減法”，它是學(xué)習(xí)多位數(shù)的加減的關(guān)鍵前提。

馬力平的知識包實(shí)際上是我國內(nèi)地傳統(tǒng)的教材分析研究。這類研究結(jié)果是教學(xué)參考書的主要內(nèi)容之一。它是一種課程知識，是教師對課程的分析，比對數(shù)學(xué)知識的分析更接近教學(xué)用的數(shù)學(xué)。但它也不是教師教學(xué)時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識。它最多是教師對教學(xué)的考慮，沒有考慮師生互動時(shí)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)需求。教師在教學(xué)時(shí)，能夠動員起來的知識不一定符合教學(xué)情境的需要。本畢業(yè)論文由整理提供比如教師預(yù)期的一種學(xué)生的反應(yīng)在與學(xué)生的互動中沒有出現(xiàn)，教師以學(xué)生的這種反應(yīng)為跳板的后繼知識就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識包，與教師在課堂教學(xué)時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識還有一段距離，教師在教學(xué)時(shí)可能用得上，也可能用不上。教師在教學(xué)時(shí)所需要的數(shù)學(xué)知識遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出教材分析所能提供的內(nèi)容。

三、教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識研究

Ball開創(chuàng)了教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識研究。她通過分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動，直接研究課堂教學(xué)中教師使用的數(shù)學(xué)知識及其影響。下面以Ball的一個課例來說明其研究方法與結(jié)果。該課內(nèi)容是三年級多位數(shù)減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學(xué)生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數(shù)l7開始向后數(shù)數(shù)，一直數(shù)到32得到答案。ba認(rèn)為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對，數(shù)一下表示32的教具中剩余的沒有配對的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數(shù)一下剩余的就行了。Cassandia提供了標(biāo)準(zhǔn)的減法算法，Scan受到啟發(fā)，提供了另一種解法：16+16=32，整節(jié)課，學(xué)生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認(rèn)為，這節(jié)課教學(xué)的核心活動是處理數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)和控制課堂討論。知識的關(guān)聯(lián)涉及到在具體和符號的模式中，減法和加法是如何關(guān)聯(lián)的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關(guān)聯(lián)的、教具的表征如何轉(zhuǎn)化為符號表征、Betsy的配對比較法如何轉(zhuǎn)化為Sean的向后數(shù)數(shù)的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協(xié)調(diào)，控制課堂討論首先表現(xiàn)在提供線索和解釋，推動正確的方法的發(fā)展；其次表現(xiàn)在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學(xué)生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結(jié)論超過了三年級學(xué)生的理解能力。

Ball對這節(jié)課教師需要使用的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行了歸納。除了傳統(tǒng)的教材分析提供的借位減法的符號算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數(shù)的加法16+?=32)是等價(jià)的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數(shù)到32，或者M(jìn)ei的從32里拿走l6個等等。第三，教師還需要具有深刻的數(shù)學(xué)眼光去審查、分析和協(xié)調(diào)學(xué)生的多種解法。最后，教師還需要一些關(guān)于數(shù)學(xué)論證的知識。

通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的一部分，其余大部分只能在分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動中才能得到。

四、啟示

1．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識是有效教學(xué)的知識基礎(chǔ)。它與數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)知識、教材分析得出的數(shù)學(xué)知識是不一樣的。它具有一種教學(xué)上有用的數(shù)學(xué)理解，這種理解主要集中于學(xué)生的觀念和誤解上。學(xué)生對特定內(nèi)容的理解是有差異的，教師需要調(diào)和學(xué)生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生把知識進(jìn)一步組織，促進(jìn)學(xué)生在已有的知識基礎(chǔ)上有效學(xué)習(xí)。

2．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識是高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)知識，它聯(lián)系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學(xué)三年級的兩位數(shù)退位減法，但是，通過對課堂教學(xué)核心數(shù)學(xué)活動的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數(shù)學(xué)的等價(jià)、同構(gòu)、相似性和表征之間的轉(zhuǎn)化等概念。從結(jié)構(gòu)上說，前五種解法是同構(gòu)的，前五種解法和最后一種缺失加數(shù)的加法是等價(jià)的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上理清這些解法的關(guān)系，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生在不同的方法之間轉(zhuǎn)換并分清這些方法的異同，促進(jìn)學(xué)生高效地組織自己的數(shù)學(xué)知識。香港的“課堂學(xué)習(xí)研究”也證實(shí)，數(shù)學(xué)專家參與的教研活動，能提升課堂教學(xué)的有效性。

篇6

一、生平概述

喬治?波利亞（George Polya）是著名數(shù)學(xué)家、教育家，數(shù)學(xué)解題方法論的開拓者，一生發(fā)表過兩百多篇學(xué)術(shù)論文和許多專著。其中在數(shù)學(xué)教育方面的著作有《怎樣解題》（How to Solve It）、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》（Mathematical Discovery）、《數(shù)學(xué)與猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning）等。從這些書中可發(fā)現(xiàn)他所開創(chuàng)的解題精神，以及他在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域內(nèi)有著極其精深的造詣。這些書的出版不僅對美國的中學(xué)數(shù)學(xué)教育具有重要的指導(dǎo)意義，而且轟動了整個數(shù)學(xué)教育界，至今仍暢銷不絕，它們都是深受歡迎的數(shù)學(xué)教育經(jīng)典著作。特別是《怎樣解題》一中列出的“怎樣解題表”概括了人類解決數(shù)學(xué)問題的一般規(guī)律，以及解題中的探索啟發(fā)式程序，是波利亞幾十年來對數(shù)學(xué)問題解決的研究結(jié)晶。此書自出版以來，被至少譯成17種語言文字，發(fā)行量已超過100萬冊，它的面世被譽(yù)為“問題解決的一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)”。波利亞成為當(dāng)代的數(shù)學(xué)問題解決的先軀，“波利亞風(fēng)格”、“波利亞方式”成為數(shù)學(xué)教師的專門用語而廣為流傳，久而久之，人們形成了這樣一種觀念：“數(shù)學(xué)教育中的問題解決意味著按照波利亞的方式解決問題。”

作為一名數(shù)學(xué)家，波利亞在眾多的數(shù)學(xué)分支及計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)中都頗有建樹；作為一名數(shù)學(xué)教育大師，波利亞有著豐富的數(shù)學(xué)教育思想和精湛的教學(xué)藝術(shù)。他善于把抽象的數(shù)學(xué)研究與教學(xué)實(shí)踐結(jié)合起來。他一生大部分時(shí)間從事高等數(shù)學(xué)教育，有豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，講課生動，獨(dú)樹特色。曾培養(yǎng)出大批負(fù)有聲望的科學(xué)家，如馮?諾依曼等。我國聆聽過波利亞講課的老一輩數(shù)學(xué)家，至今對他的授課技巧欽佩不已［1］。

波利亞的數(shù)學(xué)教育思想有兩點(diǎn)哲學(xué)認(rèn)識論基礎(chǔ)：其一，數(shù)學(xué)具有二重性，它既是一門歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[科學(xué)，但在創(chuàng)造過程中又是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)，與自然科學(xué)沒有什么兩樣。其二，生物發(fā)生律也適用于數(shù)學(xué)教學(xué)，即人類的后代學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與人類祖先認(rèn)識數(shù)學(xué)的歷史是相似的。具體地說，在課程設(shè)計(jì)及其教學(xué)時(shí)，“生物發(fā)生律”可以決定教什么內(nèi)容與理論，可以預(yù)見到用什么樣的先后順序和適當(dāng)方法來講授這些內(nèi)容和理論，他尤其提倡應(yīng)讓學(xué)生盡可能多地發(fā)現(xiàn)一些事實(shí)，提出猜想，走前人認(rèn)識數(shù)學(xué)的路?！耙氤蔀橐粋€好的數(shù)學(xué)家，你必須是一個好的猜想家”［2］。

二、數(shù)學(xué)教育思想的現(xiàn)代解讀

（一）合情推理

合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程［4］。猜想是合情推理的最普遍、最重要的一種思維方法，歸納與類比首先都包含有猜想的成分，所以，我們在教學(xué)中提到的猜想、歸納與類比等都屬于合情推理的范疇。嚴(yán)格地說，除數(shù)學(xué)和論證邏輯外，我們所有的知識都是由一些猜想所構(gòu)成的。我們借論證推理來肯定我們的數(shù)學(xué)知識，而借合情推理來為我們的猜想提供依據(jù)。一個數(shù)學(xué)上的證明是論證推理，而物理學(xué)家的歸納論證，律師的案情論證，歷史學(xué)家的史料論證等都屬于合情推理之列。

“對數(shù)學(xué)可能存在著許多不同的看法，我擔(dān)心對許多學(xué)生來說數(shù)學(xué)好像是一套死板的解題法……對一些教師來說，數(shù)學(xué)是一套嚴(yán)格的證明系統(tǒng)……對于積極搞研究的數(shù)學(xué)家來說，數(shù)學(xué)往往像是猜想游戲……數(shù)學(xué)教學(xué)中必須有猜想的地位，教學(xué)必須為發(fā)明做準(zhǔn)備，或至少給一點(diǎn)發(fā)明的嘗試，教學(xué)不應(yīng)該壓制學(xué)生中間的發(fā)明萌芽……”［2］。波利亞認(rèn)為，合情推理有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)新結(jié)論。因此，數(shù)學(xué)的目標(biāo)應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的思維，引導(dǎo)其獨(dú)立思考、解決問題的能力，通過合情推理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，同時(shí)通過邏輯證明（論證）培養(yǎng)學(xué)生一定的演繹推理能力。

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》在其前言部分強(qiáng)調(diào)：“通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)發(fā)展學(xué)生的數(shù)感……應(yīng)用意識與推理能力?！蓖评砟芰χ饕憩F(xiàn)在：能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、合情推理等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)，給出證明或舉出反例，等等?！稑?biāo)準(zhǔn)》在總體目標(biāo)之一“數(shù)學(xué)思考”中也指出：“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)?！庇刹ɡ麃唽锨橥评淼闹匾暱梢?，《標(biāo)準(zhǔn)》對于合情推理的強(qiáng)調(diào)并非無源之水，而是有歷史基礎(chǔ)的?？梢?，波利亞的數(shù)學(xué)教育理論與我們新課標(biāo)的理念“不謀而合”，因?yàn)楹锨橥评淼膶?shí)質(zhì)是發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新，所以合情推理能力的培養(yǎng)在發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新精神的過程中有著巨大的價(jià)值。

從國際數(shù)學(xué)課程改革的特點(diǎn)也可看出，其在處理中小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法方面有兩種基本思路：第一，主要通過純數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，逐步使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思想和方法；第二，通過解決實(shí)際問題，使學(xué)生形成那些對人的素質(zhì)有促進(jìn)作用的基本思想方法，如實(shí)驗(yàn)、猜測、合情推理等。兩者相比而言，后者更多的是一般的思考方法，具有更廣泛的應(yīng)用性。許多發(fā)達(dá)國家傾向于第二種基本思路。

我國學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)恰恰忽視了合情推理，忽視了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中猜測的力量。這就導(dǎo)致我國學(xué)生“數(shù)學(xué)能力發(fā)展不全面，尤其缺乏創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力”［4］。長期以來，人們對數(shù)學(xué)能力的理解也主要停留在邏輯思維能力的層面上，而邏輯思維有時(shí)恰恰阻礙了學(xué)生的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)。隨著時(shí)代的發(fā)展，這種數(shù)學(xué)能力觀的局限性越來越明顯。現(xiàn)代社會要求公民具有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)使數(shù)學(xué)能力具有內(nèi)驗(yàn)觀察、合情推理、預(yù)測猜想、探究創(chuàng)造等豐富內(nèi)容。

波利亞指出：“在學(xué)校慣常的課程中還沒有一門能提供類似的機(jī)會來學(xué)習(xí)合情推理。我要向各年級對數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生提出：我們應(yīng)該學(xué)習(xí)證明法，也應(yīng)該學(xué)習(xí)猜想法。數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是與任何其他的知識的創(chuàng)造過程一樣的。數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的?！保?］只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程，那么猜想就應(yīng)當(dāng)占有適當(dāng)?shù)奈恢??？梢?，合情推理在?shù)學(xué)教育中的重要地位，以及這一數(shù)學(xué)教育思想在當(dāng)代的現(xiàn)實(shí)意義。

案例：觀察算式34+43=77，51+15=66，26+62=88，你發(fā)現(xiàn)了什么？

［可能的猜想：個位數(shù)字與十位數(shù)字互換前后的兩個兩位數(shù)的和是個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的一個兩位數(shù);所得的兩位數(shù)能被11整除……］

驗(yàn)證：74+47=121，原來的猜想成立嗎？

再繼續(xù)驗(yàn)證，結(jié)論仍然成立嗎？

［以上是進(jìn)行合情推理的過程。］

問題：能否證明結(jié)論是正確的呢？

方法1：對所有的兩位數(shù)一一加以驗(yàn)證，但是既繁復(fù)又費(fèi)時(shí)。

方法2：若a，b表示一個兩位數(shù)兩個數(shù)位上的數(shù)字，則（a×10+b）+（b×10+a）=11a+11b=11×（a+b），于是“所得的兩位數(shù)能被11整除”的猜想得到證實(shí)。這樣的過程，是一個經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、證明的過程，既有合情推理又有演繹推理的過程。

（二）問題解決

波利亞受他的老師的影響，以及他自己發(fā)現(xiàn)意愿的驅(qū)使，從中學(xué)開始就對問題解決有興趣。他認(rèn)為數(shù)學(xué)能力就是指解決問題的才智，而數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的之一就是發(fā)展學(xué)生的解決問題的能力。他認(rèn)為在數(shù)學(xué)課上進(jìn)行解題教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。尋求證明的能力，審斷論據(jù)的能力，流利地使用數(shù)學(xué)語言的能力，以及在具體情境中辨認(rèn)數(shù)學(xué)概念的能力，有機(jī)會發(fā)展學(xué)生的思維方式和得法的工作習(xí)慣，而這些東西正是一般文化修養(yǎng)的主要組成部分。

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為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是由他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題表”。在這張包括“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程的解題表中，波利亞對第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實(shí)際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個求解計(jì)劃”［5］。

波利亞的“怎樣解題表”的精髓是啟發(fā)、聯(lián)想?！澳阋郧耙娺^它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)!試指出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題，你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方式重新敘述它……”［5］他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為5條建議和23個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程的“慢動作鏡頭”，使我們對解題的思維過程看得見、摸得著。

（三）教師培訓(xùn)

波利亞從1953年退休以后，主要從事教師培訓(xùn)工作，他的3本著作在一定意義上是為了教師的進(jìn)修和提高而寫的，其中許多內(nèi)容是他自己的培訓(xùn)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的科學(xué)總結(jié)。因此，他的3本著作是我們教師進(jìn)修的極好教材。對教師的培訓(xùn)問題，波利亞關(guān)注的是“數(shù)學(xué)專業(yè)課程問題”和“‘教學(xué)法’課程問題”。

波利亞非常重視作為教師應(yīng)有的數(shù)學(xué)專業(yè)素質(zhì)，他提出：“教師要掌握兩個方面的東西――知識和技巧。技巧是運(yùn)用知識的能力。數(shù)學(xué)中的技巧更為重要，或者說比只占有知識更為重要得多。數(shù)學(xué)上的技巧就是做題的能力，給出證明的能力，審斷論據(jù)的能力，流利地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的能力，以及在具體情況下辨認(rèn)數(shù)學(xué)概念的能力，等等?！薄皵?shù)學(xué)中的技巧更為重要，或者說比只占有知識更為重要得多。”他又指出：“大家都要求中學(xué)階段應(yīng)該不僅給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，還要培養(yǎng)技能、技巧、獨(dú)立作業(yè)能力、獨(dú)到見解和創(chuàng)造能力。然而卻沒有人向數(shù)學(xué)教師要求這些優(yōu)良的品質(zhì)和能力，這難道不奇怪嗎？”［6］波利亞這是在批評當(dāng)時(shí)美國的“官方”和教師的狀況，如果反思我國教師解題能力的現(xiàn)狀，我們也許會受到些許的啟發(fā)。對我國在職教師培訓(xùn)，在很大程度上要依賴于培訓(xùn)者的素養(yǎng)。正如波利亞所說：“只有那些既有數(shù)學(xué)研究工作經(jīng)驗(yàn)又有教學(xué)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的講師才能擔(dān)任教學(xué)法課的教學(xué)工作。”［6］

波利亞在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，經(jīng)過思維加工，歸納提煉出“一套見解”，他稱之為“教師十誡”［6］。前4條是教師搞好教學(xué)的“充分必要條件”：（1）要對自己所教課程有興趣；（2）要“熟知自己的科目”；（3）要清楚學(xué)生的學(xué)習(xí)過程；（4）要了解學(xué)生實(shí)際。（5）―（7）條是講教學(xué)目的的，著重強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的“解題能力”、“猜想能力”和“證明能力”。（8）是說解題教學(xué)中要讓學(xué)生獲得“一些可能用于解今后題目的特征”；（9）―（10）條是強(qiáng)調(diào)“在現(xiàn)有條件下留給學(xué)生盡可能多的自由余地，讓他們發(fā)揮其首創(chuàng)精神和積極性”［7］。波利亞的“教師十誡”是他給數(shù)學(xué)教師上課所體現(xiàn)的“教學(xué)法”的思想和內(nèi)容，實(shí)質(zhì)是他的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的系統(tǒng)總結(jié)和理論提升，也可以說是波利亞數(shù)學(xué)教學(xué)思想的精髓和體系。

我認(rèn)為，這10條是一個數(shù)學(xué)教師所必備的基本素質(zhì)，我們要高度關(guān)注這樣一些觀點(diǎn)，如：“如果教師厭煩自己的科目，那么全班也肯定會厭煩這門課”，所以“把興趣放在首位”；“數(shù)學(xué)是進(jìn)行論證推理的好學(xué)?！保白屗麄儗W(xué)會猜想問題”，“讓他們學(xué)會證明問題”；“不要把你的全部秘訣一古腦兒倒給學(xué)生”，要“啟發(fā)問題，而不要填鴨式硬塞給學(xué)生”，等等。

教師在教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，從經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地思考；不斷提升自身的理論素養(yǎng)與教學(xué)技能。教師應(yīng)該是學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)殿堂的引路人。

參考文獻(xiàn)：

［1］賀賢孝.波利亞的生平及其數(shù)學(xué)教育思想［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，1996，（9）.

［2］波利亞著.李心燦譯.數(shù)學(xué)與猜想［M］.北京：科學(xué)出版社，2001.

［4］楊慧娟，杜鵬.新課標(biāo)下重析波利亞的合情推理思想［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2006，（2）.

［5］波利亞著.閻育蘇譯.怎樣解題［M］.北京：科學(xué)出版社，1982.